分类计数原理与分步计数原理教案

分类计数原理与分步计数原理教案（精选5篇）

1.分类计数原理与分步计数原理教案 篇一

分类计数原理和分步计数原理教案1

教学目标

正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：分类计数原理和分步计数原理．

难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用．

教学用具

投影仪．

教学过程设计

(一)引入新课

师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．

今天我们先学习两个基本原理．

(这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课．讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础)

师：(板书课题)

(二)讲授新课

1．介绍两个基本原理

师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1)．

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

师：(启发学生回答后，作补充说明)

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有

4＋2＋3=9

种不同的走法．

这个问题可以总结为下面的一个基本原理．

(打出片子——分类计数原理)

分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

(教师放慢速度读一遍分类计数原理)

师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2)．

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9－1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

师：(启发学生回答后加以说明)

这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法．

一般地，有如下基本原理：

(找出片子——分步计数原理)

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有

N＝m1×m2×…×mn

种不同的方法．

(教师要读一遍分步计数原理)

2．浅释两个基本原理

师：两个基本原理是干什么用的呢？

生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．

(如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示)

师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢？

(学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘．)

两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．

师：请看下面的分析是否正确．

(打出片子——题1，题2)

题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．

1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．

题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？

第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．

生乙：从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．

(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)

师：为什么会出现错误呢？

生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求．

师：(教师归纳)

进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以．

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用分步计数原理．

也就是说：类类互斥，步步独立．

(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)

(三)应用举例

师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．请看例题1．(板书)

例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法)

师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据分类计数原理，得到的取法种数是

N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．

故从书架上任取一本书的不同取法有14种．

师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法种数是

N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．

故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．

师：(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是

N=3×5＋3×6＋5×6=63．

即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．

师：请大家再来分析和解决例题2．

(板书)

例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？

师：每一个三位整数是由什么构成的呢？

生：三个整数字．

师：023是一个三位整数吗？

生：不是，百位上不能是0．

师：对！百位的数字不能是0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是0．那么要组成一个三位数需要怎么做呢？

生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字；第二步确定十位上的数字；第三步确定个位上的数字．

师：很好！怎样表述呢？

(教师巡视指导、并归纳)

解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．

答：可以组成100个三位整数．

(教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．

教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础)

(四)归纳小结

师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？

生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理．

师：应用两个基本原理时需要注意什么呢？

生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．

(五)课堂练习

P222：练习1～4．

(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)

(六)布置作业

P222：练习5，6，7．

补充题：

1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？

(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数)

2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．

(提示：需要按三个志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)种填写方式)

3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？

(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9＋9×9＋9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)

4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法？(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？

(提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．(1)N=5＋2＋3；(2)N=5×2＋5×3＋2×3)

课堂教学设计说明

两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头．中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键．所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题．对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的．基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题．

正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件．而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立．教学过程中的题1和题2，就是为了解决这一问题而提出的．

分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练．教学中给出了例题

1、例题2．这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯．为了帮助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了4个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础．

考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别设计了使用教具——投影仪．要是有实物投影仪那就更方便了．

2.分类计数原理与分步计数原理教案 篇二

COULTER公司的五分类血球计数仪就是物理检测法的代表。物理检测法的特点是:

(1) 白细胞在保持原始状态下接受检测。

(2) 采用多角度偏振光散射白细胞分类技术。

(3) 仪器较贵, 所需试剂种类少, 测试成本较低。下面简要介绍COULTER公司五分类血球计数仪的产品所采用的检测方法的原理和分类的实现。

(a) RBC/PLT /WBC总数依然采用经典的阻抗法。

(b) WBC分类方面采用VCS探针技术。首先用试剂彻底溶解红细胞, 再使白细胞恢复到原态, 进入流式通道接受检测。在流式通道内运用鞘流技术, 令细胞在流式通道内作最适的单细胞排列。COULTER运用V、C、S 三种探针对白细胞进行五项分类, 在流式通道的检测点, 对通过的单列白细胞进行逐个的、同时的、三重的检测, 用三维分析技术直接分类白细胞各亚群。

(c) 仪器配备了先进软件, 可以像流式细胞仪一样调校、设置门限, 可在三维图像上将各细胞较好的分开, 达到较准确的分类。并可提示幼稚白细胞、异型淋巴细胞等。

(d) VCS探针技术简介:V-用低频电流分析细胞体积, 是库尔特专利技术。体积能有效区分淋巴细胞和单核细胞。C-高频电磁探针检测细胞核及核质比。S-运用一个氦氖激光源发出的单色激光照射细胞, 并收集细胞的散射光。可以很好地区分细胞核内的复杂程度。

(e) 三维分析。仪器将检测8, 192 个白细胞, 根据每个细胞的V、C、S 检测量, 将它们分布到一个VCS 三维坐标 (分辨率为256256256=16, 777, 216) 上, 得到白细胞各亚群的分布区, 其分辨率是非常高德。高分辨率不仅令五项分类清晰, 还可以提示许多异常细胞区域的报警。

3.分类计数原理与分步计数原理教案 篇三

2014年高考数学（文）真题分类汇编：计数原理

J1 基本计数原理

J2 排列、组合7．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()

A．60种B．70种

C．75种D．150种

7．C

J3 二项式定理

13．[2014·全国卷](x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)

13．－160

4.计数原理教学反思 篇四

运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：

分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”。

分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成。

5.分类计数原理与分步计数原理教案 篇五

【活动目标】

1、引导幼儿学习按物体特征进行多次分类，并用数字记录。

2、使幼儿学会用语言讲述操作过程以及结果。

3、引发幼儿学习的兴趣。

4、能与同伴合作，并尝试记录结果。

【活动准备】

1、帽子图、标记卡、数字卡若干，黑色水笔；

2、数字印章，印泥、操作用纸若干。

【活动过程】

一、集体教学活动。

（1）学习用标记分类计数。

出示图形一

师：图上有什么？（帽子）

师：一共有几顶帽子？可以用几来表示？

师：用什么标记来表示这里记的是帽子？启发幼儿说出帽子标记。

师：这7顶帽子是一样的吗？有什么不一样？

幼儿讲述，教师和幼儿讨论用什么标记来表示。例如：帽子上没有花的可以在花标记上划一条斜线表示没有花。

（2）分类计数。

这些帽子有这么多的地方不一样，哪每样有几个呢？可以用数字几来表示？引导幼儿把数字贴在标记的左面。

（3）小结。

盖住图一，现在我们不看这幅图能不能知道图上有几顶什么样的帽子？每样有几顶？

你怎么知道的？（看标记的）

引导幼儿一起看标记来说一说。

二、小组活动。

1、看图按标记印数字。

2、盖点子游戏。

3、依照样子涂色。

4、给数目最多的点子打勾。

三、活动评价。

请个别幼儿上来说说你们是怎么做的，讨论做的是否正确。

中班数学：分类计数（二）

【活动目标】

1、学习按图形的两个特征标记分类并正确记录其数量。

2、培养幼儿用语言讲述操作结果的习惯。

【活动准备】

1、图形拼图一幅，标记卡、数字卡若干，各种图形若干。

2、数字印章，印泥、操作用纸若干。

【活动过程】

一、集体教学活动。

1、学习用两个特征标记记录图形。

（1）出示图形一。

师：图上有什么？（房子、小桥、蝴蝶）

师：用什么图形拼搭成的？（长方形、三角形）

师：每个三角形都一样吗？什么地方不一样？

（2）出示图二（颜色标记、形状标记、大小标记）

师：用哪些标记来表示大三角形？小三角形？

师：用哪些标记来表示红三角形？黄三角形？

幼儿先相互讨论、交流。

教师小结。

（3）按照标记记录。

师：这儿这么多的图形，每种图形各有几个呢？请幼儿报数字老师记录。

（4）小结。

请幼儿一起说说这幅图里面有几个什么样的图形？

二、幼儿操作活动。

1、分类游戏。

（幼儿分别取自己的图形卡片）看一看，说一说，你的图形是什么颜色的什么形状的。

看教师出示标记图，图形特征与标记相符的幼儿，举起卡片站起来。送图形回家，要求图形必须符合门牌号。

2、记数活动看图按标记记录。

学习记录后，说说这幅图里有几个什么样的图形。

三、活动评价。

请个别幼儿上来说说你们是怎么做的，讨论做的是否正确。

反思

此次活动，以“幼儿的发展为本”精心设计，抓住幼儿好动的天性，巧妙地创设数学王国这一情境。在活动中，提高幼儿主动参与性在动手操作中体会和掌握知识，使儿真正成为学习的主人，而教师则是幼儿活动的组织者、引导者与合作者。