常用逻辑用语知识总结

常用逻辑用语知识总结（精选6篇）

1.常用逻辑用语知识总结 篇一

第一章 常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1.1.1 命题 教学目标

１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真

假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；

２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决

问题的能力；

３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点与难点

重点：命题的概念、命题的构成

难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程 学生探究过程： 1．温故旧知

初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？

2．思考、分析

下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点 ．

（2）2+4=7．

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．

（６）３能被２整除．

3．讨论、判断

学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．

在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

5．例题分析

例一：下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（１）空集是任何集合的子集．

（２）若整数a是素数，则是a奇数．

（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．

（５）＝－２．（６）x＞１５．

让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．

解略。

引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定

理、推论的例子来看看？

通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．

过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？

6.命题的构成――条件和结论

定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．

7．例题讲解

例二：指出下列命题中的条件p和结论q。

（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．

教师引导学生一起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．

解略。

过渡：从例２中，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．

8．命题的分类――真命题、假命题的定义．

真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题． 假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．

强调：

(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假

命题的大前提，首先是命题。9．怎样判断一个数学命题的真假？

(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：

（１）面积相等的两个三角形全等。

（２）负数的立方是负数。（３）对顶角相等。

分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。

巩固练习：Ｐ４

２、３

教学反思

师生共同回忆本节的学习内容． 1．什么叫命题？真命题？假命题？

2．命题是由哪两部分构成的？

3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式．

4．如何判断真假命题．

教师提示应注意的问题： 1．命题与真、假命题的关系．

2．抓住命题的两个构成部分，判断一些语句是否为命题．

３．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．

布置作业：P8：习题1．１Ａ组第1题

1.1.2四种命题

（一）教学目标

知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念。

过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力

以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（二）教学重点与难点 重点：会写四种命题

难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他

们的分析问题和解决问题的能力．

（三）教学过程 学生探究过程： １．温故知新

初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？

2．思考、分析

问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关

系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

３．归纳总结

问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两

个命题叫做互为逆否命题。

４．抽象概括

定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

让学生举一些互逆命题的例子。

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

让学生举一些互否命题的例子。

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原

命题的逆否命题．

让学生举一些互为逆否命题的例子。

小结：

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题． 强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

５．四种命题的形式 让学生结合所举例子，思考：

若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

学生通过思考、分析、比较，总结如下：

原命题：若P，则q．则： 逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不

是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

６．巩固练习

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：（１）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（２）若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；

（３）若x2=1,则x=1；

（４）若整数a是素数，则是a奇数。课时小结：学生小结本节课的知识点

布置作业

P8：习题1．１Ａ组第２、３、４题

2.常用逻辑用语知识总结 篇二

一、集合及其运算

二、已知集合的包含关系求参数

(1)求A∩B;

解得-4<x<2,即A=(-4,2).

评注:对集合中的元素特征的理解是解决本题的基础,用a表示集合C是本题的一个难点.

三、以集合为背景的新定义问题

例4以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:

②若函数f(x)∈B,则f(x)有最大值和最小值;

解析:根据题意,得集合A中的元素是值域为R的函数,集合B中的元素是值域关于原点对称的一个区间的一个子集的函数.

评注:解决新定义问题的关键是深刻理解概念,掌握探究的方法,注意函数的多样性,同时要根据问题设计的情境,从特殊到一般、从具体到抽象进行不同层面的探究,并运用相关的知识进行解答.

四、充分条件、必要条件的判断

例5“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ).

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:由sinφ=0,得φ=kπ(k∈Z),此为曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的充要条件.所以“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分不必要条件.故选A.

评注:本题考查三角函数的诱导公式,三角函数的性质,充分条件、必要条件的判断等基础知识和基本方法,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.分清条件和结论是基础,掌握判断方法是关键.

五、充分条件、必要条件的应用

六、含有逻辑联结词的命题的真假判断问题

①命题p∧q是真命题;

(C)3个(D)4个

故选B.

评注:判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤:(1)判断简单命题的真假.(2)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假,其规律:p,q中有一个为真,则p∨q为真,即一真即真;p,q中有一个为假,则p∧q为假,即一假即假;劭p与p的真假性相反.

七、全称命题、特称命题的真假判断问题

评注:(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊元素x=x0,使p(x0)不成立即可.(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中找到一个特殊元素x=x0,使p(x0)成立即可,否则特称命题就是假命题.

八、含有一个量词的命题的否定问题

故选B.

评注:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,利用这样的关系可以把问题转化为求不等式的恒成立问题,使问题简便求解.

九、利用复合命题的真假性求参数的取值范围问题

解析:根据指数函数的单调性,求出命题p为真命题时a的取值范围;利用一元二次方程的实根分布,求出命题q为真命题时a的取值范围;根据复合命题的真假与其简单命题的真假的关系将p∨q为真,p∧q为假转化为p,q的真假,列出不等式组求解.

因为p∨q为真,p∧q为假,

所以p真q假,或者p假q真.

3.集合与常用逻辑用语 篇三

元素与集合的关系

这类题主要考查集合的基本概念、对集合的理解、元素与集合的关系，意在考查我们的数形结合能力和运算能力.常用的解法有列举法、图解法（画出数轴或维恩图）以及语言转换法等.

点拨 对含有全称（存在）量词的命题进行否定需要两部操作：第一步，将全称（存在）量词改写成存在（全称）量词；第二步，将结论加以否定.含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，需要认真判断.特别注意区别“命题的否定”与“否命题”. 理解记忆常用词语的否定，如：“都是”的否定是“不都是”“至多有[n]个”的否定是“至少有[n+1]个”等.

充要条件

充要条件既可以全面认识有关数学知识的前因后果，也可以探索数学命题的来龙去脉. 因此充要条件的考题一直受到命题者的青睐. 试题多与集合、函数、方程、不等式、三角函数、立体几何等知识交汇考查.

.

所以条件是结论成立的不必要条件.

答案 A

点拨 （1）充要条件的判断问题，一定要先搞清楚谁是条件，谁是结论，条件能否推出结论. 若能，则条件是结论成立的充分条件；再看结论能否推出条件，能，则条件是结论成立的必要条件；能够互推，则条件是结论成立的充要条件.

（2）本题是三角函数与充要条件交汇的问题，解题突破口是熟练掌握三角公式和三角函数的图象与性质，并且抓住充要条件的定义和“以小推大”（小范围是大范围的一部分，小范围成立则大范围必成立）的技巧.

（3）充要条件的命题范围很广，可以以数学中任意的知识作为背景命题，但万变不离其宗，紧扣（1）即可. 同时注意该知识的特性，结合起来考虑是可以轻松解决的. 注意，对假命题的判断只需举一个反例就行了.

4.常用逻辑用语知识总结 篇四

一、选择题（12×5＝60分）

1、复数1+2=()2i

(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)

32、设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

3、设复数z满足1zi，则|1z|=（）1z

A.0B.1C.2D.2m1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则mni（）1i

A．12iB． 12iC．2iD．2i

122x

5、有四个关于三角函数的命题: p1:x,yR;sinxcos2

2sinx p2:x,yR;sin(xy)sinxsiny ；p3:x[0,];

4、已知

2A,p1,p4B,p2,p4C,p1,p3D,p2,p36、在复平面内，复数zsin2icos2对应的点位于()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7、如下面的图,框图表示的程序所输出的结果是（）

（A）3（B）12（C）60（D）3608、下面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）

A.c > xB.x > cC.c > bD.b > c 1

9、右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，121称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示 1331的数是（）14a41(A)2(B)4(C)6(D)8 151010

51p4:sinxcosyxy, 其中是假命题的是()

第(7)题图

第(8)题图

3an，那么根据归纳推理可得数列的通项公式()3an

2332n1A,B,C,D, 2 n1nn22n1n2

11、平面向量a，b共线的充要条件是（）

10、已知数列{an}中，a11,an1

A.a，b方向相同

C.R，ba B.a，b两向量中至少有一个为零向量

D.存在不全为零的实数1，2，1a2b0

12、已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）．．．

A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β

二、填空题（4×5＝20分）

13、若复数z1a2i, z234i，且

14、若xy2z1为纯虚数，则实数a的值为。z

20，则x0且y0的逆否命题_____________________________

15、设zC，且|zi||z1|，则复数z在平面直角坐标系中对应的点的轨迹方程为

___________________________________。zi的最小值为________________。

16、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则 f(4)__________;f(n)=________________

三、解答题（4×10＝40分）

17、在△ABC中，三个内角A,B,C对应的边分别为a, b,c.且A,B,C成等差数列，a, b,c成等比数列。求证：△ABC为等边三角形。

18、已知复数z1m(4m2)i(mR)，z22Cos(3Sin)i

(,R)，并且z1z2，求的取值范围。

19、已知{a*

n}是正数组成的数列，a1=

1，且点an1)(nN)在函数

y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若列数{ba

2n}满足b11,bn1bn2n，求证：bnbn2bn1.20、设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足x2x60

或x22x80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围。

高中数学测试题

（八）答案

一，CACCABDACC DD

二，13，814，若x0或y0，则xy20

315，y

x，16，f(4)=37;f(n)3n23n1 三，17，证明：有A,B,C成等差数列，有2B＝A+C,①

∵A,B,C为△ABC的内角，∴ A＋B＋C＝,②∴由①②得，B

由a, b,c23。③ 成等比数列，有bac。④由余弦定理以及③式可得，b2a2c22acCos2B2a，再由④式可得，caca2c2acac

即(ac)20，因此ac，从而有A＝C,⑤由②③⑤可得

ABC

18，由z13，所以△ABC为等边三角形。z2，可得m2Cos，①4m23Sin，②

2由①②可得：44Cos3Sin 即化简4Sin23Sin 32939即4(sin)∴当Sin时，min 816816

当sin1时，max7，故[9,7]。16

19，（Ⅰ）由已知得an+1=an+

1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2.n

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1

=2+2+···+2+1n-1n-2

12n

＝12=2n-1.因为bnn+2n-1

n·bn+2-b2

n1=(2-1)(2-1)-(2-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)

=-5·2n+4·2n

=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b2

n1,20，设A{x︱x24ax3a20(a0)}＝{x︱3axa(a0)}

B{x︱x2x60或x22x80}

＝{x︱2x3}∪{x︱x4或x2}＝{x︱x4或x2} ∵p是q的必要不充分条件，∴qp且p推不出q

∴CRBCRA，∵CRB{x︱4x2}

CRA＝{x︱x3a或xa}

则有a4且a0①或3a2且a0②

所以a4或2

5.常用逻辑用语知识总结 篇五

width:;/*wih回车*/ height:;/*het回车*/ background:;/*bad回车,utopb回车，空格，rx两次回车加引号并换行（图名top全拼）*/ color:;/*cor回车*/ display:;/*diy回车*/ border:;/*bor回车*/ overflow:;/*ovw,ov回车*/ clear:;/*clr，cl回车*/ float:;/*flo回车，不属于“一词前2后1法”*/

二．常用双词，前1前2，两个特殊（不出+后词重音字母，还不出也可以按数字直接出）

line-height:;/*lhe回车*/ text-decoration:;/*tde,td回车*/ vertical-align:;/*val,va回车*/ font-family: “微软雅黑”;/*ffa,比ff好用，回车*/ font-size: 12px;/*fsi,fs回车（输入12px直接回车两次，加引号并换行）*/ font-weight:;/*fwe回车*/ background-color: #0000;/*bc2,这个直接带#后面输入颜色值即可（特殊）*/ text-indent: 2em;/*teid回车(d为重音，特殊）*/ 三．Min，max双词，前2前2 min-height:;/*mihe回车*/ min-width:;/*miwi回车*/ max-height:;/*mahe回车*/ max-width:;/*mawi回车*/

四．Margin,padding,border双词用重音，前2后2（后2不出的话看做单词，前2后1）margin:;/*m回车*/ margin-top:;/*mgtp回车*/ margin-right:;/*mgrt回车*/ margin-bottom:;/*mgbt回车*/ margin-left:;/*mglf回车*/ padding:;/*p回车*/ padding-top:;/*pdtp回车*/ padding-right:;/*pdrt回车*/ padding-bottom:;/*pdbt回车*/ padding-left:;/*pdlf回车*/ border:;/*bor回车*/ border-top:;/*bdtp回车*/ border-bottom:;/*bdbt回车*/ 五．List双词e结束，三词尾词全拼

list-style:;/*lse回车（e结束）*/ list-style-image:;/*lsim回车*/ list-style-position:;/*lspo回车*/ list-style-type:;/*lstype回车（type全拼）*/ 六．能直接出参数的两组5个

display: block;/*db直接出block*/ display: none;/*dn直接出none*/ text-align: left;/*tal直接出left*/ text-align: center;/*tac直接出center*/ text-align: right;/*tar直接出right*/ display: inline;/*只能diy，然后输入inline（区别上面两个急速的）*/ text-align:;/*te回车（用不到，因为下面左中右快速输入齐全）*/ 注意，用word看有语法错误，F7，全部忽略就行（ALT+G,狂按就行，有更好的办法么？）

@charset “gb2312”;

/*@charset “utf-8”;@c回车*/ * {

padding: 0;/*p回车*/

margin: 0;/*m回车*/ font-size: 12px;/*fs回车，输入12px，两次回车加引号；并换行*/ } 一．Margin,padding,border双词用重音，前2后2

margin:;/*m回车*/

margin-top:;/*mgtp回车*/

margin-right:;/*mgrt回车*/

margin-bottom:;/*mgbt回车*/

margin-left:;/*mglf回车*/

padding:;/*p回车*/

padding-top:;/*pdtp回车*/

padding-right:;/*pdrt回车*/ padding-bottom:;/*pdbt回车*/

padding-left:;/*pdlf回车*/

border:;/*bor回车*/

border-top:;/*bdtp回车*/

border-bottom:;/*bdbt回车*/

二．List二词，三词很特殊

list-style:;/*lse回车（e结束）*/

list-style-image:;/*lsim回车*/

list-style-position:;/*lspo回车*/

list-style-type:;/*lstype回车（type全拼）*/

三．能直接出参数的两组

display: block;/*dn直接出block*/

display: none;/*dn直接出none*/

display: inline;/*只能diy，然后输入inline（区别上面两个急速的）*/

text-align:;/*te回车（用不到，左中右快速输入齐全）*/

text-align: left;/*tal直接出left*/

text-align: center;/*tac直接出center*/

text-align: right;/*tar直接出right*/

四．单词前2后1，float特殊

width:;/*wih回车*/ height:;/*het回车*/

background:;/*bad回车,utopb回车，空格，rx两次回车加引号并换行（图名top全拼）*/ color:;/*cor回车*/ display:;/*diy回车*/ border:;/*bor回车*/

overflow:;/*ovw,ov回车*/ clear:;/*clr，cl回车*/

float:;/*flo回车，不属于“一词前2后1法”*/

五．最大最小双词，前2前2 min-height:;/*mihe回车*/

min-width:;/*miwi回车*/ max-height:;/*mahe回车*/ max-width:;/*mawi回车*/

六．其他双词，前1前2，两个特殊

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6.高考中的常用逻辑用语 篇六

一、命题真假的判断

此类问题包括五种类型：（1）一般命题的真假判断；（1）四种命题的真假判断；（3）命题“[p∨q]”“[p∧q]”“[¬p]”的真假判断；（4）含有量词的命题的真假判断；（5）由命题的真假求参数的取值范围.

例1 命题[p]：若[a、b、c∈R]，则“[y＝ax2＋bx][＋c]是二次函数”是“[y＝ax＋b]是一次函数”充要条件；命题[q]：函数[y＝|x-1|-2]的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则（ ）

A. “[p]或[q]”为假 B. “[p]且[q]”为真

C. [p]真[q]假 D. [p]假[q]真

分析 根据一次函数与二次函数的定义可判断命题[p]的真假，根据根式满足的条件，通过解绝对值不等式可确定命题[q]的真假.

解 当[y＝ax2＋bx＋c]是二次函数时，则[a≠0]，此时[y＝ax＋b]为一次函数；反过来，当[y＝ax＋b]是一次函数时，则[a≠0]，故[y＝ax2＋bx＋c]为二次函数，∴命题[p]为真.

由[|x－1|－2≥0]，可得[x≤－1]或[x≥3]，即命题[q]为真.

∴“[p]且[q]”为真，故选A.

点拨 高考对逻辑联结词的考查一般是通过对命题真假的判断来实现的. 对于命题“[p∨q]”“[p∧q]”“[¬p]”的真假判断，首先要确定命题的构成形式，判断出命题[p]与[q]的真假，然后利用真值表获得命题的真假性.

例2 下列命题中的真命题是( )

A. 命题“若[a、b]都是偶数，则[a＋b]是偶数”的逆命题

B. 命题“奇数的平方不是偶数”的否定

C. 命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题

D. 命题“至少有一个内角为60°的三角形是正三角形”的否命题

分析 根据逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的概念逐一得出命题后，再进行真假判断，也可以利用等价命题来判断原命题的真假.

解 选项A中的逆命题是“[a＋b]是偶数，则[a、b]都是偶数”，举一反例即能断定这是一个假命题；选项B中的命题的否定是“存在一个奇数，其平方是偶数”，显然也是一个假命题；注意到空集是任何非空集合的真子集，而不是任何集合的真子集，选项C中的原命题是一个假命题，它的逆否命题也是一个假命题；选项D中的否命题是“三个内角均不为60°的三角形不是正三角形”，这显然是一个真命题. 故选D.

点拨 求解此类问题时，一要明确四种命题的组成形式，二要会运用所学知识去判断命题或其等价命题的真假. 判断一个命题真假，可根据定义直接判断，也可利用原命题及其逆否命题的等价关系求解.

例3 有以下四个命题：

[p1]：[∃x∈R]，[sin2x2＋cos2x2＝12]；

[p2]：[∃x、y∈R]，[sin(x－y)＝sinx－siny]；

[p3]：[∀x∈[0，π]]， [1-cos2x2＝sinx]；

[p4]：[sinx＝cosy⇒x＋y＝π2]；

其中的假命题是（ ）

A. [p1]，[p4] B. [p2]，[p4]

C. [p1]，[p3] D. [p2]，[p3]

分析 此为全称命题、特称命题的真假判断问题，可利用其定义和性质进行判断.

解 ∵[∀x∈R]，[sin2x2＋cos2x2＝1]，∴[p1]：[∃x∈R]，[sin2x2＋cos2x2＝12]是假命题；[p2]是真命题，如[x＝y＝0]时成立；[p3]是真命题，∵[∀x∈[0，π]]，[sinx≥0]，∴[1-cos2x2＝sin2x=|sinx|=sinx]；[p4]是假命题，如[x＝π2]，[y＝2π]时，[sinx＝cosy]，但[x＋y≠π2]. 故选A.

点拨 由于全称命题中的关键词强调命题的一般性，因此要否定全称命题只需一个特殊的反例即可；而存在性命题中的关键词语强调命题的存在性，因此要肯定存在性命题，只要找一个符合要求的例子即可.

例4 已知两个命题[r(x)]：[sinx+cosx>m]，[s(x)]：[x2+mx+1>0]，如果对于[x∈R]，[r(x)]与[s(x)]有且仅有一个真命题，则实数[m]的取值范围为 .

分析 由已知先求出[x∈R]时，[r(x)、s(x)]都是真命题时[m]的取值范围，再由题意分情况讨论求出[m]的取值范围.

解 因为[sinx+cosx=2sin(x+π4)≥-2]，所以当[r(x)]是真命题时，[m<-2]；

又因为对[x∈R]，[s(x)]为真命题，即[x2+mx+1>0]恒成立，有[Δ=m2-4<0]，所以[－2

∴当[r(x)]为真，[s(x)]为假时，

[m<-2]同时[m]≤－2或[m]≥2，即[m]≤－2；

当[r(x)]为假，[s(x)]为真时，

[m≥-2]且－2<[m]<2，即－[2]≤[m]<2.

综上知，实数[m]的取值范围是{[m|m]≤－2或[-2]≤[m]<2}.

点拨 此例是利用命题的真假来求参数的取值范围，解决这类问题时，一般是先根据题设条件，求出每个命题（或等价命题）是真命题时参数的取值范围，然后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

二、充要条件的判断

充要条件的判断主要有三类题型：一是判断指定的条件与结论之间的条件关系，即充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要条件；二是探求某结论成立时的条件是什么条件；三是根据某条件成立时，求解参数问题. 判断充要条件的方法主要有定义法，集合法，命题法三种.

例5 记实数[x1]，[x2]，…，[xn]中的最大数为max[{x1，x2，…，xn}]，最小数为min[{x1，x2，…，xn}]. 已知[△ABC]的三边长为[a、b、c(a≤b≤c)]，定义它的倾斜度为[l=max{ab,bc,ca}•min{ab,bc,ca}]，则“[l=1]”是“[△ABC]为等边三角形”的（ ）

A. 必要不充分的条件

B. 充分不必要的条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

分析 由题意可得若[max{ab,bc,ca}=ca]，则[min{ab,bc,ca}=ab]或[bc]，[l=ca⋅ab=cb]或[l=ca⋅•bc=ba]，由此即可判断条件是什么条件.

解 若[△ABC]为等边三角形时，即[a=b=c]，则[max{ab,bc,ca}]＝1＝[min{ab,bc,ca}]，此时[l=1]；

反过来，当[l=1]时，[△ABC]不一定为等边三角形，如[a=2]，[b=2]，[c=3]时，有[max{ab,bc,ca}=32,][min{ab,bc,ca}=23]，此时[l=1]仍成立，但[△ABC]为等腰三角形，故选A.

点拨 此例为新定义问题，通过定义倾斜度，创设新颖的问题情境，考查阅读理解能力、筛选与获取信息的能力和灵活应用数学知识解决问题的能力. 解决这类问题的关键是：平时要加强阅读训练，多积累一些课本以外的与数学有关的知识，以提高自身的数学素养，培养准确获取数学信息的能力和分析解决问题的能力.

例6 已知条件[p]：[|x＋1|＞2]，条件[q]：[x＞a]，且[¬p]是[¬q]的充分不必要条件，则[a]的取值范围可以是（ ）

A. [a]≥1B. [a]≤1

C. [a]≥－1D. [a]≤－1

分析 首先通过解不等式确定[p]，进而确定[¬p]，然后结合条件要求[¬q]，利用集合关系，结合数轴可得[a]的取值范围.

解 解不等式[|x＋1|＞2]，得条件[p]：[x＜－3]或[x＞1]，则[¬p]：[－3≤x≤1].

又[¬q：x]≤[a]，则要使[¬p]是[¬q]的充分不必要条件，必有[a]≥1，选A.

点拨 与不等式相关的充要条件问题，一般可将不等式的解看成一个集合，再根据集合与充要条件之间的关系来求解. 一般地，若集合[A、B]满足[A]⫋[B]，则[A]是[B]的充分不必要条件，[B]是[A]的必要不充分条件.

三、全称命题与特称命题的否定

例7 命题“对任意的[x∈R]，[|2sinx＋3|]≤5”的否定是（ ）

A. 不存在[x∈R]，[|2sinx＋3|]≤5

B. 存在[x∈R]，[|2sinx＋3|]≤5

C. 存在[x∈R]，[|2sinx＋3|]＞5

D. 对任意的[x∈R]，[|2sinx＋3|]＞5

分析 由题意知，题中的命题为全称命题，故其否定为特称命题.

解 对“任意”的否定是“存在”，对“≤”的否定是“＞”，所以上命題的否定是“存在[x∈R]，[|2sinx＋3|]＞5”，故选C.

点拨 在写全称命题(或存在性命题)的否定时，要注意量词的变化，即全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词.

例8 已知[a>0]，则[x0]满足关于[x]的方程[ax=b]的充要条件是（ ）

A. [∃x∈R]，[12ax2-bx≥12ax02-bx0]

B. [∃x∈R]，[12ax2-bx≤12ax02-bx0]

C. [∀x∈R]，[12ax2-bx≥12ax02-bx0]

D. [∀x∈R]，[12ax2-bx≤12ax02-bx0]

分析 由题意得[x0=ba]，则[12ax20-bx0=-b22a]，故考查二次函数[y=12ax2-bx]即可.

解 令函数[y=12ax2-bx=12a(x-ba)2-b22a]，

∵[a>0]，∴当[x=ba]时，[y]有最小值[-b22a]；

而[x0]满足关于[x]的方程[ax=b]，∴[x0=ba]，

∴[12ax2-bx0=-b22a]，

故对任意的[x∈R]，

都有[y=12ax2-bx≥-b22a=12ax02-bx0]，故选C.

点拨 本题涉及到二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，属小综合题型. 此类问题的解法是顺应题意，逐层等价转化，并结合全称命题和存在命题的特点加以解决，其中对全称量词、存在量词的理解和运用是关键.

四、创新型问题

随着新课程改革的不断深入，高考在重视对“双基”考查的同时，对创新意识和创新能力的考查逐步提高，创新问题已成为高考中最为亮丽的风景线.

例9 条件甲：“[k＜－66]或[k>66]”；条件乙：“[kx2－2x＋6k＜0]对[x∈R]恒成立”；则要使甲是乙的充要条件，命题甲的条件中须删除的一部分是 .

分析 先明确条件乙中的不等式恒成立的充要条件，然后对照条件甲，即可得到正确的答案.

解 因为[kx2－2x＋6k＜0]对[x∈R]恒成立，则

（1）当[k＝0]时，不等式[－2x＜0]对[x∈R]不恒成立，故[k≠0]；

（2）当[k≠0]时，由条件知必有[k<0,22-4k⋅6k<0,]即[k<0,k＜－66或k>66,]故[k＜－66].

综上所述，命题甲的条件中须删除的一部分是[k>66].

点拨 本题与一般的创新试题有点不一样，它不是按要求重组新命题，而是要求去掉所给条件中的多余条件，题型比较新颖. 本题实质上是探求[“kx2－2x＋6k＜0]对[x∈R]恒成立”的充要条件，因此只要求出此充要条件，对照条件就可得结果.

例10 已知命题[p]：[x2＋y2]≤1；命题[q]：[(x－1)2＋y2]≤1，则命题①[p∧q]、②[p∨q]、③[¬p∧q]、④([¬p∧q)∧]([¬q∧p])与下列四个图的最佳匹配方案是( )

A. ①—(a)，②—(b)，③—(c)，④—(d)

B. ①—(b)，②—(d)，③—(a)，④—(c)

C. ①—(c)，②—(d)，③—(a)，④—(b)

D. ①—(a)，②—(c)，③—(d)，④—(b)

分析 命题[p]与[q]分别表示两个圆所围成的区域，因此可结合集合对命题①[p∧q]、②[p∨q]、③[¬p∧q]、④([¬p∧q)∧]([¬q∧p])进行转译，而所给的四个坐标系中的图形是区域问题，与集合的韦恩图相一致，这样两个系统之间就有密切的联系.

解 设命题[p]与[q]对应的集合分别为[A、B]，即[A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}]，[B＝{(x，y)|(x－1)2＋y2≤1}]，则命题①[p∧q]对应的集合为[A∩B]，易知与(a)对应；命题②[p∨q]对应的集合为[A∪B]，易知与(c)对应；命题③[¬p∧q]对应的集合为[(∁uA)∩B]，易知与(d)对应；命题④([¬p∧q)∧]([¬q∧p])对应的集合为[[(∁uA)∩B]∪[A∩(∁uB)]]，易知与(b)对应，故选D.