微积分教学大纲

微积分教学大纲（共12篇）（共12篇）

1.微积分教学大纲 篇一

从微积分的发展，看微积分的教学

高等教育院校作为我国的最高学府，每年都会吸纳很多人才，也会向社会输送很多人才.这些学生毕业后大多会从事科技研究工作，所以怎样让学生接受并学会枯燥无味的微积分知识，是摆在教育工作者面前的大难题.本文首先分析微积分的发展历史，进而从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.

摘要：微积分作为高等数学的必修课程，历来是高等院校的必开课程.微积分与实际生活密不可分，它应用于天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中，在科学技术飞速发展的今天，微积分更是有了越来越广泛的应用.

关键词：微积分;发展;高等数学

微积分对于高等数学的意义非常重大.一方面，微积分是所有高等数学知识的基础，如学习线性代数和概率，学生都要掌握微积分知识.另一方面，微积分是前人为了解决实际生活中的难题而发明的，所以微积分与实际生活密不可分.对于科技的发展，知识是前提，微积分涉及生活中的各个学科领域，所以，高等学校的学生要想更好地适应科技发展，就必须学习和掌握微积分知识.

一、微积分的发展

微积分主要包括极限、微分学、积分学.早在古希腊时期，学者阿基米德在研究有关球的问题时就已经涉及了积分学.至于极限学，作为微积分研究的基础，早在我国古代就已经开始应用，只不过那时人们没有将它单独规范为一门学科.

微积分的发展历史就是一部人类对自然认知的过程史.17世纪，人类的知识体系还不是很完善，对于一些计算问题束手无策，这就要求人类找到一种科学方法来解决这些疑问，于是科学家们开始研究微积分.困扰当时人类的难题主要为四类，第一类问题出现在物体运动中，即速度问题.第二类问题出现在曲线中，即曲线的切线问题.第三类问题出现在函数中，即函数的极值问题.第四类问题出现在力学中，即两个物体之间的作用力问题.人类的求知欲引导着科学家进行漫长的探索.

17世纪，各个领域的科学家在微积分领域开始了研究，他们的国度不同，语言不通，信仰不同，但对于研究的目标是一致的，那就是解决问题，虽然没有最终总结出完整的.理论，但他们的探索为后世的研究奠定了道路，也为微积分学说的提出作出了不小的贡献.

17世纪中叶，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨经过总结前人成果和自己的不断探索终于提出了微积分学说，但还只是初步.直到1671年牛顿写了《流数法和无穷级数》，提出了微积分的主要思想.1684年莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，这本书提出了精确的数学符号，也规范了微积分学说.

19世纪初，以柯西为首的法国科学家，开始整理前人的微积分理论，并建立了极限理论.后来维尔斯特拉斯又经过深入研究，最后终于完善了微积分理论.

从微积分漫长的发展史可以看出，微积分的发展过程就是人类对自然认知的过程，人类解决任何问题都是从直观的认识开始的，运用抽象思维，最终将问题由感性认识成功转化为理性结论.其实，高等数学的教学也是这样，下面从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.

二、从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点建议

(一)教导学生认识微积分的重要性

微积分是高等数学教育的基础，是每个大学都会开设的一门基础学科.然而，学生们学习微积分，往往是为了应付考试，根本就无法将其应用到实际生活中.针对这一点，微积分教学时，教师首先应该帮助学生端正自己的学习态度，只有持有一个端正明确的学习态度，学生们才能真正用心地去学习微积分.微积分课程一般被安排在大学一年级，而一年级正是学生们刚刚步入大学的时期，对于微积分这类复杂的数学知识学生们还没有太合理的数学思维去适应并掌握它，且微积分理论不仅难于理解还很枯燥乏味，对于学生们和老师来说都感觉“食之无味，弃之可惜”，最后的结果就是为了应对考试而只能硬着头皮死记硬背.教师应该让学生明白微积分并不仅仅是一个数学知识，它还是解决很多实际问题的金钥匙，学生们要想做一个对社会有用的人，就要端正学习态度，绝对不能知难而退，要打好高等数学的基础，就要认真学习微积分.

(二)理论联系实际，具体地教授学生微积分知识

抽象的理论很难被学生接受，尤其是微积分这种生涩的知识，更是不易掌握.针对这一点，应该多借鉴微积分的发展史，科学家开始也只是借鉴了生活中的实例，高等教学也可以这样做，可以引进一些恰当的教学模型，如讲解极限时，可以借助球体.这样不仅让学生听到讲解，也要学生看到讲解的过程，便于学生全

面的掌握知识.如在高等数学微积分的教学中曾出现这样一个问题：已知圆柱体的侧面和底面的厚度相同，而顶部厚度为侧面厚度的2倍，容积为V=3π，求这个圆柱体的高和底面的直径的比?传统的教学中，教师直接运用公式解答，最后学生们听得一头雾水;而按照本文所说的教学模式，教师可以先找一个易拉罐来当模型，然后让学生们实际接触并加以研究，理论结合实际，一定会有助于学生建立良好的数学模型.

结束语

人们总是善于从生活中发现并提取知识，并从感性认知成功地过渡到总结并提出理性观念，微积分学说的成功提出正是验证了这一点，我们在做任何事时都是重复着这一过程.高等数学微积分教学是一个艰巨的任务，不仅考验学生的认知能力，也考验教师的传授方式，只有提高学生对微积分的认识，再将理论与实际有机地结合起来，才能帮助学生掌握微积分理论.

参考文献：

[1]曹桃云.微积分中蕴含的数学美[J].成都大学学报，(87).

[2]段君丽.学点数学史教好微积分[J].长春教育学院学报，(93).

2.微积分教学大纲 篇二

1 微积分中物理问题教学的意义

1.1 激发学习兴趣。

微积分是一门思维抽象逻辑严密的科学, 微积分的教学偏重符号演算和解题技艺的训练, 常按一般的“公理、定义、定理证明”的模式讲述逻辑演绎系统, 忽视从直观和问题背景方面的引导, 淡化实际问题和应用与数学之间的联系, 往往走的是一条只讲推理, 不讲道理的便捷路线, 理论教学显得有些枯燥。著名数学家华罗庚说过:“人们对数学早就产生了枯燥乏味、神秘、难懂的印象, 原因之一便是脱离了实际。”而微积分的“源问题”一般是学生十分熟悉的实际问题, 其中包含大量的物理问题, 如果将这些物理问题呈现在学生面前, 学生就会感到实在, 觉得数学有用, 就能激发起求知的欲望。

1.2 提升思维层次。

微积分是人类在解决实际问题时思想的抽象和概括, 蕴涵着丰富的理论和方法。如:已知变速直线运动的路程求瞬时速度问题, 体现了实际问题的变化率思想;再比如:已知变速直线运动的速度求路程问题所折射出来的定积分思想, 蕴含了化整为零、积零为整的从量变到质变、否定之否定的思维过程。在解决物理问题的过程中, 了解微积分产生的时代背景和历史意义, 掌握和领会数学思想方法, 形成一定的数学思维并能上升到哲学的高度, 同时让学生学会用数学的思想方法去思考和解决问题。

1.3 增强应用能力。

大部分学生只有开始学习微积分的应用后, 才有所感悟为什么要学习微积分。实际上, 微积分正是在一些实际问题用初等数学长期无法解决的情况下产生的。毫不夸张地说, 物理学科的发展, 微积分工具功不可没, 有位物理学者曾风趣地说“物理学最大的悲哀就是离不开数学。”可见, 微积分在物理领域应用的广泛与深远。加强相关微积分知识点的物理问题应用教学, 让学生学会用数学的眼光去发现问题、解决问题并进行归纳总结, 这对于非数学专业的学生来说尤为重要。姜伯驹先生说:“在某种意义上说, 会用微积分比会证明更重要。”

2 微积分中物理问题教学存在的不足

2.1 数学教师非物理专业出身。

微积分教学中涉及的物理学公式, 许多都是自然界中某些物理现象的数学表示, 具有明确的物理意义。尽管从数学专业毕业出来的数学老师, 学习过大学物理, 但毕竟不是专业课程, 对于相关物理问题的思维肯定不够专业, 会导致对物理问题的分析及认识不是很到位。如果未能充分理解数学表达式所表示的物理含义, 而机械地从数学角度来掌握, 就不能很好地通过物理问题教学来达到巩固数学教学的目的。

2.2 学生的物理水平有限。

物理问题是很好的微积分应用教学的素材, 要想搞好教学, 学生要具备较好的物理基础, 对物理问题的过程及其相关的物理结论要有基本的概念。而对于非物理专业的学生来说, 普遍地, 物理还没有数学好, 学生的物理基础往往比较弱, 这对于微积分的物理问题教学带来较大的困难。比如说, 用定积分求变力做功和电势问题, 很多同学对功和电势这两个物理概念的物理含义和定义不熟练, 选取适当的积分微元进行积分计算等后续工作就更难了。

2.3 物理问题分析不透。

由于多方面的原因, 微积分教学中的物理问题分析不透, 导致教学效果欠佳。比如在变速直线运动的瞬时速度教学中, 学生的认知冲突或者说矛盾的核心在于“瞬时”, 是“某一时刻”的问题, 而学生之前对速度的概念是“单位时间内物体通过的位移”, 显然是“某一时间段”的问题, 应属于“平均速度”的概念。笔者发现, 很多数学老师一般不易在速度概念上去引导认知冲突, 从某种程度上说, 就是对物理问题的分析不透造成的。再比如说, 在求解感应电动势时, 一般要用到两个公式进行计算, 这两个式子中均出现了dΦm, 但它们的物理意义是不一样的, 前者是在某一时刻在微元面的磁通量微元, 它表示的是一个微小状态量, 而后者是相应微小时间段内的磁通量的微小变化量, 它表示的是一个微小过程量。在求解这样的物理问题时, 如果老师不能很好地加以区分它们的物理意义, 学生就很容易在数学认识上造成混乱。

3 微积分中的物理问题教学建议

3.1 强化数学教师的物理素养。

数学教师在微积分中进行物理问题教学, 非物理专业出身是其天生的不足。因此, 数学教师应加强相关物理问题的研究, 强化自身的物理素养。除了加强与微积分知识具体关联的物理问题研究之外, 更重要的是对物理知识的系统学习研究, 不仅仅在相关联的知识“点”上, 更要形成“线”, 乃至到“面”, 形成物理知识体系。比如说, 导数在物理学上就是一个变量对另一个变量的变化率, 除了教材上变速直线运动的瞬时速度的例子外, 还有大量的变化率问题, 如:动量对时间的导数为合外力, 角动量对时间的导数是力矩, 单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容, 磁通量对时间的导数是感应电动势等等。教师没必要每个都按定义去讲, 也没有这么多时间, 但作为教师, 应该适当列举一些, 一方面让学生知道微积分应用的广泛性, 另一方面让变化率思想在学生中入脑入心。要做到这一点, 数学老师可以通过读物理专业相关教材, 加强物理知识的系统性, 把物理问题有机地融合到微积分教学当中。

3.2 加强学生的物理基础知识。

教学是教与学两方面紧密结合在一起的, 要搞好微积分的物理问题教学, 除了老师应加强物理素养外, 学生也应具备一定的物理基础知识。如果学生不具备基本的物理知识, 教师在微积分相关概念的引入和应用教学时, 物理问题教学只能是对牛弹琴。由于大学很多专业不开设物理课, 即便开设也安排在微积分课之后, 这就要求学生在学习微积分课时, 老师要有意识地提醒学生在相关物理基础知识上提前作好准备。学生也应在原有高中物理基础上, 适当地对大学物理的知识有所涉猎。只有这样, 教师的教与学生的学才能相呼应, 方能达到预期的教学目标。

3.3 注重物理问题的分析与解决过程。

物理问题是引导学生进入微积分学习大门的重要一环, 物理问题的分析与解决过程直接催生了许多微积分的概念。如物体的变速直线运动问题, 已知S (t) 求v (t) 的过程产生了导数概念, 而已知v (t) 求S (t) 的过程产生了定积分概念。学习过物理的人都知道, 物理问题的解决取决于物理过程的分析。因此在物理问题的教学中, 应注重其分析和求解过程。在高中物理中, 物理概念是告知的, 物理公式是“知其然”, 而“不知其所以然”, 如自由落体下落高度为什么是gt2/2, 为什么定义物体的动量为, 而动能又是mv2/2, 这就要求我们在微积分的学习中加强物理问题的过程性分析, 则上述问题在微积分学习中都能得到答案。我们知道, 力对时间的累积效用 (即定积分) , 有了动量概念的产生, 而力对空间的累积效应就有了动能概念mv2/2的产生。因此, 注重物理问题的分析与解决过程, 使物理问题很好地成为抽象微积分学习的有效载体, 同时提高运用微积分解决其它实际问题的能力。

总之, 物理问题是微积分教学中不可分割的重要组成部分, 加强微积分中的物理问题教学, 是提高微积分教学效果的重要方面。教师应树立正确的教学理念, 加强物理问题的教学研究, 提升微积分教学水平, 促进学生数学能力的全面发展。

摘要：本文就微积分课程中物理问题教学的意义以及存在的问题进行了阐述, 并就如何促进微积分中的物理问题教学提出了建议。

关键词：微积分,物理问题,教学

参考文献

[1]王保全.突出数形结合思想搞好微积分教学.南都学坛.1995.6

[2]邓秀华, 陈自然.用问题驱动的微积分教学.内江科技.2007.12

3.台北科技大学微积分教学分析 篇三

【关健词】台北科技大学；微积分；教学方法

2014我有幸跟随我校教学研修团赴台北科技大学研修交流，本次教学研修团采取两校教师一一对应的方式进行交流学习是一种深层次、全方位的合作，主要采取赴课堂听课、参加学生研讨会、到教师办公室学习等多种形式的交流活动，通过这次交流对台北的教育体系及微积分教学内容和方法有了进一步的认识。

一、台北科技大学生源、微积分学生背景

首先了解到台湾的职业教育体系结构。台湾职业教育上下衔接，自成体系，与普通教育体系平行发展，齐头并进。职业技术教育体系包括高级职业学校、专科学校、技术学院或科技大学、研究所。高级职业学校属于高中阶段职业技术教育，相当于祖国大陆的中等职业学校，它招收初中毕业生或同等学历者，修业年限一般为三年。科技大学属本科层次的高等职业技术教育，它以“教授应用科学及技术，养成高级实用技术人才”为目标，分二年制、四年制。二年制招收专科学校毕业或具有同等学历，入学考试成绩合格者；四年制招收高级职业学校毕业或具有同等学历，入学考试合格者。 台北科技大学90%高职生生源，10%高中生源，相对于高中生源，高职生源的数学基础不是很好，怎么让这些学生学会微积分？

二、台北科技大学微积分课程特点

（一）自然班级上课，学生学习态度积极上进

在台北科大研修期间，微积分课堂上学生的表现令我反思，微积分是自然班级上课，课上，学生的态度端正，几乎每个同学都认真听课做笔记，课堂讨论时也是小声，整个教室没有喧哗声；课下，学生彬彬有礼，感恩回报。老师的职责就是因材施教、因势利导，让这些学生获得一技之长，自食其力。在这个意义上来说，学校的各项教学改革应该以学生为核心：分析学生特点，制定其在校期间的技能增量目标，规划其职业生涯。只有这样的“提高教育教学质量”才能真正落地。

（二）微积分教学大纲简洁，教师自主弹性较大

微积分课程大纲比较简洁，教师上课的自主性弹性较强，在教学大纲下具体上课内容教师可以根据不同班级的具体情况实时调整上课内容，期中期末测验是每个老师自己完成，不统考。

（三）微积分课程测验多，总评成绩中期末成绩比重小

微积分（1）测验有至少四次，开学举行一次全校会考，第五周再进行一次全校测验，这两次测验主要客观题型，通过读卡机改卷，可以很快出成绩，反馈给学生。每个教师进行一次期中测验，一次期末测验，根据不同班级的特点教师可以增加测验次数。微积分（2）除了期中和期末考试，一般教师中间会安排两次测验。测验多可以督促学生实时进行复习，还可以分化期末考试在总评成绩的比例，一般期末测验占总评成绩的比例很低，一般是25%～35%，具体每个老师的标准不尽相同。

（四）教师板书上课，英文原版教材

台北科技大学的微积分老师基本上都是中文讲解，英文板书上课，很少用多媒体教学，微积分教材是用英文原版教材Essential Calculus： Early Transcendentals（James Stewart）。

（五）每节课上课内容少，节凑慢，随堂练习比较多

在微积分教学过程中，重基础，重引入，轻定理证明，强化计算演绎并注重应用与作图。每节课的内容比较少，上课节凑慢，互动比较多，随堂练习较多。

在随堂听了4周课后，感觉两校的微积分课程教学体系及课时学分基本类似，我们要求稍高一些，他们更侧重于基础教学，在以后的时间里我将慢慢来探讨在不影响课程教学内容体系前提下使教学内容的讲授方面更具通识性。

（六）微积分教学中充分利用学生资源，建立学长指导制

每个自然微积分班级安排一个学生助教。助教选拔方式是，向全校公开公布信息，大二及以上年级的学生均可以报名，微积分老师安排一次考试，选拔出一部分学生参加面试，面试后综合确定学生助教名单。助教的主要工作是，协助老师批改平时作业，每周给学生上一次习题课或者组织一次小测验。从我的视角而言感觉这种形式非常好，学生助教除了给同学讲解习题，不定期的小测验，还会分享自己的学习心得。举例而言，四资一财的助教向同学分享他自己当年学习微积分的困惑--不知道微积分学了有什么用，然后他把这个问题交给同学，把同学分成若干组准备发言材料，每小组用不同的形式在全班同学面前介绍微积分的用处，同学们准备的很好很充分，从不同的视角分析了微积分的用处，效果非常不错。这样再回到老师的课堂上学习的时候就更有兴趣了。助教的形式，不仅仅对微积分学习的同学有帮助，对助教本人也是提供了一个勤工俭学和锻炼的机会。

总之，这次赴台湾之行，是一次丰收之行。或许，在我的教育生涯中，它不仅是一次难忘的经历，更是一个新的起点。

参考文献：

[1] 李伯春.台湾师范大学和淮北师范大学数学系对“最美的数学公式”认识之比较[J].淮北师范大学学报.2011（6）.

[2] 王奋平.台湾高校数学本科专业课程设置研究—以台湾大学和台湾师范大学为例[J]. 琼州学院学报.2012（10）.

[3] 陈文胜.海峡两岸数学课程标准比较研究[J].集美大学学报.2007（12）.

[4] 刘春生 谢勇旗.台湾职业教育的特色及启示[J].职业技术教育.2003（28） .

4.微积分教学大纲 篇四

1.教学目标

1、能说出微积分基本定理。

2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

3、能掌握微积分基本定理的应用。

4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。

2.教学重点/难点

教学重点：

通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

教学难点：

微积分基本定理以及利用定理求复合函数定积分的计算。

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

一、复习引入

【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题: 1.我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？ 2.如何求曲线下方的面积？

3.用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？ 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 【板书】 用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：

二、新知介绍 【1】微积分基本定理

【师】同学们刚刚接触到积分，那么大家通过阅读课本来找出什么是微积分基本定理呢？

【生】讨论回答 【师】

【板书】

【板演/PPT】

例1：计算下列定积分？

【师】同学们在练习本上先试着算一下，看看能不能计算出这两个定积分的值？ 【生】思考讨论

【师】请大家注意，一定要按照定积分基本定理来做呢？（然后，演板）

2、知识探究

（1）微积分基本定理求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意

（2）求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量。

（3）定积分的值可以是任意实数。例2：计算定积分

【师】同学们根据向量基本定理然后仔细的想一下，计算出结果 【生】思考讨论

【师】请大家注意，一定要按照向量的定义来做哦。（然后，演板）

3、分段函数与复合函数 【师】

（1）当被积函数是分段函数或绝对值函数时，该如何处理呢？（2）当被积函数是复合函数【生】讨论回答

【师】大家仔细阅读课本，找出相关的思路方法。【板演/PPT】 例3：计算下列定积分

应如何积分？

【师】同学们认真仔细的计算上面三个定积分的值 【生】思考讨论演算 【师】请大家注意，一定要按照定积分的基本定理来计算哦。（然后，提问）

4、知识探究

（1）在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间(a,b)上的积分分成败仗积分和的形式。

分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分即可。（2）当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解与复合函数的求导区分开来。

5、微积分基本定理的应用

解决定积分中含参数的问题，要以积分为媒介结合积分的计算，列出方程组或函数关系式，然后通过解方程组或利用函数性质来解决。

【板书/PPT】 例4：

【师】同学们仔细思考 【生】思考讨论

【师】请大家注意，认真找出答案。（然后，提问）

三、复习总结和作业布置 课堂练习

计算下列各定积分的值：

课堂练习【参考答案】

课堂小结

【师】刚才我们讲了微积分基本定理，以及利用微积分定理来进行简单的定积分计算，大家一定要认真的练习今天所学习的东西。

课后习题

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

板书

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

2.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法

二、微积分基本定理

三、注意问题

分段函数与复合函数求积分时注意事项。

5.《定积分的简单应用》教学反思 篇五

本节课内容是选修2-2中第四章最后一个小节，要求学生在充分认识导数与定积分的概念的基础上，通过运用积分手段解决曲边梯形的面积问题，从而进一步体会到导数与积分的工具性作用，认识到数学知识的实用价值。

新课标要求我们在教学过程中要着重培养学生的探究、发现、创新等方面的能力。学习的全过程需要学生的参与，学生是学习的主体和中心。围绕这个宗旨，我在课堂内容的编排和教学课件的制作上作了一定的思考。在内容编排上，我基本遵循由易到难的过程，从最基本的，学生所熟知的前课知识开始引入，由浅入深的引导学生加以足够地探究，使学生的发现变得自然而水到渠成。同时对于学生可能的探究结果留有足够的空间，充分肯定学生的创新发现，对于学生考虑不到的地方加以补充、引导、完善，并留出一定课后思考得余地。在课件制作方面，考虑到多媒体直观形象的特点，让其承担起引导思考与解释的重任。

我想，一堂好的示范课，不应该只是一次简单的表演与展示，如果在上课之前反复编排到一词一句，会让学生疲惫，听课老师觉得虚假而没有了讨论与交流的兴致，这其实也是对听课老师的一种不尊重的表现。因此我按照正常的教学进度，以便学生在课堂上有充分的`暴露与发现的机会，当然这样一来对于老师的临场应变要求会更高，我想这也应该是一个合格教师的基本素养吧。

6.微积分复习教案 篇六

一 基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20）二 求极限的各种方法

⑴当f(x)为连续函数时,x0Df,则有limf(x)f(x0)

xx0例1 计算极限limxarcsinx

x22 ⑵设m,n为非负整数,a00,b00则

0,当nma0xma1xm1am1xama0lim,当nm xbxnbxn1b01n1xanb0,当nm 例2 计算极限：⑴ lim973x1 ⑵ 3x22x3

limx2x44x116x⑶用两个重要极限求

①limsinx1（limsinx0，limsinf(x)1）

x0xf(x)0xxf(x)x2 结论：当x0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1cosx~。②lim(11)xe（lim(1x)xe，lim(11)f(x)e）

x0xf(x)xf(x)实质：外大内小，内外互倒

例4 计算极限：⑴ lim(12x)⑵ lim(1sinx)

x0x013x1x1 ⑷未定式的极限（000，，0，0，）0 ①罗必达法则

例5 计算极限：

x0limsinxlnx lim(sinx)x lim(x0x011)sinxx②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）例6 计算极限：⑴ lim1x1 ⑵ lim3x2

x0x1xx1 ③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）例7 计算极限limsinxtanx

x0x2(1cosx)⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

例8 计算极限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x0x1x2x三 连续和间断 1.连续的定义

2.间断点的定义和分类

四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。

第二讲 微分学

一 导数概念

导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)

x0xx0xxx0左导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0右导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0 实质：差商的极限。

例1 计算极限：⑴ limh0f(x0h)f(x0)f(x0)f(x0x)⑵ lim

x0hx二 各种求导法

⑴导数公式表（P94）和四则运算法则（P85）

例2设f(x)4x3xx45logaxsin2，求f(x)；

例3设f(x)1sinxarctanxcscx，求f(x)，f()；

4x ⑵复合函数的求导（P90）

例4 求下列函数的导数

①f(x)arctane2x ②f(x)etanx ⑶隐函数求导（方法：把y当作x的函数，两边对x求导）

例5 求下列隐函数的导数

①xyey0 ②2y3x5lny ⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）

例6 求下列函数的导数

① yxsinxx ②y2x1(x1)(32x)⑸由参数方程确定的函数的求导

x(t)重点：由参数方程确定的函数yf(x)的导数为dy(t)；

dx(t)y(t)xln(1t)例7 设，求dy；

dxytarctant三 高阶导数

例8 设y2arctanx，求y； 例9 设yexxn，求y(n)； 四 微分

重点：函数yf(x)的微分是dyf(x)dx

例10 设y3x2e2x，求dy； 例11设y2xey，求dy； 五 单调性和极值

重点：⑴由f(x)的符号可以判断出f(x)的单调性；

⑵求f(x)的极值方法：①求出f(x)，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；②判断在可疑点两侧附近f(x)的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。

例12 求函数yxln(x1)的单调区间和极值点。

例13 证明：当0x六 最值问题

求函数f(x)在区间[a,b]上的最值之步骤：①求出f(x)，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值f(a)，f(b)；

③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

例14 求下列函数在指定区间上的最值。

⑴f(x)x42x25，[2,3] ⑵yx1，[0,4]

x1七 凹凸性和拐点

重点：

⑴凹凸性概念：设f(x)在区间(a,b)内连续，若对x1,x2(a,b)（x1x2），有

2时，恒有xsinx。

f(x1x2f(x1)f(x2)xx2f(x1)f(x2)))（f(1）

2222则称f(x)在(a,b)内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。⑵由f(x)的符号可以判断出f(x)的凹凸性。f(x)为正号则f(x)是凹函数，f(x)为负号则f(x)是凸函数。

⑵判断f(x)的拐点之方法：①求出f(x)，令其为零，得到f(x)等于0的点和f(x)不存在的点；②判断在这些点两侧附近f(x)的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。

例15 求下列函数的凹凸区间和拐点。

⑴yx2x1 ⑵y3x

例16 证明：当x1x2时，必有ax1x2243ax1ax2（a0）。

2第三讲 积分学

一 不定积分与原函数的概念与性质

⑴原函数：若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

⑵不定积分：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，即

f(x)dxF(x)c，这里F(x)f(x)

⑶不定积分的性质（P174,共2个）

特别强调：F(x)dxF(x)c；dF(x)F(x)c（切记常数c不可丢）二 定积分的概念与性质

⑴定积分概念：

nbaf(x)dxlimf(i)xi

0i1 ⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可积的必要条件：f(x)在[a,b]上有界； 充分条件：f(x)在[a,b]上连续；

⑷定积分的几何意义：设f(x)0，x[a,b]，则f(x)dx表示由xa，xb，y0ab及yf(x)围成的曲边梯形的面积。

⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。

例：⑥若对x[a,b]，有mf(x)M，则有m(ba) ⑦若f(x)在[a,b]上连续，则存在[a,b]，使得满足 另：若f(x)是奇函数，则三 由变上限积分确定的函数

⑴定义：设f(t)在[a,b]上连续，则称函数

babf(x)dxM(ba)。f(x)dxf()(ba)。

aaaf(x)dx0。

(x)f(t)dt，axb

ax 为变上限积分确定的函数。

⑵求导问题：(x)dx[f(t)dt]f(x)dxax2 例1 求下列函数的导数f(x)。

①f(x)xln4tedt ②f(x)x42t01t2dt

⑶与罗必达法则结合的综合题

例2 求下列极限： ①

tlim0x02sintdtx4sin3tdt ②lim

tedt0x0x3t0x2四 求积分的各种方法

⑴直接积分法（两个积分表P174和P185）

cos2x1xx2 例3 计算积分：① ②dx dx2sinxcosxx(1x)⑵第一换元法（凑微分法）

重点：f(x)dxg[(x)](x)dxg[(x)]d(x)

令u(x)整理f(x)g(u)duG(u)cG[(x)]c

常用凑微分公式：xndx1d(xn1)，1dx2d(x)，1dxd(lnx)，sinxdxd(cosx)

n1x积分变量还原xcosxdxd(sinx)，sec2xdxd(tanx)，csc2xdxd(cotx)，secxtanxdxd(secx)，cscxcotxdxd(cscx)。

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例4 计算积分：

①tanxdx ② ⑶第二换元法

重点：20sincos2d ③2x41lnxdx ④(1xlnx)4dx x24x8f(x)dxf[(t)](t)dx dx(t)dt令x(t)g(t)duG(t)cG[1(x)]c 整理f[(t)](t)积分变量还原 常用换元方法：

①被积函数中若有naxb，令tnaxb；若有kx和lx，令xt，这里m是k，ml的最小公倍数。

②被积函数中若有a2x2，令xasint； ③被积函数中若有a2x2，令xatant； ④被积函数中若有x2a2，令xasect；

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例5 计算积分：⑴ a0axdx ⑵ 2241dx

1x例6 设f(x)是定义于实数集上的连续函数，证明 ⑴baf(x)dxbcacf(xc)dx，⑵ baf(x)dxba2bf(abx)dx

⑷分部积分法 uvdxuvuvdx

关键：适当选择u，v。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令u为易积函数，v为幂函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u为幂函数，v为不易积函数。

例7 计算积分：arctanxdx

⑸有理分式函数的积分

步骤：①若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下面重点考虑真分式P(x)的积分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 Q(x)b0(xa)(xb)(x2pxq)(x2rxs)

这里p24q0，……，r4s0。③把P(x)化为如下形式

Q(x)A A1A2P(x)Q(x)(xa)(xa)1(xa)2 

BB2 B1 1(xb)(xb)(xb)MxNM1xN1M2xN2 2212(xpxq)(xpxq)(xpxq) RxSR1xS1R2xS2 22u12(xrxs)(xrxs)(xrxs)这里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。

④于是对P(x)的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。

Q(x)x32x2dx

⑵ 例8 计算积分：⑴ 2x2x10五 定积分的分段积分问题

例9 计算积分：⑴4x3x25x6dx

0x3dx。⑵sin2xdx

0六 定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。

⑴由曲线yf(x)，yg(x)[f(x)g(x)]及直线xa，xb[ab]围成的图形的面积为：S[f(x)g(x)]dx。

ab⑵由曲线x(y)，x(y)[(y)(y)]及直线ya，yb[ab]围成的图形的面积为：S[(y)(y)]dy。

ab例10 求由下列曲线围成的图形的面积。⑴ylnx，y1x，y2； ⑵x0，x2，ysinx，ycosx；

七 广义积分

沿着定积分的概念的两个限制条件（积分区间有限和被积函数在积分区间上有界）进行推广，就得到两种类型的广义积分。

⑴第一类广义积分

①定义： abf(x)dxlimf(x)dx

babf(x)dxlimf(x)dx

aa0b f(x)dxf(x)dx0f(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dx

aab00b ②计算方法：先计算定积分，在取极限。

⑵第二类广义积分（暇积分）

①定义：f(x)dxlimababb0abf(x)dx（a是暇点）f(x)dx（b是暇点）

bc f(x)dxlimbcaa0a f(x)dxf(x)dxf(x)dxlimc0af(x)dxlimb0c f(x)dx（c是暇点）②计算方法：先计算定积分，在取极限。

例11 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，收敛于何值。

7.独立学院微积分教学改革探析 篇七

关键词：微积分,教学改革,独立学院

独立学院是我国高等教育改革发展中出现的新事物,是在大力推进高等教育“大众化”的环境下催生出来的一种新的办学模式。微积分是独立学院经管类专业开设的一门必修的公共基础课,也是学生考研的一门重要科目。独立学院的经管类专业文理兼招,而微积分这一门课程理论性较强,概念、定理较多,对于文科专业学生而言,大学学习微积分的难度会比较大。

一、独立学院经管类专业微积分教与学的现状

独立院校在长期的教学实践中摸索出一套适合本校学生的教学模式和教学方法。

1. 个别院校编写了适合自己学生的微积分教材

目前,社会上专门针对独立学院的教材较少,大多数独立学院仍然采用和母体学校一致的数学类教材。个别独立院校编写了适合自己学院学生的难易度适中的教材,更生动形象地展现了微积分的内容,有助于学生对抽象概念的理解。

2. 对于不同专业学生分层次教学

国内有些独立学院在不同专业间进行分层次教学,根据专业特点,采用不同的数学教材,不同的授课方式以及不同的课程要求等。但就经管专业的微积分教学而言,大多数独立院校还是采用传统的教学方法。

3. 文理兼招的经管类专业的学生数学基础两极分化比较严重

独立学院中不乏有高考发挥不理想的学生,他们往往有着明确的深造目标。目前大多数独立院校对不同层次的学生采取统一的教学进度、教学模式进行培养,造成基础好的学生“吃不饱”,基础差的学生“吃不了”,最终影响学生学习的主动性与积极性。

笔者在参加工作的五年里,曾经有过微积分教学的经历,对教学方法和方式也进行过研究,针对上述问题,结合笔者在教学中的体会,来浅谈一下独立院校微积分教学的一些想法。

二、微积分教学具体整改措施

1. 微积分教学形式改革

(1)多媒体教学与板书教学相结合。板书具有引导学生学习思路、便于探求和强化直观教学形象,增强教学效果等优点,而多媒体教学的优点是交互性、可控制性、大容量性、快速灵活性,可以将二者有机地结合在一起,取长补短。如:在定理的推导、例题及重难点的讲解中,适合采用板书教学,教师可一边讲解和描述,一边作扼要的板书,引导学生的思路。同时,教师可以在课堂上用多媒体演示定义、定理以及与教学内容相关的背景材料、历史典故、数学家照片、图形等内容,使微积分的教学更加直观生动,加深学生对学习的内容理解,提高学生学习微积分的兴趣。

(2)对不同基础学生采取分层教学。针对经管学部学生文理兼收、数学基础参差不齐的现象,可采用分层教学。根据学生的数学基础和接受能力的不同,把一个常规教学班分成A、B两个层次教学班,对不同层次的学生提出不同的教学要求,根据不同层次的学生调整教学内容、设置不同的作业、让各层次学生在一个相对宽松的环境中学习,从而最大限度地激发学生学习微积分的兴趣。

2. 微积分教学方法改革

(1)对抽象问题引入数学模型。在引入一些重要的数学概念和定理,注意联系其几何意义、抽象思维与形象思维的结合。例如,我们在讲解函数的变上限积分时,从它的几何意义入手,有一个积分上限就有一个曲边梯形面积与之相对应,数形结合,学生有了直观的认识,便加深了对概念的理解。实践证明,在教学中教师制作简单数学模型对教学也是很有帮助的,如:在讲空间直角坐标系时,教师制作简单的教学模型,让学生对空间坐标系以及八个卦限有直观的认识;运用二重积分求曲面所围立体的体积时,学生很难想象出立体图形的形状,教师可以制作简单的数学模型,将立体图形展示给大家看,对立体的形状有了直观的认识,学生便可以轻松求出立体的体积。

(2)对教学难点及习题开通网络教学视频、网上题库。有效利用多媒体教学技术和网络教学手段制作网上教学系统,拓宽学生学习途径,实现立体化教学模式。可将优秀的、教学经验丰富的微积分教师在教授微积分各章节的难点、重点以及典型习题的面授过程录制下来,将视频上传到学校网站,学生利用自己的账号密码可登陆网站反复学习视频内容,这样就帮学生解决了课上听不懂课下又看不懂的难题。

(3)建立专门的辅导预约网站,借助网络信息平台,完成微积分重点、难点以及课后习题的辅导。独立学院的学生自我约束力不强主要表现在未养成良好的学习习惯、自控力差、克服困难的意志力薄弱等,各学院可根据自己情况成立学生互助中心,招收各科成绩较好的同学为成绩相对较差的同学做课后辅导。以微积分课程为例,有学习难题的学生可通过网上预约的形式找到和自己课余时间一致的辅导人员、辅导地点,解决学习中的疑问。

提高独立学院微积分课程的教学质量,是独立学院学生学习的需要,同时也是独立学院生存和发展的需要。微积分课程的教学改革不是一朝一夕的事情,需要各位教师和学生的共同努力和探索。以上是笔者的粗浅认识和思考,期待各位教师在不断地探索与尝试中,找到适合独立院校微积分教学的教学内容和教学方法。

参考文献

[1]刘琳.独立学院《微积分》教学法初探.科技视界,2012,28.

[2]莫京兰.独立学院经管类专业微积分教学改革的探索.价值工程,2013.

[3]马骊.独立学院数学分层教学研究.合作经济与科技,2013.

[4]齐宗会.独立学院微积分分层次教学的深入思考与实践.科技信息,2009,9.

[5]卢俊峰.独立字院微积分教学的几点建议.科技信息.

[6]安潇潇.独立学院微积分教学改革探析.实践与探索.

[7]邓轶婧.分层次教学在独立学院微积分教学中的应用.廊坊师范学院学报,2010,10(3).

8.在高中数学中如何进行微积分教学 篇八

教学大纲微积分数学教学我国近20年间高中数学课程内容一直相对稳定，尽管教学大纲和教材也经过了几次修订，但教学内容仍然是代数、三角、立体几何、解析几何四大部分。然而，从2001年起，全国所有省市都已开始使用依照新大纲思想编写的教材，在新教材中微积分、概率统计和向量这些在大学中重点学习的知识走进了高中，这无疑给高中数学教师提出了新的课题。在新的形势下，采用合理的教学策略有效地组织新内容的教学，变得十分迫切。本文将探讨一下，在高中数学中如何进行微积分教学，如何贯彻微积分思想，以期获得一些较为可行的教学方法。

微积分学可以说是博大精深，高中学生不可能像大学生那样来学习它，那么对我们的高中生来说应该怎样学呢？高中教师又应该怎样教呢？我们的高考对这部分内容又是怎样要求的呢？下面我们就来讨论一下这些问题。

一、微积分进入高中课堂并纳入高考范围的原由

微积分从本世纪初开始进入中学并作为高考的重点，那么新世纪制订并使用的新大纲，为什么要打破二十多年的稳定局面，在课程设置上做如此大的改革呢？

这是由微积分学在数学以至整个自然科学中的重要地位所决定的。微积分学是人类思维的伟大成果之一，它的产生和发展被誉为“近代技术文明所产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后数学的发展起决定性作用的思想”。微积分的思想方法是17世纪产生的关键性的数学思想方法，不仅是学生以后学习高等数学以及许多数学分支的基础，而且对于培养学生的数学思维，增强学生的解题能力也有很大的促进作用。微积分作为一个强大的工具，也可以帮助我们解决一些用初等数学思想处理比较繁琐的数学问题，如变速运动的瞬时速度、变力作功、曲线的切线与长度、封闭曲线形的面积、立体体积等。从微积分学的创立至现在的三百年中，微积分学不仅对数学，而且对整个人类文明产生了不可估量的影响。而且我国进行了二十多年的改革开放，教育也得到了很大发展，当今不论教师的整体素质还是学生的数学能力，与二十年前相比已有了很大提高。所以学习微积分的初步知识，决不是高不可攀的，微积分知识进入中学是可行的。

二、教学大纲对“微积分”部分的要求与特点

虽然新大纲仍然将微积分作为选修内容，但却是广大希望进入高校继续深造的学生的“必修”功课。新大纲对这部分的要求总体上看，有如下几个特点：

1.对微积分的定位比较好，充分考虑到学生的实际水平。没有过多地涉及极限的理论知识，也没有要求严格的论证，只需直观认识。例如选修Ⅱ只需让学生借助几何直观理解连续函数有最大最小值的性质，这样既能对极限的一些重要性质有所认识，也不会因严格的论证望而却步。但涉及到核心内容“变化率的思想”，即引入导数时，大纲则没有一味降低难度。因为变化率的思想是人类思维进步的里程碑，是高中生学习微积分的价值所在——既为大学作铺垫，也为日后不学微积分的学生提供理解变化率思想的机会。

2.重视微积分在中学阶段的应用。尽管选修Ⅰ和选修Ⅱ课时相差很大，但都用了足够的课时讲授导数的应用（选修Ⅱ还有定积分的应用）。因为如果不谈应用，学生不仅学习该内容无甚兴趣，而且也不能对微积分有一个全面的了解。况且，在讲授微积分的应用时，也能加深学生对中学数学其他知识的理解。比如，讲导数的应用有助于进一步理解函数的变化状态，从观察基本函数的斜率开始，判断它的单调性，下降、上升区间和极值。

3.教学大纲要求“通过微积分初步的学习，了解微积分学的文化价值”，说明教师不仅应讲授微积分的基本知识和原理，还应该让学生了解微积分发展的社会背景及有关人物的资料，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。形成一定的数学思维并能上升到哲学的高度。

三、高中数学课堂中组织微积分教学应遵循的一些原则和策略

中学生与大学生的认知水平不同，高中教师与大学教师的教学水平不同，所以微积分在高中课堂中的教学与大学中的教学是有很大区别的。本人结合在教学中学生学习微积分出现的困难，探索了一些较为可行的教学方案，总结起来有一下几点：

1.不断加强变量概念的教学，树立以变量为思维对象的数学观

由于学生在长期的数学学习中接触的均为常量，即使在高中阶段系统学习函数、自变量，并研究了一些基本函数的性质和图像，但其思维和认识方式仍然比较习惯于常量，常量数学在头脑中已根深蒂固，缺乏变量思维。但在学习极限、连续、导数、微分等概念时，没有变量的思维是不行的。所以在组织教学时，需加强变量概念的教学，让学生逐步熟悉和适应变量，并能思考变化过程。

中学数学引入导数的内容使教学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域。增加这部分内容，可以加强对考生的辩证思维的教育，使考生能以导数为工具研究函数的变化率，为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简便的手段，加强对函数及其性质的深刻理解和直观认识。同时，使学生掌握一种科学的语言和工具，学习一种理性的思维模式。

2.要以直观描述为主，鼓励“合情推理”和“合情猜想”

这是对微积分在中学教学中较为合理的定位。对此部分的教学应当以直观性的描述为主，以掌握方法、计算为主，对理论上的严谨性不宜要求过高，更无须严格的证明。涉及的一些概念和结论，既要使学生正确地理解和掌握，也要适可而止。例如，极限中最基本的一个结论，学生通过作图很容易从孤立点的变化趋势得到此结论。学生此时“合情推理”并得到的“合情猜想”，在高中阶段的学习便已经足够了，无须用数学分析的方法加以严格论证。

3.防止微积分教学退化成仅让学生记住一些公式和结论

考虑到高中生的实际水平，不需要在理论上过分要求严格。但无论是用直观图形引入还是给予一定的推理，都应让学生主动的参与，引导学生观察和发现图形的“变化趋势”或亲自动手进行推导，这样才有利于培养学生的“变量思维”，感受微积分的内涵和与初等数学的差异。否则，如果为了纯粹的“应试心理”，微积分教学变成了让学生在不理解的状况下死记一些公式和结论，那么在高中教授微积分就失去了意义和价值，学生的能力也不会提高。

4.加强对复合函数求导的训练

复合函数是高中学生学习的难点，所以复合函数的导数也将是学生容易出错的地方，关键是有一些学生不会合理地引入中间变量，函数的复合过程中各个环节分别是什么样的函数关系没有搞清楚。对此，本人认为应先让学生多做一些分解函数复合过程的练习，然后按照复合过程逐步计算出复合函数的导数，待分步动作熟练之后再省略中间过程。

9.微积分发展史 篇九

一、微积分学的创立

微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念。

到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。

二、微积分诞生的重要意义

微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这一切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。

三、微积分理论的基本介绍

微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量增量的乘积。作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量ε。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时ε可以取任意小，只要满足在δ区间，都小于ε，我们就说他的极限就是这个数。虽然这个概念给出的比较取巧，但是，它的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。因此这个概念是成功的。

五、微积分的不断发展完善

10.第五章--多元函数微积分 篇十

学习目的和要求

学习本章，要求读者掌握多元函数及其偏导数的概念、偏导数的求导法则及利用偏导数讨论多元函数的极值、最大值和最小值，学会使用拉格朗日乘数法研究条件极值并应用最小二乘法等讨论经济问题，了解二重积分的数学含义，学会计算一些简单的二重积分．

第一节 多元函数

1．二元函数

设有3个变量 的二元函数．记作 为因变量．

如果当变量

在一定的范围D内任意取定一对值或称为自变量，D称为定义域，z时，变量z按照一定的规律，总有确定的数值和它们对应，则变量z叫做变量

类似地，可以定义三元函数及更多元函数，二元以及二元以上的函数称为多元函数．

2．二元函数的极限

设函数 的某一邻域内有定义，是该邻域内

以任何方式趋近于 时，函数的对应值

时的异于 的任意一点．如果点

趋近于一个确定的常数A，我们就说 二重极限，记作

或

3．二重极限和二次极限

对于二元函数 的极，这个极限称为二次极限，记限，可得极限函数 为

.4．有界闭区域上多元连续函数的性质(不作证明)有最大最小值定理、中间值定理、有界性定理、零点存在定理．

第二节 偏 导 数

1．定义 设函数 的某一邻域内有定义.当 固定在

时，相应地函数有增量

如果极限 在点

存在，则称此极限值为函数 的偏导数，记作

类似地，可定义函数 2．求导法则

(1)和：设

(2)积：设

则 的偏导数。

2(3)商：设

3．高阶偏导数

高阶偏导数可定义为相应的低一阶偏导数的偏导数

例如：

第三节 全 微 分

二元函数全微分的定义 若二元函数 的全增量

可表示为

其中

阶无穷小量，则称函数 点(x,y)的全微分.可微，并称

进一步讨论可知： 的高在故得

关于二元函数，有如下结论：若

及其某一邻域内存在，且在该点连续，则函数在该点可微．

第四节 多元复合函数求导法则、隐函数求导公式 1.设函数

.若成立条件： 的函数，(1)在点

处存在编导数的相应点可微，则有

(2)

2．隐函数求导公式 设函数 的某一邻域内具有连续的偏导数，的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 ,偏导数可由

它满足条件

即

来确定.第五节 多元函数偏导数的应用

1．多元函数的极值

设函数值

如果都有 反之，若成立 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于，则称函数在点(，则称函数在点)有极大

有极小值

.使函数取得极值的点称为极值点．(1)极值存在的必要条件 设函数 偏导数

(2)极值存在的充分条件 设函数 且有一阶二阶连续偏导数，又 记 ① 小值； ② ⑧ 时无极值； 时待定．

则

处取极值，且当AO时取极

可微分(或存在)处有极值，则在该点的偏导数必为零，即 的某个邻域内连续2．条件极值、拉格朗日乘数法

在讨论极值问题中，除对自变量给出定义域外，并无其他条件，则称为无条件极值，而若对自变量还附有其他条件的极值问题称为条件极值． 拉格朗日乘数法：要找函数 以先构造函数 其中λ为某一常数，求 程 联立起来： 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方

下的极值可疑点，可 5

由上述方程组解出 3．最小二乘法

即为极值可疑点．

在经济分析中，我们经常要研究一些经济变量间的相互关系，其中最简单最常见的则为线性关系 有数据．记

称为计算误差或残差.我们希望利用一组已有的资料

能很好地吻合已来寻找这一线性关系，使找到的

我们希望找到这样的 条件来选择常数

取到最小值，这种根据残差的平方和为最小的的方法叫做最小二乘法．

必须满足 由极值存在的必要条件，使

从而可解得

若记 则又可得下面比较简单的表达式：

4．应用举例

(1)生产函数 考察一个企业的生产能力常常涉及各种因素，但就其根本来说，决定企业内部生产能力的主要因素是劳动力

．

在经济分析中，有所谓要素报酬递减定律，也就是边际收益会递减．例如我们假定资金保持不变，则随着劳动力的增加，产量也将随着增加，但劳动力的边际产量将会下降，如图7．1所示．，因而可记生产函数为

如果资金和劳动力是可以相互替代的，则为得一不变产量水平可以有各种不同的劳动力和资金投入，而且若拥有资金越来越少，此时劳动力就要大量增加．同样，如果只有极少的劳动力，此时若再减少一些劳动力，则资金增量就要大得多，7 这样我们就可得到一族等量线K＝K(L)，且等量线为单调下降的下凸曲线(两阶导数大于零)，如图7．2所示

在等量线上，Q为常数，所以

故得

定义为技术替代率，或要素的边际替代率．

(2)Cobb—Douglas生产函数 20世纪30年代，西方经济学界提出如下形式: 的生产函数，称为Cobb—Douglas生产函数,这类函数有如下一些优点,因而得到较广泛的应用: ① 它是 次齐次函数；

② 等量线为单调下降和下凸的；

③ 常弹性，资金弹性为α,劳力弹性为β； ④ 系数A表示技术进步。(3)齐次函数和欧拉定理 若

特别地，当 时，有

次齐次函数，则

它表示：资本投入量乘以边际产量加上劳力投入量乘以劳动力边际产量等于总产量。

第六节 二重积分

2．二重积分的概念

设函数 在闭区域 D上连续，将区域D任意分成 n个小区域 在每个小区域

(i=1,2,…,n)，并作和

如果各小区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数，即，作乘积，其中 叫做被积函数，为积分区域.2．二重积分的性质(1)

.(2)

(3)

这里假定将区域 D分成两个区域 D1与 D2.(4)若在 D上，成立，则有不等式：

特别地有：

(5)设 则有

上的最大值和最小值, 的面积，(6)设函数 存在一点

在闭区域

上连续，的面积，则在

上至少，成立

3．二重积分的计算(1)化二重积分为二次积分(a)先对y后对x积分

(b)先对x后对y积分

(2)利用极坐标计算二重积分 令

则

若

第五章 多元函数微积分

例1．下列平面方程中，过点（1，1，-1）的方程是（）

（A）x+y+Z=0（B）x+y+Z=1（C）x+y-Z=1（D）x+y-Z=0 解：判断一个点是否在平面上，只需将点的坐标代入，看看是否满足相应的平面方程即可。易见应选（B）。例2．指出下列平面的特殊位置

（1）x+2z=1；（2）x-2y=0；（3）x-2y+3z=0；（4）z-5=0.解：设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0

（1）方程中y的系数为B=0，故该平面平行于oy轴（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系数C=0且D=0，故平面过oz轴；

（3）方程中常数D=0，故该平面过原点；

（4）方程中x的系数A=0 且y的系数B=0，故该平面垂直于oz轴（平行于xoy平面）。

例3．求过点（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。

解：平行于yoz平面即垂直于ox轴，故可设所求平面方程为Ax+D=0，将已知点（3，2，1）的坐标代入上式，得D=-3A，从而所求方程为x-3=0。

注意：在求平面方程时，Ax+By+Cz+D=0中的四个待定常数不是完全独立的，计算时可用其中的一个表示其余的三个，然后通过化简得出所求结果。例4．求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3，-1），关于Oy轴的对称点是第一，第三分量变号，即（-2，-3，-1），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。

例5．求平面3x+2y-z-6=0分别在三条坐标轴上的截距。

解：将平面方程化为截距式方程，得

因此该平面在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的截距依次为2、3、和-6。例6．求球面 的球心坐标和半径。

解：对方程进行配方，化为一般形式的球面方程

从而球心坐标为（3，-1，0），半径为。

例7．下列方程在空间直角坐标系中，表示施转抛物面的方程是（）（A）解：

（B）

（C）

（D）

只能x=y=z=0，它表示空间直角坐标系中的原点。

是一次方程，D=0表示过原点的一个平面。

即

物面。

表示绕z轴旋转张口朝z轴负方向的旋转抛表示双曲抛物面（马鞍面）故应选（C）

例8．函数

（A）（B）的定义域是（）。

（C）（D）

解:由函数的表达式知函数的定义域为

即，故应选（C）。

例9．设

（A）（B）

（C）

（D）

解：由题设,（A）。例10．设 在点

处偏导数存在，则

故应选

（A）

（B）（C）

（D）

解：根据偏导数的定义，有

故应选（C）。

例11．设 证明

证明：

于是 左

注意，本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数：

两边取对数

代入左端即可得结论。例12．设

(A)

其中f为可微函数，则

(B)

(C)

(D)

故应选（D）。例13．设

因此，例14．设

例15．设z=z(x,y)是由方程

确定的函数，求

注意：在求隐函数的偏导数时，其结果中可以有变量度z的出现，结果表达式也常常不是惟一的，如本例用 代入两个偏导还可以表示成

例16．设（A）

（B）

（C）

（D）

解1：变量之间的关系图为

故应选（A）

注意：这里解法2经过代入后变成了一个一元函数求导问题，简洁明了。

例17．

证明：设

变量之间的关系为

例18．求函数

解：函数 的定义域为的极值。

全平面，得驻点

例19．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位分别为10万元和9万元，若生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本，又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量各为多少？

例20．计算二重积分

解：作积分区域D的草图，如图7-1

(图7-1)19

例21.求

解：作积分区域D的草图，如图7-2

(图7-2)

例22.计算二重积分

解： 积分区域D是一个圆环:内半径为

用极坐标系计算。

注意：当积分区域是圆及其部分，被积函数又比较容易化成极坐标时，应考虑使用在极坐标系之下积分。

本例关于 和关于r的积分上下限均是常数，同时被积函数可以分离，这时二重积分可化成两个定积分的乘积。

例23.计算

其中

解法1：

即圆心在（0,a）半径为a的圆。又 ,因此是右半半圆（如图7-3）。

(图7-3)用极坐标系计算。

解法2：用直角坐标系计算，先对x后对y积分右半圆的方程为

第五章 多元函数微积分

单元测试

一、选择题

1、点

，则 的中点坐标为（）

A、（0，2，-2）B、（1，-2，1）C、（0，4，-4）D、（2，4，2）

2、点 关于坐标原点的对称点是（）

A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，-3，-1）D、（-2，3，1）

3、点 关于XOY平面的对称点是（）

A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，-3，-1）D、（-2，3，1）

4、过Y轴上的点（0，1，0）且平行与XOZ平面的平面方程是（）

5、下列方程中，其图形是下半球的是（）

6、设，则

（）

7、函数 的定义域是（）

8、设

在（0，0）点连续，则 K=（）

A、1 B、0 C、1/2 D、不存在

9、设

（）

10、若

11、设 则

=（）

（）

A、0 B、1/2 C、-1 D、1

12、设，则

=（）

13、设，则

（）

14、若，则

（）

A、10 B、-10 C、15 D、-15

15、设

则

（）

16、若，则

（）

17、设

（）

18、若

（）

19、设

（）

20、设函数

（）

21、设

（）

22、函数 z=f(x，y)在点 函数在该点存在全微分的（处具有两个偏导数）

是

A、充分条件 B、充要条件 C、必要条件 D、既不是充分条件，又不是必要条件

23、若函数，则

（）

24、设 是由方程

确定的隐函数，则

=（）

25、若

则

26、二元函数 的驻点为（）

=（）

27、若，则

在

处（）

A、一定连续 B、一定偏导数存在 C、一定可微 D、一定有极值

28、设二元函数（）

有极大值且两个一阶偏导数都存在，则必有

29、设函数 是它的驻点，在点 的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且

则）是极大值的充分条件是（A、B、C、D、30、设 是函数 的驻点且有

若，则

一定（）

A、是极大值 B、是极小值 C、不是极值 D、是极值

31、函数

在点（0，0）处（）

A、有极大值 B、有极小值 C、无极值 D、不是驻点

32、对于函数，原点（0，0）（）

A、不是驻点 B、是驻点但非极值点 C、是驻点且为极大值点 D、是驻点且为极小值点

33、若D是由

所围成的平面区域，则

（）

34、若D是平面区域，则二重积分

（）

35、设D：，则

（）

36、设二重积分的积分区域D是

37、若D是平面区域，y≥0则

二、计算题(一）

（），则

（）

1、设 解：设

则。

2、设 解：

3、计算二重积分 的第一象限的图形。，其中区域D是由

所围成解：区域D在极坐标下可表示为

于是 =

三、计算题(二）

1、设

解：

2、已知

解：

3、设 解法一：在。

两边分别对 和 求偏导数，得

整理得

解法二：

4、设 确定函数，求

解：令

∴

5、设函数，由方程

确定，其中

解： 同理

6、设D是由

所围成的区域，计算

解：先对x积分，再对y积分。

7、计算二重积分

所围成.，其中区域由抛物线 及直线

解：

8、计算二重积分，其中D为

解：采用极坐标系

9、计算二重积分 成且在直线，其中D是由直线 和圆

所围下方的平面区域。

解法一：用极坐标系

解法二：用直角坐标系

=

=

=

10、计算二重积分

圆

围成的区域。

解：圆 的极坐标方程是

因此

四、证明题

1、设

（a，b 均为常数）

求证：

证：∵

∴

2、设 ∵ ∴

∴

3、设

证：∵

∴

即

4、设，证明它满足等式：

证：

11.数学文化在微积分教学中的渗透 篇十一

【关键词】数学文化 微积分教学 数学素养

【中图分类号】G64【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）05-0150-02

在传统的微积分教学中，教师多半以讲授数学知识为主，重视知识的逻辑结构，忽略知识点的形成过程及文化背景。大多数学生则将数学理解为“概念+公式”，对数学思想和数学精神了解甚微。事实上，只有少数学生会在今后工作中直接使用到学过的数学知识，能够使学生终身受益的却是数学思想方法和数学精神等文化内容。因此，在教学中需要加强数学文化的渗透，培养学生的数学素养。

一、数学文化的含义及重要性

数学文化已成为国际数学教育现代化研究关注的热点之一。数学文化不仅包含数学命题、数学方法、数学问题、数学语言等知识性成分，而且包含数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成分。从狭义上来说，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成发展；从广义上来说，数学文化是指数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与各种文化之间的关系[1]。因此，数学文化不是数学与文化的简单结合。

将数学文化渗透到微积分教学中是提高教学效果的重要途径之一。在教学过程中，单纯的讲解数学知识会显得枯燥、抽象，因此，将数学文化渗透到微积分教学中不仅丰富了课堂内容，增添了数学的趣味性，提高了学生的学习积极性，而且有助于加深对数学的理解和认识，从而提高教学效果。

将数学文化渗透到微积分教学中更是实现素质教育的需要。素质教育是当代教育主题，培养学生的数学素养已成为微积分的根本教学目标和任务，而数学文化是大学生文化素养的重要组成部分。因此微积分不仅仅帮助学生获得后续学习所需的数学知识，还应该是传播数学文化的重要桥梁，使学生终身受益。

二、如何将数学文化渗透到微积分教学中

1.结合教学内容渗透数学史，感受数学精神

数学史是传播数学文化的有效载体，是研究数学发展过程与规律的科学[2]。首先，在微积分的第一堂课上介绍微积分的发展历程以及重要意义，使学生认识该课程从萌芽、创立到完善发展的历程，体会求真、勇敢、合作的数学精神，启示学生事物的发展不可能是一帆风顺的，需要正确、积极地面对；也使学生了解微积分在人类历史发展中的地位，微积分的创立和发展对其他学科产生了巨大的影响，如今，几乎一切领域中只要研究变化和运动，微积分成为必不可少的工具。其次，在新的章节开始前介绍相关的数学史，展现知识的形成过程，如极限这一章开始前，从极限的思想萌芽、产生和发展入手；定积分的概念这一节开始前，可以从面积计算的历史出发来展开。

微积分中有许多定理和公式都是由数学家名字命名的，如罗尔定理，牛顿——莱布尼兹公式等，讲授这些定理和公式时，简要介绍其生平轶事，发挥数学史人物的楷模作用，学习数学家的坚持不懈、勇于创新的精神。

2.结合概念渗透背景故事，把握数学思想方法

微积分中很多概念都有着丰富的历史背景，在讲解概念时穿插背景故事，不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以加深对概念和定理的理解，把握数学思想方法。如讲述数列极限时介绍阿基里斯追赶乌龟的故事；讲述无穷小量概念时介绍“数学的第二次危机——无穷小量是零吗”（贝克莱悖论），通过讲解这样的故事，能够引起学生的思考；讲解定积分的概念时介绍积分符号的由来，不仅有利于学生理解和掌握积分思想方法，同时可以让学生体会微积分符号的简洁美。

3.结合知识点渗透与其他学科的联系，体会数学的价值

数学文化的价值不仅在于知识本身，而且在于它的应用价值。从微积分思想方法在数学史和人类历史发展中的地位可看出，微积分的创立为其它学科的发展做出了巨大的贡献。在教学中，应介绍知识点在其他专业学科的应用以及实际生活中的应用，使学生体会数学的价值，并养成用数学眼光看问题、用数学思维分析问题、用数学模型解决问题的习惯。如讲解函数时介绍需求和供给函数等经济学中常见函数；讲解重要极限公式时介绍连续复利问题；讲解导数、定积分、级数、常微分方程时分别介绍在经济学中的应用的例子。除了在课堂上介绍外，还可让学生课后去寻找应用的例子或思考用知识可解决哪些身边的实际问题。

在微积分教学中渗透数学文化的形式很多，但需要注意把握渗透的时机和程度，并且应以教材为本。总之，微积分课堂不应该仅仅是充斥着定理和例题，还应该渗入数学文化；不仅注重知识的逻辑结构，还应该关注知识的文化层面。将数学文化渗入教学中是提高教学效果的重要途径之一，也是实现培养学生数学素养、实现素质教育的需要。

参考文献：

[1]潘小明.数学文化的理解及教学[J].教育实践与研究，2009，06.

12.对微积分中极限思想教学的探讨 篇十二

数学是一门工具学科, 只有真正理解掌握了数学思想方法和内容, 才能够得心应手的使用这门工具解决现实问题。极限思想是高等数学中重要思想之一, 它贯穿了高等数学从始至终的教学内容, 所以对极限思想的理解和掌握将直接影响现实生活中对数学工具的运用。

一、高等数学中极限思想的重要性

(1) 极限是高等数学中的一个重要概念, 也是学生最难于理解的概念之一。在教学中, 注重产生极限概念的实际背景的介绍, 分析极限定义中各个变量的变化特征与内在联系, 辩证剖析变化过程中的量变与质变、近似与精确等对立统一规律, 是训练和培养学生数学思维, 提高综合素质和能力的重要途径之一。

(2) 极限思想的运用是区别初等数学与高等数学的重要特征, 把初等数学中对常量的研究, 通过极限思想转变成高等数学中变量的分析研究过程, 同时伴随着由有限到无限观念的转变。极限也是贯穿高等数学的重要知识点, 可谓是没有极限思想就没有高等数学。高等数学一改初等数学中某一研究过程中的常量始终不变的静态的思维模式, 运用变化的思想——动态思维对数学过程中的变量进行研究。而极限思想在高数中的应用显著体现于导数与积分内容。

(3) 函数是高等数学中导数与积分的主要研究对象, 但多数的数学问题都存在对所研究函数连续性的约束和限制。而函数连续性的判断依据一定要运用极限概念来衡量, 因此在运用导数与积分理论解决现实问题时, 对研究对象的判定, 极限概念起着重要作用。

(4) 在高等数学的极限概念中, 常量与变量、量变与质变、近似与精确、特殊与一般、局部与整体、微观与宏观、直观与抽象、有限与无限等, 这些一对一对的矛盾相依存在而互为存在前提, 又在一定条件下相互转化。这不仅是自然界的普遍规律, 也是数学中的普遍规律。这就是极限思想的重要性之一, 它体现出了数学中无与伦比的哲学思想美, 同时又最大限度地激发了学生的数学思维, 也有助于培养学生良好的学习习惯, 从而使学生的素质和能力得到不断提高。

二、微积分中的极限思想实质

数学知识来源于实际生活, 同时数学理论又服务于现实生活。正因存在极限方法, 才使许多数学问题得到完美的解决。

在定积分、重积分元素法的应用中, 无论是不规则的几何量还是物理量, 只要满足区域可加性, 就可采用定积分过程:分割、近似、求和、取极限, 来确定其真实值。这正体现了“化整为零、以直代曲、积零为整和无限求和”的极限思想实质, 通过“由精确到近似, 再由近似到精确”的迂回过程, 实现“直与曲、变与不变、有限与无限、近似于精确”的矛盾转化。如不规则曲边梯形面积可用规则的矩形面积近似;曲顶柱体体积可用平顶柱体体积近似;密度不均匀的薄片、线形及空间实体的物体质量都可用密度均匀物体的质量近似。正是有了极限概念才使得在分割后的近似过程中, 可以采用初等数学中常量关系来近似表示变量关系, 最终通过极限过程实现量变到质变的飞跃, 将近似过程中产生的误差减小为零, 得到所求量的精确值。

又如在导数应用中, 求变速直线运动s=s (t) (对时间具有可加性) 在t∈[T1, T2]的瞬时速度v (t0) 。用已知 (细分后某时间间隔的平均速度v=Δs/Δt (常量关系) ) “认识” (近似代替) 未知 (t=t0时刻瞬时速度v (t0) ) , 从量变 (在时间间隔Δti最大值趋于零过程中, 近似值v精确度不断提高) 产生飞跃到质变 (近似值v无限接近精确值v (t0) ) 。用细分——近似代替 (以匀代变, 以常量关系近似变化关系) ——用求比值极限的方法得到瞬时速度:

通过极限过程的运用从而“产生”了导数的概念。

“极限”思想方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系。它建立在初等数学之上, 但研究对象却更为广泛, 方法上“更高”, 应用上更具普遍性, 更接近于生活本身。

高等数学导数与积分概念中对极限的应用, 也正是极限思想将初等数学与高等数学完美结合在一起的重要体现, 并产生了由有限到无限, 由量变到质变的哲学飞跃。正是极限思想的应用, 才建立了非常完美的微积分类数学模型, 使某些问题的解决有事半功倍的效果。

同时运用极限概念, 产生了高等数学中微商与积分两个互逆的计算过程。归纳导数和积分在极限概念应用中的共性:分割-近似-取极限, 这三个共同的过程, 并且都是在分割细小化后, 运用初等数学中常量数学关系来近似高等数学中的变量问题, 最后通过极限过程减小误差, 使不能解决的无规律的变化问题结合极限思想, 运用规律化便于计算的函数知识计算出精确结果。这就预示着有了极限思想, 也就给出了解决问题的崭新思维方法, 即用运动、变化的方法解决问题, 这种动态思维正是“极限”思想的体现。高等数学的极限过程体现出了耐人寻味的、深刻的辩证思想。

三、微积分中极限思想方法教学的几点建议

(1) 综上所述, 极限概念是微积分学最基本、最重要的概念, 应把微积分知识的讲授与“极限”思想方法传授同时纳入教学目的。极限思想, 从本质上讲是一种辩证思维, 与一般思维有根本的区别。所以在导数与积分教学中, 要通过极限概念在微积分中的教学, 再次对学生进行数学辩证思维的培养, 让学生深刻体会数学中蕴含的哲学美。

(2) 对导数与积分应用过程中极限概念进行归纳总结, 通过导数与积分应用的几何意义, 让学生深刻理解极限思想解决数学问题的实质与精髓, 并认识极限思想的重要性。极限思想是高等数学中解决问题最主要的方法, 正确运用极限方法解决实际问题, 也是高等数学的教学目标之一。

(3) 通过一对互逆过程:微分与积分的应用, 让学生深刻理解是极限概念将高等数学与初等数学区别开来, 同时又将这两者紧密联系在一起。为此充分体现了初等数学知识与高等数学知识衔接与过渡, 及高等数学在运动变化中寻求答案的特点。

(4) 通过导数、积分应用深刻理解维尔斯托拉斯建立的“ε-N”和“ε-δ”语言, 使我们用处理初等数学的传统思想方法来处理高等数学, 同时不失逻辑推理的严密性, 从极限概念的应用中, 再次训练学生的辩证思维, 并认识极限思想的博大精深。极限的思想方法是高等数学的灵魂, 在高等数学中的应用极为广泛。教师在相关内容讲授时, 可有意识地加以引导, 让学生在学习中真正领会其丰富深刻的内涵, 加深对极限理论及相关概念的理解, 为后续课程的学习打下坚实的基础, 也为数学学科工具性的充分发挥奠定基础。

让我们积极挖掘极限概念中的辩证唯物主义思想, 培养学生科学的思维方法和世界观, 培养高素质人才, 迎接知识经济时代的挑战!

参考文献

[1]施红英.对微积分“极限”思想方法教学的思考[J].甘肃广播电视大学学报, 2005 (09) .

[2]邹兆南.极限概念的数学哲学思维剖析[J].重庆交通学院学报 (社科版) , 2004 (12) .

[3]杨汝诚.数学分析结构、原理与方法[M].成都:成都科技大学出版社, 1992.