三角函数教案

三角函数教案（精选14篇）

1.三角函数教案 篇一

一、新课引入：

师：前面我们学习了正弦函数y=sinx的图象和性质，请同学说出它的定义域、值域、奇偶性、周期及单调区间？

生：定义域：R，值域：[-1，1]，奇函数，单增区间：[]单减区间：[] 师：回答的很好，那么形如偶性、周期及单调区间又如何呢？

（一片茫然，没有学生回答）

函数的定义域、值域、奇师：大家别着急，今天我们就要来学习它们的图象和性质，并通过它们的图象和性质进一步来探究它们的图象与y=sinx图象会有什么样的关系．

二、动手实验：

下面请大家用图形计算器在同一坐标系分别输入以下几组三角函数的图象，并观察每一组图象的定义域、值域、周期、单调区间及其再观察每一组图象相互之间的关系、特点，然后进行小组讨论、交流．

第一组：

第二组：

第三组：

（教师巡视，同时指导学生注意输入中经常出现的几个问题：窗口调节、弧度与度的单位转换、及其如何利用在同一坐标系同时画图和利用功能键

进行追踪和如何利用其它键进行的放大等等．）

三、师生交流：

师：从下列第一组图1，你有什么体会？

图1 师：的定义域、值域、周期分别是多少？

生：的定义域：x∈R，值域：y［－2，2］，周期：应该与y=sinx的一样还是

师：不错，那么呢？

生：的定义域x∈R，值域：y∈［－，］，周期：

师：很好，那么它们三者之间的图象有什么关系呢？ 生：好象它们之间有一定的伸缩关系 师：能不能再说得具体一点吗？

生：伸缩倍数是不是与2和有关呢？

师：大家探究和分析的很好，是不是这样呢？不过别着急．下面请大家先看大屏幕几何画板的动画演示

（老师心喜：他们能够说出“伸缩”二字，而且发现与2和利用动画演示有助于验证他们的猜想）

有关，只是猜想不知是否正确，此时，图2 演示1：拖动点C,请大家观察图象上D、E的运动，在横坐标相同的条件下，纵坐标的变化，同时注意比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx）

图3 演示2：拖动点B，观察图象y=sinx与y=Asinx图象，当A发生变化时，点D、E的纵坐标的变化，同时注意比值的变化．（改变A的值，整体对比y=sinx与y=Asinx的关系）

进一步引导,观察,启发：

师：通过上述大家的实验、和我刚才的几何画板演示，你又有什么体会？ 生： 函数y=1/2sinx的图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变)，函数y=2sinx图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的2倍而得(横坐标不变)师：太好了，回答完全正确．（演示进一步巩固了他们的猜想）教师总结：

一般地，y=Asinx，(x∈RA>0且A1)的图象可以看作把正弦曲线y=sinx上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 第二组：

师生交流：

师：和第一组一样，你们有什么体会？

图4 师：与的定义域、值域、周期分别是多少？

生：与的定义域：R,值域：[-1，1]，和y=sinx的都一样，周期是多少看不出来，反正它们的周期显然不一样．

（学生从图形计算器屏幕看到的的确如此，它们的周期明显不一样）师：是的，他们的图象差别太大，但是可以看出一个周期较小，一个较大．（教师想通过周期的不一样来突破周期变换）现在我给大家演示两个动画3．

图5 演示1：拖动点A（A、B,它们分别在各自的图象上）在纵坐标相同的条件下，观察A、B的横坐标的变化，以及的比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx的关系）

演示2：拖动点B, 改变W的值，再观察上述的变化．（改变W的值，进一步观察y=sinx与y=sinWx的图象关系）

(该环节的演示要慢，要让学生注意观察比值的不变特点)

图6 进一步引导, 观察启发: 师：通过上述你的实验、和几何画板的动画演示，你又有什么体会？

生：函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的 函数y＝sin原来的2倍(纵坐标不变)而得到，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到（的确难得，他们能发现影响周期的量是W了，这样也为下一节课周期的教学作好准备）师：大家已经能通过第一组的变换特点，类比的方式得到它们之间的关系，真的很不错．那么谁能把y=sinωx图象与y=sinx的图象作比较，说出它们之间的关系吗？

生：函数y=sinωx, x∈R(ω>0且ω1)的图象，可看作把y=sinx所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）

（鼓励学生用自己的语言来归纳，总结）师：有进步． 总结：

一般地，函数y=sinωx, x∈R(ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．我们把这种变换简称为周期（或者伸缩）变换．

第三组：

图7 师：它们的定义域、值域、周期分别是多少？以及它们的图象关系又有如何关系？ 生：定义域：x∈R，值域：y ∈［-1，1］，周期：，图象似乎与我们以前学过的具有平移关系．

（因为高一学习过一些简单的平移，学生对平移的说法可以很快的提出）

师：回答的十分正确．那么大家再用功能键点？

追踪，观察它们的平移的方向和平移的单位有什么特（由于学生的图形计算器的单位是幅度，追踪的结果是一个数，不会带有行换算，几分钟后）

师：请大家看我用几何画板的动画演示4． 演示1：拖动点C,观察变化．（观察平移的单位）的单位，让学生注意进演示2：拖动点B,改变B的值，观察平移的方向．（让学生去发现：从左边移动(B>0)，从右边移动（B<0）

图8 引导,观察,启发：

师：通过上述实验、和几何画板演示的结果你有什么体会？

生：函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.函数y＝sin(x－单位长度而得到)，x∈R的图象可看作把正弦曲线y=sinx上所有点向右平行移动个师：太棒了，回答的十分正确． 教师总结：

一般地，函数y＝sin(x＋＞0时)或向右(当)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，我们把这一变换称为平移变换

四、运用反思：

1、下列变换中，正确的是

A 将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象

B 将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象

C 将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的相反数,即得到y＝sinx的图象

D 将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的＝sinx的图象

答案：A

倍，且变为相反数，即得到y（可以让学生使用机器来验证自己的回答是否正确，尤其是C和D的回答）

2．师：大家可以选择变换路径

（由于前面都是单一的变换，可以提示学生先选择变换路径）

生： 即把y=sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1/2，然后把图象上的所有点向右移动个单位． 师：有不同意见吗？ 生：是的，基本就是这样．

师：从一定是向右平移个单位吗？

生：是啊

（全体学生感到纳闷，老师为什么这样问呢．）

师：好吧，请大家用计算器实验，看看他说的是否正确？ 生：我输入图象看，平移的数据似乎不对，到底是多少呢？

（由于学生的图形计算器的单位是幅度，追踪的结果是一个数，不会带有 的单位，可以让学生进行换算来回答，但是几何画板可以动态变化和计算）

师：请大家再看我的演示：拖动点A,观察点A、C横坐标的变化．（观察它们距离的单位刻度是多少．）

图9 生：我知道了，应该是向右平移，而不是 师：不错应该是应该是向右平移，这是我们经常会犯的错误，一般地，函数的平移是指变量的变化量，所以要把函数化为从中可以看出，所以应该是向右平移

（这时学生在做次类题目，经常容易犯的错误，应引起足够的重视）

五、小结与思考：

今天我们学习了三种三角函数：形如图象是由y=sinx的图象怎么变换得到，我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换．

思考：

上述三种三角变换适应于三角函数的图象外，是否也适应于一般函数的图象的变换吗？请同学们下去通过今天学习的方法用图形计算器探索、思考下列几组函数图象的关系

1、与2、3、（让学生下去动手实践，、探索和验证，也为后期函数图象变换的学习作准备）

六、作业：

七、教学反思：

1、本节课是以学生探索为主，教师点拨、启发、引导和利用几何画板的演示为辅．通过TI-92PLS图形计算器进行教学学习和探究活动，获得TI计算器正弦波函数性质等数学问题的体验；认识现代信息技术对学习数学知识和探究数学问题的价值．借助已知知识提出问题，体现教师为主导，学生为主体的原则，整个教学过程为：提出问题

探索

解决问题

运用反思

提高．

2、以前该部分内容的教学通常是通过取值、列表、描点、画图然后静态的让学生观察、总结，最后得出它们之间图象变化的特点，如下图所示．

（振幅变换）

（周期变换）

（平移变换）

不仅教学内容少，而且课时需要多（以前至少需要2课时）、课堂气氛枯燥、学生参与的活动少、学习的积极性较低．通过信息技术的使用，改变常规教学中处理方式，利用图形计算器让学生实验、观察、体会和交流，然后再通过几何画板的辅助教学演示，使得振幅变换、伸缩变换、平移变换变得形象、直观，学生易于理解和掌握，不仅一节课完成了三种变换而且学生的兴趣浓厚、参与活动多、课堂气氛活跃，使课堂教学落到了实处，主体作用得到了真正的体现，综合能力和素质也得到了培养，这充分体现了信息技术具有的优势．

3、但值得商榷的是：原来教学的“五点作图法”绘制函数图象，再讨论参数所起的作用，这里用技术马上就画出函数图象，并观察规律得出结论，所以“五点作图法”在技术面前如何处理会更好．

2.三角函数教案 篇二

1.通过动手操作和观察比较，认识三角形，知道三角形的特性及三角形的高和底的含义，会在三角形内画高。

2.通过实验，知道三角形的稳定性及其在生活中的应用。

3.培养学生观察、操作、自学的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。

4.体验数学和生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。

【教学重点】

1.理解三角形的特性。

2.在三角形内画高。

【教学难点】

理解三角形高和底的含义，会在三角形内画高。

【教学过程】

一、情境导入

师：我们的学校，我们的家乡，我们的祖国每天都在发生着日新月异的变化。大家看又一栋楼房正在建设中，相信不久的将来就会落成。请大家仔细观察，你能说出图中哪些物体上有三角形吗？

【设计意图：情境引入让学生感受数学知识来源于生活。通过学生举例生活中的三角形，直观感知三角形的形状。】

二、探究新知

1.发现三角形的特征

师：请你画出一个三角形。画好后想一想：三角形有几条边？几个角？几个顶点？（课件出示：探究一：三角形的特征。）三角形有什么特点？

师：为了表达方便可以分别用A，B，C表示三角形的三个顶点，这个三角形可以称作三角形ABC。

【设计意图：利用生活经验动手画三角形，通过让学生认真观察，思考。发现三角形的特征，体现民主、探究的意识和主动学习的积极性。并让学生动手画，从而培养学生的实践能力。】

2.概括三角形的定义

师：大家认识了三角形的特征。能用自己的话概括一下，什么样的图形叫三角形？

（适机插入冷笑话，老师想起了一个笑话，大家想听吗？笑话内容，有位生物老师组织了一个讨论，什么样的动物是人？于是同学们讨论后回答，“有两只眼睛的动物是人。”这时有一位同学“噗嗤”笑了起来，老师走到他的身边问他：“你为什么笑？”这位同学回答说：“按他说的，那我家的小狗狗也是人了，因为它也有两只眼睛。”生物老师又问：“那什么样的动物才是人呢？”又有一位同学举手回答：“没有尾巴的动物是人。”又有一位同学站了起来说：“不对，那按他说的，青蛙也是人了。”）

师：同学们，之所以给大家讲这个笑话，就是告诉大家，我们回答问题要全面思考，不能以面概全，很显然同学们刚才给三角形下的概念是不全面的。那么，什么样的图形才是三角形呢？

师：引导学生对照板书的关键词概括三角形的定义。（再课件出示三角形的定义）。

【设计意图：通过尝试自学、对比、争辩、判断、概括一系列的活动，由学生自己概括三角形的定义，充分体现了学生的自主探究性，培养了学生自学、概括的能力。】

3.三角形的特性

师：刚才我们认识了三角形的特征和它的定义。三角形有这么广泛的应用，那三角形有什么特性呢？

（师边说边出示课件：探究二：三角形的特性）

（实验操作：教师出具教具，学生动手操作，教师适机插入与上台操作的学生的幽默对话）

师：想一想这说明三角形具备什么特性？（课件出示三角形的稳定性的文字）

师：三角形的稳定性在生活中的用处很大，教师边说边出示课件，图中哪儿有三角形？它们有什么作用？（课件出示例2的主题图）

师：你能再举出生活中应用三角形稳定性的例子吗？

（课件出示一些三角形的稳定性的应用的画面）

【设计意图：通过学生两次拉动，亲自体验到平行四边形和三角形的不同特性，在操作和比较中加深了对三角形特性的认识，又通过说出三角形特性在生活中的应用，使学生体验到数学和生活的联系。】

4.认识三角形的底和高

师：我们完成了两个探究活动，下面进入活动三，请大家看黑板。

（课件出示：探究三：三角形的底和高，然后出示房屋的画面）

师：我们只要量出这条线段的长度就知道了房顶的高度，那么这条线段叫什么，如何画呢？

（课件出示屋顶三角形的高的作图的画面）

（课件出示高和底的概念的画面）学生齐读。

师：同学们，请你画出下面三角形指定底边上的高。

师：刚才我们画了三角形的一组底和高，想一想一个三角形只有一组底和高吗？

有三组底和高。因为三角形有三个顶点，三个顶点都可以到对边引一条垂线，所以有三组底和高。

【设计意图：复习平行四边形高的画法，再让学生自学课本验证自己的想法，接着让学生自己画高并标出相应的底，教师有针对性地板演指导，加深了学生对三角形高和底的认识并掌握了高的规范画法，同时也使学生了解了任何一条边都可以做三角形的底来画高，最后思考得出三角形有几组底和高。在这一系列的活动中学生认识并理解了三角形的高，较好地突破了本课的难点。】

三、课堂小结

通过这节课的学习，你学会了什么？你有什么收获？（学生回答，教师完成板书）

小结语：通过本节课的学习，同学们已经了解了三角形的稳定性在我们生活中的广泛应用，相信大家也深深体会到了生活中处处有数学、有知识的道理。希望大家能用智慧的眼光去发现生活中的数学。

四、作业

1.回家观察家里哪儿有三角形？有什么作用？

2.画出第三类三角形的三条高。

3.三角函数教案 篇三

教材：同角三角函数的基本关系(3)——证明

《教学与测试》第50课 目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。过程：

一、复习同角的三角函数的基本关系：

例：（练习、《教学与测试》P25 例一）

已知sincos54，求sincos的值。

解：(sincos)22525916

即：12sincos16 sincos32

二、提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）

例

一、（见P25 例四）化简：1sin2440

解：原式1sin2(36080)1sin280cos280cos80 例

二、已知是第三象限角，化简1sin1sin1sin1sin（《教学与测试》例二）解：原式(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)

(1sin)21sin)2sin1sin1sin2(1sin21|cos||cos| 是第三象限角，cos0原式1sincos1sincos2tan（注意象限、符号）

例

三、求证：cos1sin1sincos

（课本P26

例5）证一：左边cos(1sin)cos(1sin)cos(1sin(1sin)(1sin)1sin2)cos2

1sincos右边

等式成立

（利用平方关系）证二：(1sin)(1sin)1sin2cos2且1sin0,cos0

cos1sin1sincos

（利用比例关系）证三：cos1sincos2(1sin)(1sin1sincos)(1sin)coscos2(1sin2)(1sin)cos

cos2cos2(1sin)cos0

cos1sin1sincos

（作差）例

三、已知方程2x2(31)xm0的两根分别是sin，cos，求

sincos1cot1tan的值。

（《教学与测试》 例三）

解：原式sin2cos2sin2cos2sincoscossinsincossincos 由韦达定理知：原式31（化弦法）例

四、已知asecctand,bsecdtanc,求证：a2b2c2d2

证：由题设：asecctand(1)bsecdtanc(2)

(1)2(2)2：(a2b2)se2c(c2d2)ta2nc2d2(a2b2)sec2(c2d2)sec2

a2b2c2d2

例

五、消去式子中的：xsincos(1)ytancot(2)

解：由(1)：x212sincossincosx212(3)

由(2)：ysincoscossin1sincossincos1y(4)

将(3)代入(4)：y2x1（平方消去法）

例

六、（备用）已知sin2sin,tan3tan,求cos2 解：由题设：sin24sin2

①

tan29tan2

②

①/②：

9cos4cos

③

2①+③： sin29cos24

s9co2s

41co2

co2s3 8

三、小结：几种技巧

四、作业：课本P27

练习

5，6，P28

习题4.4

8，9

《教学与测试》P106

4.任意角的三角函数教案 篇四

合肥市二十八中学

漆学龙

教学目标 <一> 知识目标

1、掌握任意角的三角函数的定义。

2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。

3、记住三角函数的定义域和诱导公式

（一）。<二> 能力目标

1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。

2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。

3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。<三> 德育目标

1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。

2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。教学重难点

任意角的正弦、余弦、正切的定义

（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。教学过程

问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?

在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆

即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示

推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切)任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:

正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为:

我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1：

解：

例2：

事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

问题4: 根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?

例3：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角

解略

问题5:根据三角函数的定义，终边相同角的同一三角函数值是否相等？

课堂练习练习1：填表

练习2：教材第15页练习1、2、4 本课小结

1.任意角的三角函数定义 直角三角形中的锐角三角函数

象限中的锐角三角函数

单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数

任意角终边上任一点（非原点）坐标定义三角函数 2.三角函数的定义域

3.正弦、余弦和正切函数在各个象限的符号 一全正，二正弦，三正切，四余弦 4.诱导公式一

课后作业 1.习题1.2

5.三角函数教案 篇五

（二）一、素质教育目标

（一）知识教学点：1．理解自变量的取值范围和函数值的定义，对解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值；2．使学生在了解函数的解析表示法的基础上，进一步认识与了解函数的意义；3．能在已知函数值的情况下求出相对应的自变量的值．

（二）能力训练点：1．在确定自变量取值范围的过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．在求函数值的过程中进一步加强对学生运算能力的培养．

（三）德育渗透点：通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的．

二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：求自变量的取值范围和已知自变量的值求函数值．因为在通常情况下，自变量是有一定的变化范围的，而且对于在一定范围内变化的自变量，函数值也有一定的变化范围．

2．教学难点：求自变量的取值范围．因为自变量的取值范围，决定了函数值的变化范围．

三、教学步骤

（一）明确目标

上节课我们学习了数学中一个很重要的基本概念——函数，这节课我们将来学习与函数有关的一些知识．

（二）整体感知 提问：1．根据上节课所学知识，请你举一个函数的例子，并写出函数表达式，同时请说明它为什么是函数．

由于这个问题较基本，而且可以因人而异，所以可选择几个中下层次的学生来回答，培养学生的参与意识及能力．在学生回答的同时，把这些式子写在黑板上，留待后用．

2．（从上面出现的函数关系式中选出较恰当的一个）请你说出这个式子中的常量与变量，自变量与函数．

由学生回答，互相评价即可．

根据上述问题中给出的函数关系式，指出：（板书）这几个函数关系式，都是利用数学式子（即解析式，在此处不必扩充解析式的定义）来表示的，我们称这种用数学式子表示函数的方法叫做解析法．

提问：上述定义里的“这种”，你认为是什么含意？ 由学生讨论，适当引导学生，可找学习较好的学生回答，然后教师加以总结，除了解析法之外，函数还有其它的表示法．例如：在本章开始时，所给出的温度图表，其实就是用图象表示函数，这些我们将在以后学习．

提问：1．看函数解析式S=πR2，若单纯以式子出现，这里的自变量R的取值范围是怎样的？ 2．若给出圆的面积公式S=πR2，这里的自变量R的取值范围又是怎样的？ 这两个问题由学生讨论回答，在此处提出这样的问题，主要是使学生明确：在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．（教师总结）

下面我们就来看一下求自变量取值范围的例题：（出示幻灯）

例1 求下例函数中自变量x的取值范围：（1）y=2x+3；（2）

提问：①看这几道题，自变量在什么样的式子中？ ②上述式子，在什么样的条件下有意义？

教师提问之后，剩下的工作可由学生自行完成，然后由学生回答，互相评价即可．

练习:1

练习2 由学生讨论完成这道题．

注意：关于x的取值范围，纠正学生中易出现的x＞0这种错误，向学生解释明白（或由学生自行解释）：字数一定是整数的．

上面，我们主要是讨论如何确定自变量的取值范围，那么在这样的取值范围内，函数值有没有变化呢？应怎样求出特定自变量值的情况下函数的值呢？由学生思考．

看函数y=x（30-x），当自变量x=5时，对应的函数值是多少？ 由学生思考之后．口述过程．教师板书完成此题． 下面，我们来看一个例题：（出示幻灯）例3 求下列函数当x=2时的函数值：

由学生独立完成，找两名同学上黑板板演，第1名同学做（1）、（2）题；第2名同学做（3）、（4）题．然后根据学生做题的情况，总结，纠正出现的错误．

提问：求函数值的问题实际就是求什么的问题？

提这个问题主要是使学生能对所学的知识有正确地认识，而且能正确归类，便于学生理解、记忆．

这个问题由学生思考回答，若是没有思路，可以启发学生从解题的方法上找结果，总结：实际就是求代数式值的问题．

练习1，2题

由学生独立完成，教师巡回指导，口答答案即可．

刚才，我们研究了怎样由自变量的值求函数值，试想，若已知函数值应怎样求对应的自变量的值呢？

由学生讨论方法，与上述例题的方式正好相反，之后出示例题：（出示幻灯）例3 当x取什么值时，下列函数值为0：（1）y=3x-5；（2）y=2x2-5x+3． 提问：函数值为0，是什么意思？

由学生思考、总结：函数值为0，即y=0．然后由学生独立完成，找两名同学板演，最后加以总结，评价即可．

练习三：当x取什么值时，下列函数值为0：

由学生独立完成，若学生在做题时有一定的困难或有错误出现，教师应及时加以纠正．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程 本节课的教学重点是求自变量的取值范围，为了让学生明确为何要确定自变量的取值范围，首先引出了函数的解析式，然后通过一个具体的解析式S=πR2的不同含义，使学生明确上述问题．在学生知道了为什么要确定自变量的取值范围之后，就开始通过各种不同类型的问题，让学生进一步理解自变量的取值范围实际就是使函数解析式有意义的那一部分值．同时，能使学生对不同类型的问题找到求自变量取值范围的方法，在小结中形成规律，便于学生的记忆和应用．

同时，在研究了自变量的取值范围之后，又很自然地使学生想到，随着自变量的值不同，对应的函数值也就不同，因此又引出了已知自变量的值求函数值和已知函数值求自变量的值这两个问题，使学生能很容易地接受．

（四）总结、扩展

教师提问，学生思考回答．

1．这节课我们介绍了一种什么样的表示函数的方法？ 2．用解析法表示函数应注意什么问题？ 3．求函数的自变量的取值范围的方法是怎样的？

对第3题，由学生先讨论之后回答，对有欠缺的部分互相补充，形成有规律而且完整的知识．

答：（1）要使函数的解析式有意义：

①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数．（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义．

4．如何在给定自变量的情况下求函数值？又如何在给定函数值的情况下求自变量的值？

四、布置作业

1．教材习题3，5，6，7题

6.三角函数复习体会 篇六

一、要理解记忆公式

三角函数部分公式比较多，学生记忆起来困难比较大，应该在教学过程中注意公式推导和公式与公式之间的互相推导。

二、要立足课本，夯实基础，突出重点

对于课本典型例题与习题，重视领悟蕴含其中的思想方法，做完题后，要仔细进行反思，就能体会到三角恒等变形的主要途径——变角、变函数、变结构。这样进行以点带面的复习，复习的重点应是三角函数的性质，并突出把握考查的两个重点：一是三角恒等变形及其应用，二是三角函数的图象与性质，在全面复习的基础上，查找自己的薄弱环节，有针对性的查缺补差，完善知识网络与认知结构。

三、要重视方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=sin2θ+cos2θ=tanx·cosx=tan45°等。②项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2θ+2cos2θ=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，等。③降次与升次。④引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin（θ+α），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tanα确定。

2.证明三角等式的思路和方法。①思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。②证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。对三角函数试题中的选择，填空题，复习中要掌握其常用方法，如数形结合法，验证法，特例法，淘汰法与直接法，充分运用数形结合的思想，把图形和有机地结合起来，一方面利用函数图象与三角函数线，加深对三角函数性质的理解；另一方面利用三角函数的性质描绘图象，揭示图形的代数本质。

在教学过程中，做完题后，要及时进行反思、一题多解，做一题便将关联的知识与基本方法重温一遍，重点的知识更为突出，知识间的联系更为清晰，掌握的数学思想方法更为完善，日积月累，自己的水平与能力就会逐步得到提高。

例：已知函数y=cos2x +sinx·cosx+1（x∈R）

求（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y= cos2x +sinx·cosx+1= （cos2x+1）+（2sinx·cosx）

+ = （cos2x+sin2x）+ =（cos2x·sin +sin2x·cos ）+ =

sin（2x+ ）+所以y取最大值时，只需2x+ = +2kπ，（k∈Z），即x= +kπ，（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x= +kπ，k∈Z}。

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：①把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数y=sin（x+ ）的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（2x+ ）的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变），得到函数 sin（2x+ ）的图像；④把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y= sin（2x+ ）+ 的图像。综上得到y=cos2x+sinx·cosx+1的图像。

说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx，cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+α)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

四、易错问题辨析

由于三角函数一章的性质多样，图象变换复杂，再加上运用公式进行恒等变形所带来的定义域的改变，常常会引起解题的失误，下面就一些常见易错问题进行分析。

在解题过程中，学生经常忽略正切函数定义域。

例：函数y=sinx（1+tanx·tan ）的最小正周期，忽视了定义域的限制，导致出错。注意挖去（kπ+ ，0）、（2kπ+π，0），则可得所求函数的周期为2π。

五、要加强对三角函数应用的训练

课本安排了解斜三角形的应用举例和实习作业，涉及到测量与航海等实际问题，其立意突出数学的应用，应通过组合与整合，将三角函数，平面向量，解斜三角形形成一个知识板块来复习，一些考生应用意识淡薄，不能以角为自变量建立三角函数关系式求解，思维受阻，近几年高考中以三角函数为背景的三角函数试题已形成了一个亮点；另外，三角形形状的判定，三角函数中的探索性问题都涉及到综合应用，复习中要充分利用这些素材，以三角函数的恒等变形与平面向量为工具，进行综合应用训练，不断提高分析和解决问题的能力。

7.三角函数教案 篇七

一、学情分析:

1、学习过指数函数和对数函数；

2、学习过周期函数的定义；

3、学习过正弦函数、余弦函数0,2上的图象。

二、教学目标： 知识目标：

1、正弦函数的性质；

2、余弦函数的性质； 能力目标：

1、能够利用函数图象研究正弦函数、余弦函数的性质；

2、会求简单函数的单调区间； 德育目标：

渗透数形结合思想和类比学习的方法。

三、教学重点

正弦函数、余弦函数的性质

四、教学难点

正弦函数、余弦函数的性质的理解与简单应用

五、教学方法

通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图象，从而发现正弦函数、余弦函数的性质，加深对性质的理解。（启发诱导式）

六、教具准备

多媒体课件

七、教学过程

1、复习导入

(1)我们是从哪个角度入手来研究指数函数和对数函数的？(2)正弦、余弦函数的图象在0,2上是什么样的？

2、讲授新课

（1）正弦函数的图象和性质（由教师讲解）

通过多媒体课件展示出正弦函数在2,2内的图象，利用函数图象探究函数的性质：

ⅰ 定义域

正弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域

从图象上可以看到正弦曲线在1,1这个范围内，所以正弦函数的值域是1,1 ⅲ 单调性

结合正弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即：

在2k,2 k  (k上是增函数；











Z)

222k

在





,2 k  

(k 

Z)上是减函数；

223ⅳ 最值

观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

当

x k 



,k

 Z 时，y max



1当

x k  ,k

时，y min

  1

 Z22

ⅴ 奇偶性

正弦函数的图象关于原点对称，所以正弦函数的奇函数。ⅵ 周期性

正弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2。（2）余弦函数的图象和性质（由学生分组讨论，得出结论）

通过多媒体课件展示出余弦函数的图象，由学生类比正弦函数的图象及性质进行讨论，探究余弦函数的性质： ⅰ 定义域

余弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域

从图象上可以看到余弦曲线在1,1这个范围内，所以余弦函数的值域是1,1 ⅲ 单调性

结合余弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即：

在,2 k  (k

2 k 

 



Z)上是增函数；

 2 k,2 k  

 (k 

Z)上是减函数；

在ⅳ 最值

观察余弦函数图象，可以容易发现余弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

min 当

x

k  , k 

Z 时，y max

 1

当

x

 2 k 



 , k 

Z 时，y



 1

ⅴ 奇偶性

余弦函数的图象关于y轴对称，所以余弦函数的偶函数。ⅵ 周期性

余弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2。

3、例题讲解：

例：求函数 y



sin（)的单调递增区间。

x23分析：采用代换法，利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。

1u 的单调递增区间是 解：令 u



x 

.函数 y

 sin

3[



k , 



2k 

Z

k  ],222

x  2由k 





k ,2321

得：

54kx4k,kZ.33

5x4k,4k(kZ)

)的单调增区间是 所以函数

y 

sin（

3323

4、练习：

 3求函数 y

sin(x )的单调减区间。

4k8,k8(kZ)

答案：









5、小结：

（1）探究正弦函数、余弦函数的性质的基本思路是什么？（2）求正弦函数、余弦函数的单调区间的基本步骤是怎样的？

6、作业：

习题1.4

8.三角函数教案 篇八

一.教学目标：

1.知识与技能

（1）能够由和角公式而导出倍角公式；

（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；

（3）能推导和理解半角公式；

（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.并培养学生综合分析能力.2.过程与方法

让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.二.教学重点 ：倍角公式的应用.难点:公式的推导.三.课型、教法：新授课；观察、类比、启导、发现 四.课时安排：2课时 五．教学过程

（一）探究新知

1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2、提出问题：公式中的角是任意角，如果，公式会变得如何？

3、学生自主探究二倍角公式：

[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？

注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： cos2是的倍角.481cos2,2sin21cos2 这两个形式今后常用.2

（二）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin2230’cos2230’=122 ②．2cos21cos sin4524428③．sin2④．8sin2 cos2cos42881coscoscos4sincoscos2sincossin ***21262例2.化简 ①．(sin55535555 cos2coscos)(sincos)sin***②．cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos 222222③．112tantan2 21tan1tan1tan④．12cos2cos212cos22cos212

5,(,)，求sin2，cos2，tan2的值。***0 解：sin2 = ，cos2 = 12sin2，tan2 = 

169169119例

3、已知sin思考：你能否有办法用sin、cos和tan表示多倍角的正弦、余弦和正切函数？你的思路、方法和步骤是什么？试用sin、cos和tan分别表示sin3，cos3，tan3.2

1sin40cos40cos80例4.cos20cos40cos80 = sin20cos20cos40cos802

sin20sin2011sin160sin80cos801 8 48sin20sin20例5.求函数ycosxcosxsinx的值域.2 解：y1cos2x121sin2xsin(2x) ————降次 222

42（三）学生练习： 教材P140练习第1、2、3题

（四）学习小结

1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：

是的倍角.482．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

1cos2 这两个形式今后常用.24.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”

2是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.2 cos21cos2,2sin25．注意公式的结构，尤其是符号.（五）作业布置：习题3.2 A组第1、2、3、4题． 六．板书设计：3.3二倍角的三角函数

1、二倍角公式 例1 例3 例5

9.三角函数与平面向量 篇九

一、借助平面向量的运算性质，将三角形面积问题转化为三角函数的问题

例1 在[△ABC]中，[O]为坐标原点，[A(1,cosθ)]、[B(sinθ,1)]，[θ∈(0,π2]]，当[△OAB]的面积达到最大值时[θ]的值为（ ）

A. [π6] B. [π9] C. [π4] D. [π2]

解析 ∵ [OA=1+cos2θ,OB=1+sin2θ,] [θ∈(0,π2]]

∴[cos∠AOB=OA⋅OBOAOB]

[=sinθ+cosθ(1+cos2θ)(1+sin2θ)]，

[∴sin∠AOB=2-sin2θ2(1+cos2θ)(1+sin2θ).]

∴ [△OAB]的面积

[S=12OAOBsin∠AOB=2-sin2θ4]，

∵ [θ∈(0,π2]]，[2θ∈(0,π]]，[∴sin2θ∈[0,1]]，

当[△OAB]面积最大时 ，

[sin2θ=0]， 即[θ=π2]. ∴选D.

点评 本题也可以借助余弦定理求[sin∠AOB]或求点[O]到直线[AB]的距离构造三角形的面积进行解题，但计算量都较向量的夹角公式要大些，本例题借助向量数量积的运算结合三角形的面积公式，建立三角形的面积关于角[θ]的三角函数，通过函数思想求最值，思路清晰.

二、以平面向量为纽带，将三角函数图象间的关系和性质联系起来

例2 函数[y=sinx+3cosx]的图象按[a]平移后所得图象的解析式为[y=3sinx][-cosx+2]，那么向量[a]=（ ）

A. [(-π2,2)] B. [(-π2,-2)]

C. [(π2,-2)] D. [(π2,2)]

解析 由函数[y=sinx+3cosx=2(sinx+π3)]的图象平移到[y=3sinx][-cosx][+2][=2sin(x-π6)+2][=2sin(x-π2)+π3+2]的图象，即向右平移[π2]个单位，同时向上平移[2]个单位， ∴[a=(π2,2)]， 故选D.

例3 将函数[y=f(x)]的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[y=cos(x-π6)]的图象. 另一方面函数[f(x)]的图象也可以由函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c]平移得到，则[c]可以是（ ）

A. [(π12,-1)] B. [(π12,1)]

C. [(π6,-1)] D. [(π6,1)]

解析 将函数[y=cos(x-π6)]图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，同时将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[f(x)=2cos(2x-π6)]的图象. 而将函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c=(π12,-1)]平移可得到[f(x)=2cos[2(x-π12)]]的图象. 所以选A.

点评 三角函数图象按向量进行的变换主要是平移变换，要注意平移的方向、平移的大小. 解题时可以选取平移前后的特殊对应点分别作为向量的起点和终点求向量，如例3中，可以选取点 [(0,3)]、[(π12,2)]分别作为向量的起点和终点而得出答案. 一般情况是以平面向量为纽带，根据平移前后图象的特点、性质求向量坐标、向量的模或模的最值等. 同时也要关注三角函数图象按向量平移后的图象特点、性质. 如对称性、对称中心、对称轴、单调性、单调区间、最值等题型.

三、借助平面向量的运算性质，将平面向量的问题转化为三角函数问题

例4 已知[a=cosα，sinα，b=cosβ，sinβ]，其中[0<α<β<π].

（1）求证：[a+b]与[a-b]互相垂直；

（2）若[ka+b]与[ka-b]（[k≠0]）的长度相等，求[β-α.]

解析 （1）因为[(a+b)⋅(a-b)=a2-a⋅b+b⋅a-b2][=a2-b2=|a|2-|b|2][=|cos2α+sin2α|2-|cos2β+sin2β|2]

[=1-1=0]，

所以[a+b]与[a-b]互相垂直.

（2）[ka+b=kcosα+cosβ，ksinα+sinβ]，

[ka-b=kcosα-cosβ，ksinα-sinβ]，

所以 [|ka+b|=k2+2kcosβ-α+1]，

[|ka-b|=k2-2kcosβ-α+1].

因为 [|ka+b|=|ka-b|]，

所以[k2+2kcosβ-α+1=k2-2kcosβ-α+1，]

有[2kcosβ-α=-2kcosβ-α].

因为[k≠0]，故[cosβ-α=0].

又因为[0<α<β<π，0<β-α<π]，

所以[β-α=π2].

点评 借助向量在解决角度、垂直、距离、共线等问题上的运算性质，很方便将向量问题转化为三角函数问题，然后根据三角函数恒等变形公式或利用函数思想等解决问题.

四、运用转化思想将模的取值问题转化为三角函数的值域问题

例5 已知向量[m=(1,1)]，向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，且[m⋅n=-1].

（1）求向量[n]；

（2）若向[n]与向量[q=(1,0)]的夹角为[π2]，向量[p=(cosA,2cos2C2)]，其中[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，求[n+p]的取值范围.

解析 （1）设[n=(x,y),]由[m⋅n=-1]，

可得[x+y=-1]. ①

又向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，

[∴m⋅n=mncos3π4,][∴n=1，]则[x2+y2=1.]②

由①②得， [x=-1,y=0,]或[x=0,y=-1,]

即[n=(-1,0)]或[n=(0,-1)].

（2）由[n]与[q]垂直知，[n=(0,-1)].

[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，

[∴B=π3]，[A+C=2π3,] [0

[∴n+p=(cosA,2cos2C2-1)=(cosA,cosC)]，

[n+p2=cos2A+cos2C]

[=1+12[cos2A+cos(43π-2A)]]

[=1+12cos(2A+π3).]

[∵0

[∴-1≤cos(2A+π3)<12,]

[∴12≤1+12cos(2A+π3)<54]，

[∴n+p2∈[12,54),] [∴n+p∈[22,52)].

点评 利用向量运算性质将向量问题转化三角函数问题或普通函数问题，再利用函数性质或函数图象来解决是常用方法. 本题第一问根据向量的数量积和向量的坐标运算很方便求出[n]的坐标，第二问将向量的模的问题转化为三角函数问题，再利用余弦函数的单调性和有界性，将问题转化为求三角函数的值域.

五、利用三角函数的有界性，解决与平面向量有关的恒成立问题

例6 已知向量[OA=(λcosα,λsinα)(λ≠0),][OB=][(-sinβ,cosβ)]，其中[O]为坐标原点.

（1）若[β=α-π6]，求向量[OA]与[OB]的夹角；

（2）若[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，求实数[λ]的取值范围.

解析 （1）设向量[OA]与[OB]的夹角为[θ]，则[cosθ=OA⋅OBOA⋅OB=λsin(α-β)λ=λ2λ.]

当[λ>0]时，[cosθ=12,  θ=π3]；

当[λ<0]时，[cosθ=-12,θ=2π3].

故当[λ>0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[π3]；

当[λ<0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[2π3.]

（2）[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，即[(λcosα+sinβ)2+(λsinα-cosβ)2≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，则[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立.

当[λ>0]时，∵[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，

∴[3-λ22λ≤sin(β-α)]恒成立，

[∵sin(β-α)≥-1]， ∴[3-λ22λ≤-1]，

[∴λ>0,λ2-2λ-3≥0,] 解得[λ≥3]，

同理有[λ<0,λ2+2λ-3≥0,] 解得[λ≤-3].

综上所述，[λ∈(-∞,-3]⋃[3,+∞)].

点评 利用向量模的运算将向量的不等式恒成立求参数的问题，转化为含参数的三角函数恒成立问题，然后借助正弦函数的有界性，将问题转化为关于参数的不等式，通过解不等式来达到解决问题的目的.

专题训练三

一、选择题

1. 在[△ABC]中，[AB=a,BC=b]，有[a⋅b]<0,则[△ABC]的形状是（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形

C. 角三角形 D. 不能确定

2. 已知[m=63,n=(cosθ,sinθ),m⋅n=9,]则向量[m]与[n]夹角为（ ）

A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°

3. 已知向量[a=(3,4),b=(sinα,cosα),]且[a]∥[b]，则[tanα]= ( )

A. [34] B. [-34] C. [43] D. [-43]

4. 已知偶函数[f(x)]满足[f(x)=f(x+2)]且当[x∈[0,1]]时[f(x)=sinx]，其图象与直线[y=12]在[y]轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为[P1、P2、⋯]，则[P1P3⋅P2P4]等于（ ）

A. 2B. 4C. 8D. 16

5. 设向量[a=(4,3)]，向量[a]在[b]上的投影为[522]，[b]在[x]轴上的投影为[2]，且[b≤14]，则[b]为（ ）

A. [(2,14)] B. [(2,-27)]

C. [(-2,27)] D. [(2,8)]

6. 函数[y=cos(2x+π6)-2]的图象[F]按向量[a]平移到[F],[F]的函数解析式为[y=f(x),]当[y=f(x)]的图象关于点[(π2,0)]对称时，向量[a]可以等于（ ）

A. [(-π6,-2)] B. [(-π6,2)]

C. [(π6,-2)] D. [(π6,2)]

7. 设向量[a=(cos25°,sin25°)]，[b=(sin20°,cos20°)]若[t]是实数，且[u=a+tb]，则[u]的最小值为（ ）

A. [2] B. [1]

C. [22] D. [12]

8. 已知[△ABC]，[A、B、C]的对边分别为[a、][b、][c]，且[acsinA

A. [△ABC]是钝角三角形

B. [△ABC]是锐角三角形

C. [△ABC]可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形

D. 无法判断

9. 为了得到函数[y=3sin(2x+π5)]的图象，只要把函数[y=3sinx]的图象上所有的点（ ）

A. 横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移[π10]个单位长度

B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移[π10]个单位长度

C. 向右平移[π5]个单位长度, 再把所得图象上所有的点横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变）

D. 向左平移[π5]个单位长度, 再把所得图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

10. 如图，两个平行四边形[OP1P2A]和[OP2BA]中，三点[P1]、[P2]、[B]共线，点[P]在[△ABP2]内移动（不包括边界）. 若[OP=x OP1+y OP2]，则实数对[(x,y)]可以是（ ）

A. [(-12,1)] B. [(-32,2)]

C. [(-12,35)] D. [(-35,65)]

二、填空题

11. 已知[a = (sin53°cos23°, cos23°cos53°), ][b=(-cos53°sin23°,sin23°sin53°)]，[c=(1,t)]，[c]∥[(a+b)]，则[t]值为 .

12. 已知向量[a=(cosα,sinα),b=(sin2α,1-cos2α)，][c=(0,1),α∈(0,π)]，则函数[f(α)=b-(a+b)⋅c]的最大值为 .

13. 若将向量[a]＝（2，1）绕坐标原点旋转[π4]得到向量[b]，则向量[b]＝ .

14. 在[△ABC]中，[AB=8,BC=7,AC=3]，以[A]为圆心，[r=2]为半径作一个圆，设[PQ]为圆[A]的任意一条直径，记[T=BP⋅CQ]，则[T]的最大值为 .

15. 已知[OA=(cosα,sinα),OB=(-sin(α+π4),][cos(α+π4)),][O]为原点，实数[λ]满足[λOA-OB≥][3OB,]则实数[λ]的取值范围为 .

三、解答题

16. 设[OA]＝([2sinx],[cos2x]),[OB]=[(-cosx],1), [x∈[0,π2].]

（1）求[f(x)=OA⋅OB]的最大值和最小值；

（2）当[OA⊥OB]时，求[AB2]的值.

17. 若[m=(3sinωx,0),n=(1,-sinωx),ω>0]，在函数[g(x)=m⋅n+t+32]的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为[π2]；若将函数[g(x)]的图象向右平移[π3]个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的[12]倍（纵坐标不变），得到函数[f(x)]的图象，且当[x∈[0,π3]]时，[f(x)]的最大值为1.

（1）求函数[f(x)]的解析式；

（2）若[f(x)=-1+32,x∈[0,π]]，求实数[x]的值.

18. 若[O是△ABC]内一点，证明：[SΔOBC·OA＋][SΔOCA]·[OB]＋[SΔOAB·OC=0].

19. 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(1-x)=f(1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)]，[b=(2sinx,12)]，[c=(cos2x,1)]，[d=(1,2)]，当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f((c⋅d)]的解集.

20. 已知向量[a=(3sin3x,-y),][b=(m,cos3x-][m)][(m∈R),]且[a+b=0]. 设[y=f(x)].

（1）求[f(x)]的表达式，并求函数[f(x)]在[[π18,2π9]]上图象最低点[M]的坐标.

（2）若对任意[x∈[0,π9],][f(x)>t-9x+1]恒成立，求实数[t]的范围.

21. 在平面直角坐标系中，已知[O]为坐标原点，点[A]的坐标为[(a,b)]，点[B]的坐标为[(cosωx,sinωx),]其中[a2+b2≠0]且[ω>0]. 设[f(x)=OA⋅OB.]

（1）若[a=3,b=1,ω=2]，求方程[f(x)=1]在区间[[0,2π]]内的解集；

（2）若点[A]是过点[(-1,1)]且法向量为[n=(-1,1)]的直线[l]上的动点. 当[x∈R]时，设函数[f(x)]的值域为集合[M]，不等式[x2+mx<0]的解集为集合[P]. 若[P⊆M]恒成立，求实数[m]的最大值；

10.函数与方程教案 篇十

§1：函数与方程

教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教学目标：

1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。

2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。复习引入：

同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a0)这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=－.②ax2+bx+c=0(a0)这是一个一元二次方程，在对一ab元二次方程求解时我们会先用判别式△=b2－4ac来判断方程是否有实解。当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x1≠x2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x1=x2;当△＜0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=

bb4ac2a2。③x5+4x3+3x2+2x+1=0

函数的零点。

说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。

②零点是一个实数，并不是一个点。③函数的零点就是相应方程的根。

④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。

学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。

2． 判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。

那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？

观察例1中第一个方程的对应图像：f(x)= x2-2x-3 从图像上看，我们知道函数f(x)= x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-2)=5＞0,f(0)=-3＜0, f(-2)×f(0)＜0;f(2)=-3＜0, f(4)=5＞0, f(2)×f(4)＜0.可以发现f(-2)×f(0)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（-2,0）内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根；同样地，f(2)×f(4)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（2,4）内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：

3.零点存在性定理： 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲

5，一个小于2。

分析：转化判断函数f(x)=（x-2）（x-5）-1在区间（-∞，2）和(5, +∞)内各有一个零点。

解：考虑函数f(x)=（x-2）（x-5）-1，有f(2)=（2-2）（2-5）-1=-1＜0，f(5)=（5-2）（5-5）-1=-1＜0，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在（-∞，2）内存在一点a，使f(a)＞0；在(5, +∞)内存在一点b，使f(b)＞0，所以抛物线与横轴在（a，2）内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程（x-2）（x-5）=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。

四、零点存在性定理说：“若f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a)×f(b)＞0时，问题：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)×f(b)＞0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内是否有零点?可能有几个零点？

11.指数函数教案 篇十一

一、教学类型

新知课

二、教学目标

1.理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的定义域，值域及其奇偶性.2.通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.三、教学重点和难点

重点：理解指数函数的定义,把握图象和性质.难点：认识底数对函数值影响的认识.四、教学用具

投影仪

五、教学方法

启发讨论研究式

六、教学过程 1）引入新课

我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------指数函数.指数函数(板书)

这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题:

问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数 与 之间,构成一个函数关系,能写出 与 之间的函数关系式吗?

由学生回答: 与 之间的关系式,可以表示为

.问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了 次后绳子剩余的长度为 米,试写出

与 之间的函数关系.由学生回答:

.在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量 均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.2）指数函数的概念(板书)

1.定义:形如 的函数称为指数函数.(板书)

教师在给出定义之后再对定义作几点说明.2.几点说明(板书)

(1)关于对 的规定:

教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解为若 时 ，会有什么问题?如 ,此等在实数范围内相应的函数值不存在.若 对于 都无意义,若 则 无论 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定

且.(2)关于指数函数的定义域(板书)

教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时，也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值.(3)关于是否是指数函数的判断(板书)刚才分别认识了指数函数中底数,指数的要求,下面我们从整体的角度来认识一下,根据定义我们知道什么样的函数是指数函数,请看下面函数是否是指数函数.(1)

(4),(2),(5),(3)

.学生回答并说明理由,教师根据情况作点评,指出只有(1)和(3)是指数函数,其中(3)

可以写成 ,也是指数图象.最后提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.3.归纳性质

作图的用什么方法.用列表描点发现,教师准备明确性质,再由学生回答.函数

1.定义域 :

2.值域:

3.奇偶性 :既不是奇函数也不是偶函数

4.截距:在 轴上没有,在 轴上为1.对于性质1和2可以两条合在一起说,并追问起什么作用.(确定图象存在的大致位置)对第3条还应会证明.对于单调性,我建议找一些特殊点.,先看一看,再下定论.对最后一条也是指导函数图象画图的依据.(图象位于 轴上方,且与 轴不相交.)

在此基础上,教师可指导学生列表,描点了.取点时还要提醒学生由于不具备对称性,故 的值应有正有负,且由于单调性不清,所取点的个数不能太少.此处教师可利用计算机列表描点,给出十组数据,而学生自己列表描点,至少六组数据.连点成线时,一定提醒学生图象的变化趋势(当 越小,图象越靠近轴, 越大,图象上升的越快),并连出光滑曲线.七、思考问题，设置悬念

我们已学习了指数函数的定义与有关性质，能否自己给出其图像呢？其图像有何性质？请学生自己下去思考，这就是我们下一节所要学习的。

作业：习题1、2、3

八、小结

指数函数的概念、定义域、值域、奇偶性

课题：第十六章指数函数

---概念及性质

教 案

11级数学与应用数学

汪飞飞

12.锐角三角函数内容解读 篇十二

一、 锐角三角函数的定义

研究锐角三角函数的定义，是将锐角放在直角三角形中，用直角三角形的边之间的比值来定义的. 即如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，则

温馨提示：

（1） 弄清“对边”“邻边”“斜边”的含义，这是理解定义的基础. 如在Rt△ABC中，∠C=90°，对∠A来说，BC是对边、AC是邻边，而对∠B来说，BC是邻边、AC是对边，无论怎样，“边”一定要分清.

（2） 为了记忆方便，可以用口诀进行记忆，即“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.

（3） 从定义可以看出，锐角三角函数的值是随着角度的变化而变化的，当角度固定不变时，无论边怎样变，三角函数的值是确定的.

（4） 三角函数的符号是一个整体数学符号，不能看成是sin和A相乘的关系，而是“∠A的正弦”，同加减乘除一样，相当于一个运算符号.

二、 特殊角的三角函数值

任意角的三角函数值都可以利用计算器求得，但对于特殊角（即30°、45°、60°）的三角函数值应当熟练掌握，这样便于运用它们进行计算、求值或解直角三角形. 常用的记忆方法有三种：

1. 列表法，就是利用课本上的表格记忆，如下图表格.

2. 寻找规律法，从课本表格中寻找数字间的规律熟练记忆. 如30°、45°、60°的正弦值，分母都是2，分子依次为而余弦值正好反过来；30°、60°的正切值是互为倒数. 为了记忆方便，可以用口诀进行记忆，即“正弦123，余弦321，正切313”.

3. 图形推导法，当记忆不准确时，如图2可在含有特殊角的直角三角形中利用定义进行推导.

温馨提示：特殊角的三角函数值有两层含义：（1） 由特殊角的度数可得它的三角函数值；（2） 根据特殊角的三角函数值，可求得它的度数.

由于∠A，∠B均为锐角，因此∠A=60°，∠B=60°，则∠C=60°，故选B.

三、 学会利用“数形结合”探究性质

由锐角三角函数的定义，利用“数形结合思想”可得以下几个重要性质：

1. 增减趋势：当0°<α<90°时，sinα、tanα随着角度α的增大而增大；cosα随着角度α的增大而减小.

如图3，在Rt△A3BC中，∠C=90°，若设∠BA3C=α，当A3向A2、A1移动时，α增大，这时A3B变小，而BC不变，则sinα的值增大；

当A3向A2、A1移动时，α增大，这时A3C变小，而BC不变，则tanα的值增大；

若设∠A3BC=β，当A3向A2、A1移动时，β减小，这时A3B变小，而BC不变，则cosβ的值增大.

2. 根据三角函数的定义结合图形，还可以得到如下的性质，同学们可以自主探究.

（1） 取值范围：

如果0°<α<90°，那么00.

（2） 比较大小：

①同名锐角三角函数值的比较，如果0°<α<β<90°，那么sinαcosβ，tanα

②不同名但同角的锐角三角函数值的比较，如果0°<α<45°，那么sinαcosα.

（3） 同角三角函数间的关系：

①平方关系：sin2α+cos2α=1；

②倒数关系：tan（90°-α）·tanα=1；

③商式关系：tanα=.

（4） 互余两角的三角函数间的关系：cos（90°-α）=sinα，cosα=sin（90°-α）.

13.三角形教案 篇十三

1、知识目标：

(1)掌握已知三边画三角形的方法;

(2)掌握边边边公理，能用边边边公理证明两个三角形全等;

(3)会添加较明显的辅助线.

2、能力目标：

(1)通过尺规作图使学生得到技能的训练;

(2)通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力.

3、情感目标：

(1)在公理的形成过程中渗透：实验、观察、归纳;

(2)通过变式训练，培养学生“举一反三”的学习行为;

教学重点：SSS公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。

教学难点：如何根据题目条件和求证的结论，灵活地选择四种判定方法中最适当的方法判定两个三角形全等。

教学用具：直尺，微机

教学方法：自学辅导

教学过程：

1、新课引入

投影显示

问题：有一块三角形玻璃窗户破碎了，要去配一块新的，你最少要对窗框测量哪几个数据?如果你手头没有测量角度的仪器，只有尺子，你能保证新配的玻璃恰好不大不小吗?

这个问题让学生议论后回答，他们的答案或许只是一种感觉。于是教师要引导学生，抓住问题的本质：三角形的三个元素DD三条边。

2、公理的获得

问：通过上面问题的分析，满足什么条件的两个三角形全等?

让学生粗略地概括出边边边的公理。然后和学生一起画图做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证。(这里用尺规画图法)

公理：有三边对应相等的两个三角形全等。

应用格式：(略)

强调说明：

(1)、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等;再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起;写出结论。

(2)、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的(如公共边)

(3)、此公理与前面学过的公理区别与联系

(4)、三角形的稳定性：演示三角形的稳定性与四边形的不稳定性。在演示中，其实可以去掉组成三角形的一根小木条，以显示三角形条件不可减少，这也为下面总结“三角形全等需要有3全独立的条件”做好了准备，进行了沟通。

(5)说明AAA与SSA不能判定三角形全等。

3、公理的应用

(1)讲解例1。学生分析完成，教师注重完成后的点评。

例1如图△ABC是一个钢架，AB=ACAD是连接点A与BC中点D的支架

求证：AD⊥BC

分析：(设问程序)

(1)要证AD⊥BC只要证什么?

(2)要证∠1=

只要证什么?(3)要证∠1=∠2只要证什么?

(4)△ABD和△ACD全等的条件具备吗?依据是什么?

14.三角函数教案 篇十四

教学内容：角的概念和弧度制（1课时）

教学目标：了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 教学重点：角的概念的推广，特殊角角度与弧度的互化． 教学难点：满足一定条件的角的位置的判断． 教学用具：三角板 教学设计：

一、知识要点

1.角的概念：角的形成，角的顶点、始边、终边． 注：运动观点定义角；安装在平面直角坐标系中． 2.角的分类（以旋转方向为标准）：正角；负角；零角.3.终边相同的角：与角终边相同的角的集合（连同角在内），可以记为

{|k360,kZ}或{|2k,kZ}．

4.象限角与轴线角（以终边位置为标准）：顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，则终边落 在第几象限，就称这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上则是轴线角． 注：写出各象限角的集合及各轴线角的集合． 5.区间角、区间角的集合：角的量数在某个确定的区间内（上），这角就叫做某确定区间的角． 若干个区间构成的集合称为区间角的集合．

6.度量：角度制与弧度制以及弧度与角度互换公式：

1800.01745rad．

1rad57.305718，1180注：特殊角角度与弧度的互化要熟练．

7、弧长公式：l||r，扇形面积公式：s扇形12lr12||r.2二、典型例示

例1 已知45，（1）写出与终边相同的角的集合；（2）在区间[720,0]内找出与终边相同的角.解：（2）令72045k3600,kZ，得765k36045,kZ，解得178k18,kZ，从而k2,1，故675或315.注：由指定区间得到相应的不等式，求解得到k的取值范围，找出其中的整数解就可以确定出所求的角了.例2（1）1234角的终边在第 象限；

（2）已知为第二象限角，判断22的终边所在的位置；

43呢？2呢？

解：（1）12343360154，它与154角的终边相同在第三象限；（2）由∴62k2k,kZ，得

k22k,kZ，2的终边在第一、三象限.2k3332k3,kZ，∴

3的终边在第一、二、四象限.4k224k,kZ，∴2的终边在第三、四象限或在y轴的负半轴上.注：已知角为第k（k取一、二、三、四之一）象限角，求角

n(nN*)的终边所在

位置是常规题型，一般可用直接法求解.还可用几何法，即利用单位圆来判断角

n(nN*)的

终边所在位置：把单位圆在每个象限的圆弧n等份，并从x正半轴 开始沿逆时针方向依次在每个区域循环标上1、2、3、4直到填满为 止，则有标号k的区域就是角则角3n(nN*)的终边所在位置.如k2，的终边在第一、二、四象限，右图中标有2的区域就是角

3 的终边所在位置.例3（1）扇形的中心角是2弧度，弧长是2cm，求它的面积.（2）已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？扇形的面积是多少？

解：（2）2RR2R，22，S(1)R2.注：两个公式联系着扇形的四个量.三、课堂练习

1.与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

kk2.集合M{x|x,kZ}，N{x|x,kZ}，则()2442A.MN B.MN C.MN D.MN

3.若是第二象限角，则第_____象限角。

2是第_____象限角，2的范围是________________，2是

4.在半径为R的圆中，240的中心角所对的弧长为＿＿＿，面积为2R2的扇形的中心角 等于＿＿＿弧度。

四、课堂小结

五、课外作业

1.将时钟拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是()

A.B.

C.D.

33552.已知为第三象限角，则

2所在的象限是()A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限

3.已知为第四象限角，则所在的象限是()A.第一或第三象限 B.第二或第三象限 C.第二或第四象限 D.第一或第四象限 4.终边在第一象限角平分线上的角的集合为()7} B.{|2k,kZ} A.{,444C.{|k5.函数ysinx|sinx|4,kZ} D.{|2k4,kZ}

|cosx|cosxtanx|tanx|的值域是＿＿＿＿＿＿＿。

6.的终边与6的终边关于直线yx对称，则＝＿＿＿＿＿＿。

7.已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。