不等式习题

不等式习题（20篇）

1.不等式习题 篇一

不等式练习题

（二）1.已知两个正数a、b的等差中项是5，则a、b的等比中项的最大值为

A.10B.25C.50

2.若a>b>0，则下面不等式正确的是（）A.D.100 222ababab2ababB.ab ab22ab

ab2ab2ababC.D.abab2abab2

a13.已知不等式(xy)()9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是 xy

x14.若变量x,y满足约束条件yx 则z=2x+y的最大值为

3x2y5

A.1B.2C.3D.4

x3y30,5.若实数x，y满足不等式组2xy30,且xy的最大值为9，则实数m

xmy10,

A.2B.1C.1D.2

6.若对任意x0,a恒成立，则a的取值范围是__________.x3x12

ab7若实数a,b满足ab2，则33的最小值为_______。

8.某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨，8吨和5吨把货物分别调运给甲，乙，丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲，乙，丙，每吨货物的运费分别为8元，6元，9元；从仓库B运货物到商店甲，乙，丙，每吨货物的运费分别为3元，4元，5元，问应该如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？

2.不等式习题 篇二

等式或不等式的证明是数学中常见的问题, 其证明方法可谓多种多样, 但在以往证明中我们一般只对等式或不等式左右两边的具体数字或符号感兴趣, 如果把数字或符号形象化、具体化, 给它们建立起一个形象直观的数学模型, 不但使等式或不等式加以证明, 而且得到式子存在的数学意义, 加深对等式或不等式的理解。以下将从概率论中的基本概念和定理出发, 利用概率方法完成对等式或不等式的证明。

1 运用加法定理证明等式

2 运用数学期望证明不等式

3 运用随机变量及其分布函数证明不等式

4 结束语

从以上过程可以看出, 运用概率方法来证明等式或不等式是具有优越性的, 不仅证明过程简洁, 更重要的是建立了具体的数学模型, 便于理解。同时, 我们也能看到, 在运用概率方法时, 往往不是单独的一个知识点就能解决问题的, 常常需要几个知识一起运用, 如分布函数结合了期望, 概率结合数学分析中的一些定理, 体现了数学知识联系的紧密性。

参考文献

[1]梁之舜, 邓集贤, 等.概率论及数理统计[M].高等教育出版社.2002

[2]盛骤, 谢式千, 等.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社.2001

[3]薛留根.概率论解题方法与技巧[M].北京:国防工业出版社.1996

3.“不等式与不等式组” 篇三

）。

7.从小明家到学校的路程是16km小明从家到学校，途中最高速度是8km/h，最低速度是4km.设他所用的时间为th.则t的取值范围是（

）.

二.细心填一填（每小题3分，共21分）

9.满足不等式2X-1<6的正整数X的值是____.

10.当K满足____时，关于x的方程5X+3=K的解是正数.

11.如果一个三角形的两条边长分别是11和14，那么这个三角形的周长m的取值范围是____。

12.若不等式ax-3>0的解集是x<-1.则a的值是____。

13.若点M（-5+m，m+1）在第二象限，则m的取值范围是____

14.若a，b是有理数，则1al+lbI和la+bI的大小关系是____.

15.小明有100元钱.想要买笔记本和钢笔（总数为30）.已知笔记本2元一本，钢笔5元一支，那么小明最多能买____支钢笔。

16.（8分）先用不等式表示下列语句，然后利用不等式的性质求不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来.

（1）12与x的3倍的差是非负数.

（2）a的一半与6的差不小于a.

19.（9分）某种出租车的收费标准为：起步价7元（即行驶路程不超过3km收取7元车费），超过3km后，每增加1km，加收2.4元车费（不足1km按1km计）.某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地的路程最多是多少千米？

20.（9分）七（1）班有48人，他们外出旅游期间入住某宾馆，该宾馆一楼的房间比二楼的房间少5间.假设全部安排在一楼。则有以下情况：若每间住4人，则房间不够；若每间住5人，则有房间没住满.假设全部安排在二楼，则有以下情况：若每间住3人。则房间不够；若每间住4人，则有房间没住满.你能根据以上信息确定该宾馆一楼有多少房间吗？

21.（9分）某建筑公司根据建筑要求，需填土28万m³.现有甲、乙两支工程队，甲队一周（7天）不能完成填土任务，而乙队不到一周（7天）就能完成填土任务.已知两队平均每天的填土量均为整数（单位：万m³）。且乙队平均每天比甲队多填土2万m³。

（1）两队平均每天的填土量各为多少？

（2）若甲队工作2天后，乙队才开始工作，那么甲队工作几天后两队的填土量相同？

22.（10分）某机器人公司为扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种小机器人.现有甲、乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和日生产量如表1所示.经过预算，本次购买机器的费用不能超过34万元.

（1）按要求该公司有几种购买方案？

（2）若该公司购进的6台机器的日生产量不能少于380个，那么为了节约资金，应选择哪种购买方案？

23.（10分）某城市平均每天约产生垃圾700t，由甲、乙两个垃圾处理厂处理.已知甲厂每小时可处理垃圾55t，每吨需费用10元：乙厂每小时可处理垃圾45t，每吨需费用11元.如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7370元，那么甲厂每天至少要处理垃圾多长时间？

4.均值不等式练习题 篇四

3题型

一、均值不等式求最值

例题：

1、凑系数：当0x4时，求yx(82x)的最大值。

2、凑项：已知x51，求函数f(x)4x2的最大值。44x

5x27x10(x≠1)的值域。

3、分离：求yx

14、整体代换：已知a0，b0，a2b1，求t11的最小值。ab5、换元：求函数yx2的最大值。2x

5152x152x(x)的最大值。226、取平方：求函数y

练习：

1、若0x2，则y

2、函数yx(63x)的最大值是1x(x3)的最小值是x

3x28(x1)的最小值是

3、函数yx

1x44x2

54、函数y=的最小值是2x

25、f(x)=3+lgx+4（0＜x＜1）有最值等于lgx

116x2的最小值是xx

16、若x>0，则x+

7、已知x为锐角，则sinxcosx的最大值是

8、函数sinxcosx的最大值是

9、函数y4249的最小值是__________ 22cosxsinx

119，则xy的最小值是 xy

b10、已知x0，y0，且

11、a,bR,且a+b=3则2+2的最小值是

12、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则函数W3x 2y 的最值是1 a13、已知a>0,b>0且a+b=1,则（21111)的最小值是)(a2b2y

214、已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，则x1＋y的最大值

215、已知ab0，则a1的最小值是(ab)b16、若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是___________

17、若a、bR，ab(ab)1，则ab的最小值是________

18、设实数x,y,m,n满足条件mn1，x2y29，则mxny的最大值是

19、若x,y0，则(x22121)(y)2的最小值是 2y2x

11)(b)的最小值是 ab220、若a,b0,ab1，则(a题型

二、利用均值定理证明不等式 例题：

1、求证：（1）已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：ab2c2abbcca

（2）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

（3）已知a、b、cR，且abc1，求证：

4442222222、已知x,y,z0，xyzxyyzzxxyz(xyz)1111118 abc

3、若abc

5.基本不等式专项练习题高中数学 篇五

一、选择题

1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是

A.x+12x B.x2-1+1x2-1

C.2x+2-x D.x(1-x)

答案：C

2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()

A.32-3 B.-3

C.62 D.62-3

解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.

3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()

A.200 B.100

C.50 D.20

解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.

4.给出下面四个推导过程：

①∵a，b(0，+)，ba+ab2baab=2;

②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgxlgy;

③∵aR，a0，4a+a 24aa=4;

④∵x，yR，，xy<0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.

其中正确的推导过程为()

A.①② B.②③

C.③④ D.①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.

①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;

②虽然x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;

③∵aR，不符合基本不等式的条件，

4a+a24aa=4是错误的;

④由xy<0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.

5.已知a>0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()

A.2 B.22

C.4 D.5

解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.

6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()

A.最大值64 B.最大值164

C.最小值64 D.最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

xy=8x+2y28x2y=8xy，

当且仅当8x=2y时等号成立.

xy64.

二、填空题

7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.

答案：1

8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.

解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.

答案：大 116

9.(高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.

解析：∵x>0，y>0且1=x3+y42xy12，xy3.

当且仅当x3=y4时取等号.

答案：3

三、解答题

10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;

(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

解：(1)∵x>-1，x+1>0.

y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

2 x+14x+1+5=9，

当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.

x=1时，函数的.最小值是9.

(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，x-1>0.

(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.

当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，

y有最小值8.

11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，

1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，

同理1b-12acb，1c-12abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

当且仅当a=b=c时取等号.

12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.

总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200

=800(x+225x)+1

1600x225x+12000

=36000(元)

当且仅当x=225x(x>0)，

6.一元一次不等式和分式练习题 篇六

1、已知2a和32a的值的符号相反，那么a的取值范围是：

2、.当m________时，不等式(2－m)x＜8的解集为x＞

82m

.3、生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b小时，则____________< b <_____________.4、若干学生分宿舍，每间 4 人余 20 人，每间 8 人有一间不空也不满，则宿舍有（）间．

A、5 B、6C、7 D、8

5、x为何值时，代数式

6、设关于x的不等式组

2xm23x2m1

3(x1)的值比代数式

x13

3的值大.无解，求m的取值范围．

7、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，•售价14.5万元．每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．•现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元．

（1）该公司有哪几种进货方案？

（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？

8、当x时，分式

1a

1bx

x

4

x2

无意义；当x时，分式

x

4

x2的值为零．

9、已知3,求

2a3ab2ba2abb的值。

10、将分式

xy

中的x、y的值同时扩大3倍，则 扩大后分式的值（）

A.扩大3倍B.缩小3倍C.保持不变D.无法确定

11、关于x的方程

2x2



axx

4



3x2

会产生增根,则a的值。

12、一水池有甲乙两个进水管,若单独开甲、乙管各需要a小时、b小时可注满空池；现两管同时打开，那么注满空池的时间是()A．

2a2a1

1a



1b

B．

1ab

C．

x

1ab

D．

2x4x2

abab13、（1）(a1)

a1a2a

1（2）

2x4

x

(x2)

7.不等式的证明方法 篇七

一、作差比较法

作差比较法:比较两个实数大小的关键是,判断差的正负,常采用配方法、因式分解法、有理化等方法.常用的结论有x2≥0,-x2≤0,|x|≥0,-|x|≤0等.“作差法”的一般步骤是:①作差;②变形;③判断符号;④得出结论.

例1 若0|loga(1+x)|(a>0且a≠1).

分析:用作差法来证明.需分为a>1和0

证明:(1)当a>1时,因为0<1-x<1,1+x>1,

所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)>0.

(2)当01.

所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1+x2)>0.

综合(1)(2)知|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

二、作商比较法

例2 设a>b>0,求证:aabb>abba.

分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式.

因为a>b>0,所以,a-b>0.

又因为abba>0,所以aabb>abba.

说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.

三、换元法

换元法:换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题,通过恰当引入新变量,代换原题中的部分式子,简化原有结构,使其转化为便于研究的形式.用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略.三角代换是最常见的变量代换,凡条件为x2+y2=r2或x2+y2≤r2或等均可三角换元.围绕公式sec2θ-tan2θ=1来进行.常用的换元法有:(1)若|x|≤1,可设x=sinα,α∈R;(2)若x2+y2=1,可设x=cosα,y=sinα,α∈R;(3)若x2+y2≤1,可设x=rcosα,y=rsinα,且|r|≤1.

例3(1)设x,y∈R,且x2+y2≤1,求证:|x2+2xy-y2|≤槡2;(2)设a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:.

证明:(1)设x=rsinθ,y=rcosθ,且|r|≤1.

因为a+b+c=1,所以α+β+γ=0.

思维点拔:(1)本题运用了三角换元法.(2)换元法是不等式证明中的重要变形方法,常用的换元手段除三角换元法外,还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换.

四、放缩法

放缩法:即缩小或放宽不等式的范围的方法,常用在多项式中“舍掉一些正(负)项”,使不等式之和变小(大),或“在分式中放大(缩小)分式的分子或分母”,“在乘积中用较大(较小)的因式”等效法,来证明不等式.放缩法:欲证A>B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得B

分析:不等式的两端是绝对值,需对a,b是同号和异号进行讨论.

五、构造法

构造法:构造二次方程用“Δ”,构造函数用函数单调性,构造图形用数形结合方法.

例5设,判断f(x)在[0,+∞)上的单调性.

所以f(x)在[0,+∞)上为增函数

又0≤|a+b|≤|a|+|b|,

所以f(|a+b|)≤f(|a|+|b|).

思维点拔:用分析法解决含绝对值问题是常规方法;根据特征不等式的结构,构造恰当的函数,再利用函数的单调性来进行证明,这是构造函数法的特点,在证明过程中不一定能一步到位,常需要与其他方法相结合,如本例中还借助了放缩法.

六、判别式法

实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是:b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0.记Δ=b2-4ac,称其为方程是否有实根的判别式.同时也是与方程对应的函数、不等式的判别式.

例6已知x+y+z=5,x2+y2+z2=9,求证:x,y,z都属于.

证明:由已知得:z=5-x-y,

代入x2+y2+z2=9中得:

x2+(y-5)x+y2-5y+8=0,

因为x∈R,所以△≥0,

即(y-5)2-4(y2-5y+8)≥0,解得

同理可证.

说明:在比较法、综合法无效时,如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式,可考虑用判别式,要注意根的范围和题目本身的条件限制.

七、反证法

反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法.

例7已知0

分析:此命题的形式为否定式,宜采用反证法证明.假设命题不成立,则(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三数都大于,从这个结论出发,进一步去导出矛盾.

证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三数都大于,

又因为0

以上三式相加,即得:

显然①与②相矛盾,假设不成立,故命题获证.

说明:一般情况下,如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样,通常情况下要用反证法,反证法的关键在于“归谬”,同时,在反证法的证明过程中,也贯穿了分析法和综合法的解题思想.

8.“不等式与不等式组”综合测试题 篇八

1. a与3的差是负数，可用不等式表示为.

2. 请你写出一个关于x的一元一次不等式，使得1、2、3、4、5都是它的解，这个不等式可以是.

3. 若x同时满足x-2<1和2x+1>5，则x的取值范围是.

4. 不等式3x+9≥0的负整数解为.

5. 若关于x的不等式2a-3x<6的解集为x>2，则a的值是.

6. 现有两根木棒，它们的长分别为3 cm和8 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形.若第三根木棒的长为acm，且a为偶数，则满足条件的a为.

7. 一罐饮料的质量约为300 g，罐上标注有“蛋白质含量≥60%”，其中蛋白质的含量不少于 g.

8. 某中学举行环保知识竞赛，一共有30道判断题，答对一题得4分，不答或答错的题目扣1分.如果想在这次竞赛中超过72分，那么至少应答对道题.

二、选择题

9. 下列说法错误的是（）.

A. 3x<-3的解集是x<-1

B.-10是2x<-10的一个解

C. x<2的整数解有无数多个

D. x<2的整数解只有3个

10. 若a

A. |a|<|b|B. |a|>|b|

C. a22b

11. 不等式组2x≤1，

3x+9≥0的解集在数轴上可以表示为（）.

12. 关于x的方程5x+12=4a的解是负数，则a的取值范围为（）.

A. a<3 B. a<-3

C. a>3 D. a>-3

13. 不等式组x>-

，

x-4≤8-2x的最小整数解是（）.

A. 4 B. 1C.-1D. 0

14. 设“○”、“△”、“□”分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图1，那么“○”、“△”、“□”按质量从大到小的顺序排列为（）.

A. □ ○ △B. △ ○ □

C. □ △ ○D. △ □ ○

15. 不等式组x+9<5x+1，

x>m+1的解集是x>2，则m的取值范围是（）.

A. m≤2B. m≥2

C. m≤1D. m>1

三、解答题

16. 解不等式-≤，并把它的解集在数轴上表示出来.

17. 已知2

x+3y=3，求x-y的取值范围.

18. 小明准备用他的21元压岁钱买笔和笔记本，每支笔3元，每本笔记本2.2元.他买了2本笔记本，最多还可以买几支笔？

19. 某次射击比赛中共10次射击，某射击运动员前6次射击共中52环.

（1）如果他10次射击要打破89环的纪录，第7次射击要大于多少环？

（2）如果他第7次射击的成绩为8环，最后3次射击要有几次命中10环才能打破89环的纪录？

（3）如果他第7次射击的成绩为10环，最后3次射击至少要有几次命中10环才有可能打破89环的纪录？

20. 某校的学生食堂计划购买12张餐桌和一批餐椅（餐椅的数目比餐桌的数目多）.学校从甲、乙两商场了解到，同一型号的餐桌报价均为200元/张，餐椅报价均为50元/把.甲商场称，每购买1张餐桌赠送1把餐椅；乙商场规定，所有餐桌、餐椅均按报价的8.5折销售.如果你是食堂的负责人，你会选择到哪家商场购买？

（答案在本期找）

【责任编辑：潘彦坤】

9.不等式习题 篇九

当x=6时，1=50+12×6=122(元)， 2=18×6=108(元).

(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);

(2)轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少?

(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?

解 (1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为=x(≠0),

由图象知：当x=8时，=160.

代入上式，得8=160,

可解得=20.

所以轮船行驶过程的`函数解析式为=20x.

设表示快艇行驶过程的函数解析式为=ax+b(a≠0),

由图象知：当x=2时，=0;当x=6时，=160.

代入上式，得

可解得

所以快艇行驶过程的函数解析式为=40x-80.

(2)由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，所以轮船的速度是(千米/时)，快艇的速度是(千米/时).

(3)设轮船出发x小时快艇赶上轮船，

20x=40x-80

得x=4,x-2=2.

答 快艇出发了2小时赶上轮船.

交流反思

1.实际问题中数量之间的相互关系，用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律;

2.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解.

检测反馈

1.利用图象解下列方程组：

(1) (2)

2.已知直线=2x+1和=3x+b的交点在第三象限，写出常数b可能的两个数值.

3.学校准备去白云山春游.甲、乙两家旅行社原价都是每人60元，且都表示对学生优惠.甲旅行社表示： 全部8折收费;乙旅行社表示： 若人数不超过30人则按9折收费，超过30人按7折收费.

(1)设学生人数为x，甲、乙两旅行社实际收取总费用为1、2(元)，试分别列出1、2与x的函数关系式(2应分别就人数是否超过30两种情况列出);

(2)讨论应选择哪家旅行社较优惠;

(3)试在同一直角坐标系内画出(1)题两个函数的图象，并根据图象解释题(2)题讨论的结果.

4.药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验，首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度(微克/毫升)与服药后时间x(时)之间的函数关系如下图.请你根据图象：

(1)说出服药后多少时间血液中药物浓度最高?

10.不等式习题 篇十

一、单项选择题

1、某项经济业务的发生引起资产的减少，则可能引起（）。

A、负债增加

B、所有者权益增加

C、收入增加

D、费用增加

2、某公司2014年初资产总额5 000 000元，负债总额2 000 000元，当年接受投资者投资500 000元，从银行借款1 000 000元。该公司2014年末所有者权益应为（）元。

A、2 500 000

B、1 500 000

C、3 500 000

D、5 000 000

3、收入、费用和利润三要素是企业资金运动的（）。

A、静态表现

B、动态表现

C、综合表现

D、ABC均正确

4、（）是复式记账的理论基础，也是编制资产负债表的理论依据。

A、会计科目

B、账户

C、资产＝负债+所有者权益

D、收入－费用＝利润

5、关于利润，下列说法不正确的是（）。

A、利润是指企业在一定会计期间的经营成果

B、企业实现了利润，标明企业的所有者权益将增加 C、利润是评价企业管理层业绩的指标之一

D、企业发生了亏损，所有者权益不一定是减少的

6、下列各项会引起企业收入增加的是（）。

A、销售原材料

B、出售专利技术

C、出售无形资产

D、取得银行长期贷款

7、会计计量属性反映的是（）。

A、资产金额的确定基础

B、负债金额的确定基础

C、收入金额的确定基础

D、会计要素金额的确定基础

8、下列不属于期间费用的是（）。

A、管理费用

B、制造费用

C、销售费用

D、财务费用

9、资产、负债、所有者权益三要素是企业资金运动的（）。

A、静态表现

B、动态表现

C、综合表现

D、ABC均正确

10、负债是指企业过去的交易或者事项形成的，预期会导致经济利益流出企业的（）。A、现时义务

B、潜在义务

C、过去义务

D、未来义务

11、下列项目中属于所有者权益的是（）。

A、长期股权投资

B、应付股利

C、盈余公积

D、投资收益

12、下列项目不属于流动资产的是（）。

A、货币资金

B、交易性金融资产

C、存货

D、固定资产

13、某企业6月初的资产总额为15万元，负债总额为5万元。6月份发生下列业务：取得收入共计6万元，发生费用共计4万元，则6月底该企业的所有者权益总额为（）。A、12万元

B、17万元

C、16万元

D、10万元

14、企业所有者权益在数量上等于（）。

A、企业流动负债减去长期负债后的差额

B、企业流动资产减去流动负债后的差额 C、企业全部资产减去全部负债后的差额

D、企业长期负债减去流动负债后的差额

15、银行将短期借款转为对本公司的投资，这项经济业务将引起本公司（）。A、资产减少、所有者权益增加

B、负债增加、所有者权益减少 C、负债减少，所有者权益增加

D、负债减少，资产增加

16、资产按照现在购买相同或者相似资产所需支付的现金或者现金等价物的金额计量的会计计量属性是（）。A、历史成本

B、重置成本

C、公允价值

D、现值

17、下列不属于企业非流动资产的是（）。

A、交易性金融资产

B、可供出售金融资产

C、长期股权投资

D、无形资产

二、多项选择题

1、下列关于会计要素变动的表述中，正确的有（）。

A、资产增加，费用增加

B、费用增加，负债减少

C、费用增加，负债增加

D、费用增加，资产减少

2、下列属于会计等式的有（）。

A、资产＝权益

B、资产＝负债+所有者权益

C、收入－费用＝利润

D、资产+所有者权益＝负债

3、下列各等式属于会计等式的有（）。

A、本期借方发生额合计=本期贷方发生额合计

B、本期借方余额合计=本期贷方余额合计 C、资产=负债+所有者权益

D、收入-费用=利润

4、直接计入当期损益的利得和损失，是指（）的利得或损失。

A、应当计入当期损益

B、最终会引起所有者权益发生增减变动 C、与所有者投入资本无关

D、与向所有者分配利润无关

5、下列选项中，正确的有（）。

A、资产与权益同时增加，总额增加

B、资产与负债一增一减，总额不变 C、资产内部同时减少，总额减少

D、权益内部的一增一减，总额不变

6、下列关于重置成本表述，正确的有（）。

A、重置成本是指按照当前市场条件，重新取得同样一项资产所需支付的现金或现金等价物金额

B、在重置成本计量下，资产按照现在购买相同或者相似资产所需支付的现金或者现金等价物的金额计量 C、在重置成本计量下，负债按照现在偿付该项债务所需支付的现金或者现金等价物的金额计量 D、在重置成本计量下，资产按照购置时所付出的对价的公允价值计量

7、下列关于收入的表述中，正确的有（）。

A、可能带来资产的增加

B、可能使负债减少

C、一定会导致所有者权益增加

D、可能会引起费用的减少

8、期间费用是指企业在日常活动中发生的，应当计入当期损益的费用，包括（）。A、管理费用

B、销售费用

C、财务费用

D、制造费用

9、下列会计科目中，（）属于流动资产。

A、原材料

B、库存商品

C、预付账款

D、持有至到期投资

10、下列属于所有者投入的资本的有（）。

A、企业拥有的固定资产

B、资本溢价

C、盈余公积

D、实收资本

11、下列属于流动负债的有（）。

A、预收款项

B、预付款项

C、应交税费

D、应付职工薪酬

12、下列各项属于会计要素的是（）。

A、利润

B、利得

C、费用

D、损失

13、下列项目中，属于费用要素特点的有（）。

A、与向所有者分配利润无关

B、企业在日常活动中发生的经济利益的总流入 C、经济利益的流出额能够可靠计量

D、会导致所有者权益减少

14、下列关于负债的表述中，正确的有（）。

A、负债预期会导致经济利益流出企业

B、负债表现为债权人对企业净资产的索取权

C、负债是企业过去的交易或事项形成的D、负债按流动性分类可分为流动负债和非流动负债

三、判断题

1、资产、负债与所有者权益的平衡关系式，企业资金运动处于相对静止状态下出现的，如果考虑收入、费用等动态要素，则资产与权益的平衡关系必然被破坏。（）

2、如果资产要素不变，则必然发生负债和所有者权益一增一减的情况。（）

3、收入减去费用后的金额如果为正数，则代表盈利，如果为负数，则代表亏损。（）

4、“资产＝负债+所有者权益”是最基本的会计等式，是复式记账的理论基础，是试算平衡和编制会计报表的理论依据。（）

5、企业承担了现实义务，但是导致企业经济利益流出的可能性很小，也应将其作为负债予以确认。

6、如果根据编制财务报表时所取得的证据，判断与资源有关的经济利益很可能流入企业，那么就应当将其作为资产予以确认；反之，不能确认为资产。（）

7、可变现净值，是指在正常生产经营过程中，以预计售价减去进一步加工成本和预计销售费用以及相关税后的净值。（）

8、收入等于商品销售收入与提供劳务收入之和。（）

9、损失即费用，计入损失即入当期费用。（）

10、利润包括收入减去费用后的净额、直接计入当期损益的利得和损失等。（）

11、权益就是指所有者权益。（）

12、会计要素是对财务会计对象的基本分类，是根据交易或者事项的经济特征所确定的。（）

13、“收入-费用=利润”这一会计等式，体现了企业一定时期内的经营成果，是编制利润表的基础。（）

11.不等式习题 篇十一

都有f（x1+x2+…+xnn）≤f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n.

其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.

Jensen不等式反映了凸函数的一个基本性质，它有着极其广泛的应用.本文中我们利用此不等式可以较简捷地解决近几年来的一类竞赛不等式，以供参考，学习之用.1证明不等式.

例1（2015年安徽省高中数学竞赛题）

设正实数a，b满足a+b=1，求证：a2+1a+b2+1b≥3.

证明构造函数f（x）=x2+1x（0

f′（x）=2x-1x22x2+1x，

f″（x）=12x+3x44（x2+1x）x2+1x>0，

从而函数f（x）=x2+1x在0，1上为凸函数，由Jensen不等式，可得

f（a）+f（b）2≥f（a+b2）=f（12）=32，即a2+1a+b2+1b≥3，所以原不等式成立.

例2（2014年安徽省高中数学竞赛题）

已知正实数x，y，z满足x+y+z=1，求证：z-yx+2y+x-zy+2z+y-xz+2x≥0.

证明由x+y+z=1，可得x+2y=1-（z-y），y+2z==1-（x-z），z+2x=1-（y-x），

从而原不等式化为z-y1-（z-y）+x-z1-（x-z）+y-x1-（y-x）≥0.

构造函数f（m）=m1-m，m∈（-1，1），

对f（m）求二阶导数，则有f′（m）=1（1-m）2，f″（m）=2（1-m）3>0，

从而f（m）为m∈（-1，1）上的凸函数，由Jensen不等式，可得

f（z-y）+f（x-z）+f（y-x）3≥f（z-y+x-z+y-x3）=0，

从而原不等式成立.

评注通过上述两例，可以看出这两道不等式题目命制中的凸函数背景.

例3（2012年希腊奥林匹克竞赛题）

设a，b，c均为正实数，且a+b+c=3，求证：

a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a+b）3≥38.

证明构造函数f（x）=x2（3-x）3，x∈（0，3），对f（x）求二阶导数，则有

f′（x）=6x-x2（3-x）4，f″（x）=2（9-x2）+12x（3-x）5>0，

从而f（x）为（0，3）上的凸函数，由Jensen不等式，可得

f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3）=f（1）=18，

故有a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a+b）3≥38.

所以原不等式成立

例4（2011年甘肃省高中数学竞赛题）

设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=1.求证：

（a1+1a1）2+（a2+1a2）2+…+（an+1an）2≥（n2+1）2n.

证明构造函数f（x）=（x+1x）2（0

f′（x）=2（x4-1）x3，f″（x）=2x4+6x4>0，

从而f（x）为（0，1）上的凸函数，由Jensen不等式，可得

f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≥f（x1+x2+…+xnn）=f（1n）=（n+1n）2，

即（a1+1a1）2+（a2+1a2）2+…+（an+1an）2≥（n2+1）2n.

所以原不等式成立

评注文[2]给出了例3和例4一种新证法，这里利用Jensen不等式证之，也不失为一种好方法.

2加强不等式.

例5（2012年克罗地亚奥林匹克竞赛题）

设a，b，c均为正实数，且a+b+c≤3，求证：

a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥2.

证明构造函数f（x）=x+1x（x+2），x∈（0，3），对f（x）求二阶导数，则有

f′（x）=-x2+2x+2（x2+2x）2，f″（x）=2（x+1）（x2+2x+4）（x2+2x）2>0，

从而f（x）为（0，3）上的凸函数，由Jensen不等式，可得

f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3），即a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）.

设u=a+b+c≤3，则只要证9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）≥2，

即9（u+3）u（u+6）≥2（2u+9）（u-3）≤0，由0

从而原不等式成立.

注记从上面的证明中可以看出，原不等式加强为：

a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）≥2.

例6（2010年第一届陈省身杯全国数学奥林匹克竞赛题）

设a，b，c均为正实数，且a3+b3+c3=3，求证：

1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥1.

证明构造函数f（x）=1x2+x+1（0

f′（x）=-2x+1（x2+x+1）2，f″（x）=6x（x+1）（x2+x+1）3>0，

从而f（x）为（0，1）上的凸函数，由Jensen不等式，可得

f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3），

所以有1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1，

又由幂平均不等式a3+b3+c33≥（a+b+c3）3，可得a+b+c3≤1，

故1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1≥1.

所以原不等式成立.

注记从上面的证明中可以看出，原不等式加强为：

1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1≥1.3推广不等式

利用Jensen不等式不仅可以证明和加强不等式，还可以用来推广不等式，如将例1、例3进行推广，可得：

例7设x1，x2，…，xn（n≥2）均为正实数，且满足x1+x2+…+xn=1，则有

x21+1x1+x22+1x2+…+x2n+1xn≥1+n3.

例8设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=n，求证：

a21（n-a1）3+a22（n-a2）3+…+a2n（n-an）3≥n（n-1）3.

证明的方法与上述证法类似，读者可自证.

最后，提供两题，作为训练.

1.设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=1.求证：

a12-a1+a22-a2+…+an2-an≥n2n-1.

2.设锐角A，B，C满足cos2A+cos2B+cos2C=1，求证：

1sin2A+1sin2B+1sin2C≥92.

参考文献

[1]王向东等.不等式·理论·方法[M].郑州：河南教育出版社，19945：253-259

[2]刘康宁.利用“一次函数逼近”证明一类不等式[J].中学数学教学参考（上旬），2015（10）：64-68

12.均值不等式的研究 篇十二

例1 设x1, x2, ……, xn都是正数.证明:x12/x2+x22/x3+……+x2n-1/xn+xn2/x1≥x1+x2+……+xn.

最自然的想法是证明左边的每一个式子都分别大于等于右边的每一个式子即可.由均值不等式x12/x2+x2≥2x1, ……可类似的得到n个式子, 将上式叠加, 即得x12/x2+ x22/x3+ …… + x2n-1/xn+xn2/x1+x1+x2+……+xn≥2 (x1+x2+……+xn) .

再移项, 即证题中不等式.这个看似复杂的题实际上用n个二元均值不等式就可以解决, 其中用到的手法就是局部分析处理, 难题就是一些简单事实的罗列.

在证明不等式时, 比如要证x1+x2+……+xn≤0, 可以证每个变量小于等于0 或使其小于等于多个易于求和的式子, 使这些式子相加为0 即可达到证明.

例2 设x1, x2, x3>0, 证明

有时在证明不等式的问题中, 我们常常先找出不等式等号成立的条件, 从而进一步证明.

我们发现x1=4x2=16x3时, 等号成立.

由均值不等式

, 相加即证.

在其他的一些用均值不等式证明的题中, 有时还需构造的技巧, 适当添加项.比如在用n元均值不等式时, 可构造出n个式子, 再利用不等式.

由以上的两个题可看出, 局部分析可有力地解决整体问题. 微积分是现代数学的一个重要分支, 就是从微观的角度来解决问题. 一般只有从微观上可反映问题的本质, 整体问题用局部分析的方式解决.这本身就体现一种思想, 非常重要的思想.

摘要：这个看似复杂的题实际上用n个二元均值不等式就可以解决, 其中用到的手法就是局部分析处理, 难题就是一些简单事实的罗列.

13.不等式·用分析法证明不等式 篇十三

教学目标

通过教学，学生掌握和应用分析法证明不等式． 教学重点和难点

理解分析法的证题格式并能熟练应用． 教学过程设计

师：我们已经学习了综合法证明不等式．综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，看已知，逐步推向未知”． 综合法的思路如下：（从上往下看）（用投影片）

师：其中，A表示已知条件，由A可以得到它的许多性质，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1还可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，„，而到达结D的只有C，于是我们便找到了A→B→C→D这条通路．当然，有时也可以有其他的途径达到D，比如A→B1→C1→D等．

但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，使用综合法证明有一定困难．

这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手，今天我们介绍用分析法证明不等式，来解决这个问题．

（复习了旧知识，并指出单一用综合法证明的不足之处，说明了学习分析法的必要性）分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，从而找出解题途径．概括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”． 分析法的思路如下：（从下往上看）（用投影片）

师：欲使结论D成立，可能有C，C1，C2三条途径，而欲使C成立，又有B这条途径，欲使C1成立，又有B1这条途径，欲使C2成立，又有B2，B3两条途径，在B，B1，B2，B3中，只有B可以从A得到，于是便找到了A→B→C→D这条解题途径．（对比综合法叙述分析法及其思路，便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系）

师：用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是：（用投影片）欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，„„

只需证命题A为真，今已知A真，故B必真．

师：在运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途径． 下面举例说明如何用分析法证明不等式．首先解决刚才提出的问题．（板书）

师：这个题目我们曾经用比较法进行过证明，请同学们考虑用分析法如何证明？（学生讨论，请一学生回答）

生：因为b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化为a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，这个式子就是已知条件，所以求证的不等式成立．

（学生理解了分析法的原理，应予以肯定，但这个回答不能作为证明过程，学生往往忽略分析法证明的格式，要及时纠正）

师：这位同学“执果索因”，逐步逆找结论成立的充分条件，直至找到明显成立的不等式为止．很明显，逆找的过程正是把“欲证”由繁化简的过程，因而分析法对于形式复杂的证明题是一种行之有效的方法．

但是作为证明过程，这位同学的回答不符合要求．应该如何证明呢？（请一位同学板书）

=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）

=（a＋b）（a2-2ab＋b2）

=（a＋b）（a-b）2．

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0，进而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．

生乙：我是用分析法证明的．

证法2：

欲证a3＋b3＞a2b＋ab2，即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因为a＋b＞0，课堂教学设计说明

教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．因此，教师应及时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题的解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．

本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己解答，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断提出问题让学生解答和练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包办代替的做法．

14.不等式与不等式组单元测试题 篇十四

一、填空题(共14小题，每题2分，共28分)

1.“的一半与2的差不大于”所对应的不等式是.

2.不等号填空：若a

3.当时，大于2.

4.直接写出下列不等式(组)的解集：

①;②;③.

5.当时，代数式的值不大于零.

6.若<1，则0(用“>”“=”或“<”号填空).

7.不等式>1，的正整数解是.

8.不等式的最大整数解是.

9.某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330g10g，表明了这罐八宝粥的净含量的范围是.

10.不等式>的解集为<3，则.

11.若>>，则不等式组的解集是.

12.若不等式组的解集是-1<<1，则的值为.

13.一罐饮料净重约为300g，罐上注有“蛋白质含量”其中蛋白质的含量为____g

14.若不等式组的解集为>3，则的`取值范围是.

二、选择题(共4小题，每题3分，共12分)

15.不等式的解集在数轴上表示正确的是

16.不等式>的解集为()

A.>B.<0c.>0D.<

17.不等式<6的正整数解有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

18.下图所表示的不等式组的解集为()

A.B.C.D.

三、解答题(共60分)

19.(5分)20.(5分)

21.(5分)22.(5分)

23.(6分)代数式的值不大于的值，求的范围

24.(6分)方程组的解为负数，求的范围.

25.(6分)某次数学测验，共16个选择题，评分标准为：;对一题给6分，错一题扣2分，不答不给分.某个学生有1题未答，他想自己的分数不低于70分，他至少要对多少题?

26.(6分)已知，满足，化简.

27.(8分)国庆节期间，电器市场火爆.某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半.电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

类 别电视机洗衣机

为进价(元/台)18001500

售价(元/台)1600

计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元.

(1)请你帮助商店算一算有多少种进货方案?(不考虑除进价之外的其它费用)

(2)哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多?并求出最多利润.(利润=售价-进价)

28.(8分)我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.新|课|标|第|一|网

(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来.

(2)若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低?最低成本是多少元?

一、填空题(共14小题，每题2分，共28分)

1.不等式7->1的正整数解为：.

2.当_______时，代数式的值至少为1.

3.当x________时，代数式的值是非正数.

4.若方程的解是正数，则的取值范围是_________.

5.若x=，y=，且x>2>y，则a的取值范围是________.

6.已知三角形的两边为3和4，则第三边a的取值范围是________.

7.如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为.

8.若，则x的取值范围是.

9.不等式组的解为.

10.当时，与的大小关系是_______________.

11.若点P(1-m，m)在第二象限，则(m-1)x>1-m的解集为_______________.

12.已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是.

13.小明用100元钱购得笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每只钢笔5元.那么小明最多能买只钢笔.

14.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打.

二、选择题(共4小题，每题3分，共12分)

15.如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为()

A.x<4B.x<2C.22

16.把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是()

17.若方程3m(x+1)+1=m(3-x)-5x的解是负数，则m的取值范围是( ).

A.m>-1.25B.m<-1.25c.m>1.25D.m<1.25

18.某种出租车的收费标准：起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费)，超过3千米后，每增加1千米，加收2.4元(不足1千米按1千米计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是( ).

A.5千米B.7千米C.8千米D.15千米

三、解答题

19.(5分)解不等式.20.(5分)解不等式.

21.(5分)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：

22.(5分)解不等式组并写出该不等式组的整数解.

23.(6分)为何值时，代数式的值是非负数?

24.(6分)已知：关于的方程的解的非正数，求的取值范围.

25.(6分)关于的方程组的解满足>，求的最小整数值.

26.(6分)某校为了鼓励在数学竞赛中获奖的学生，准备买若干本课外读物送给他们，如果每人送3本，则还剩8本;如果每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，求该校的获奖人数及所买的课外读物的本数?

27.(8分)北京奥运会期间，某旅行社组团去北京观看某场足球比赛，入住某宾馆.已知该宾馆一楼房间比二楼房间少5间，该旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满.若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没住满.你能根据以上信息确定宾馆一楼有多少房间吗?

15.关于不等式的应用举例 篇十五

一、利用基本定理求最值

利用基本不等式求最值是高中阶段求最值的常用两种方法之一, (另一种是转化为二次函数) 。必须注意满足变量的三个条件:“一正、二定、三相等”。

解题关键是凑出定值, 并要注意取最值时所对应的变量值最好写出来。

例一:设a、b是非负数, 的最大值。

二、不等式在函数中的应用

例二:已知三次函数f (x) =x (x-a) (x-b) (0

(1) 当f (x) 取极值时, x=s和x=t, 求证:0

(2) 求f (x) 的单调区间。

解: (1) 证明:由f (x) =x3- (a+b) x2+abx得, f' (x) =3x3-2 (a+b) x+ab, 由题意, s、t是方程f' (x) =0的两个根。

而f' (0) =ab>0, f' (a) =a (a-b) <0, f' (b) =b (b-a) >0且二次函数f' (x) =3x3-2 (a+b) x+ab的图像开口向上。

所以f' (x) =0的两根在区间 (0, a) 和 (a, b) 上, 所以0

(2) 由 (1) 可知:当x>t或x0;当s

三次函数在新教材中几乎是考试必出的题型, 主要与导数综合出现, 所以也是高考经常出现的考题。

三、不等式在数列中的应用

例三:等比数列b1, b2, b3的和是定值a (a>0) , 公比q<0, 求它们的积b1b2b3的最小值。

又因为a>0, 所以, 当且仅当q=-1, 即b1=b3=a, b2=-a时取等号, 所以b1b2b3的最小值是-a3。

以数列为载体考察不等式是高考命题中出现频率最高的题型之一。

四、不等式在三角中的应用

五、不等式在立体几何中的应用

例五:半径为R的球内作一内接圆柱, 这个圆柱的底面直径和高为何值时, 它的侧面积最大?并求此最大值。

解:过圆柱的轴作截面, 如上图, 设圆柱的高为h, 底面直径为2r, 可知h2+4r2=4R2

由基本不等式可得:h2+4r2≥2·h·2r, 即rh≤R2, 所以圆柱侧面积此时h2=4r2, 解得所以当圆柱的底面和高都等于时, 圆柱的侧面积最大, 其最大值为2πR2。

六、不等式在实际问题中的应用

例六:某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台, 每批都购入台 (是正整数) , 且每批均需付运费400元, 储存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值 (不含运费) 成正比, 若每批购入400台, 则全年需用去和保管总费用43600元, 现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用, 请问:能否恰当地安排每批进货的数量, 使资金够用?写出你的结论, 并说明理由。

分析:问题可归结为:每批购入x台电视机为何值时, 全年的运费和保管费之和最小, 再利用这个最小值与全年现有资金24000元比较大小即可。

解:设全年需用去运费和保管费的总费用之和为元, 题中成正比的比例系数为k, 每批购入x台电视机, 则共需分批购入, 每批费用为2000x元。

所以, 即x=120时, 等号成立。

故只需每批购入120台, 可以使资金够用。

16.梦想不等式 篇十六

“阿柔要打败魔王，这是我的梦想，我都等几个月了。”女儿大声地抗议。

一听到“魔王”，我的心就发焦，什么是魔王？卡通片的诱惑才是魔王，不努力学习才是魔王。我想起了女儿昨天的语文试卷，才77分。“我告诉你，你的梦想是什么，考试、作业、好好温习功课，将来长大有前途，其他什么都不重要。”

女儿怔怔地看着我：“妈妈你好残酷，你伤害我了。”

残酷？伤害？我为人之母的苦心这孩子了解多少？难道我这些年的抚育之恩会被一部卡通片击败？说实话，颓坐在沙发上的我也有一种被伤害的感觉。

女儿的哭声从里屋传来。30年前，在我脑海里也涌起过这样的字句，当然也是对自己的父母，唯一不同的是，女儿大胆地说了出来，而我没有。当时的母亲，也对我说了这样的一串不等式，前途大于愉悦，课业大于玩乐，遵从大于逆反，而我从顺从的童年中收获到多少快乐？有，但很少。我拿了满分远远及不上在山间玩耍的兴奋；我上了重点高中，却被迫和最好的男同学断绝来往，要知道，我和他之间只是友谊，却被父母以“早恋”之名强加割断……而所有的理由只有一个：前途大于一切。当时，我很想对父母说，你们蛮横，你们无理，你们根本不知道人活着为了什么！

而此刻的我，真的又懂人活着的目标么？是无休止的努力奋斗，好工作，完美爱人，还是仅仅求一个单纯的快乐？成长时期的我拼命地反抗着那些冷漠的不等式，而今，我却用它无情地对待女儿。

17.不等式习题 篇十七

七年级数学下册

第九章

不等式与不等式组

综合训练

一、选择题

1.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有()

A.103块

B.104块

C.105块

D.106块

2.（2019•河北）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为

A．+x≤5

B．+x≥5

C．≤5

D．+x=5

3.点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：

甲：b－a＜0；

乙：a＋b＞0；

丙：|a|＜|b|；

丁：＞0.其中正确的是()

A.甲乙

B.丙丁

C.甲丙

D.乙丁

4.某种商品的进价为80元，标价为100元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，要保证利润率不低于12.5%，则该种商品最多可打

()

A.九折

B.八折

C.七折

D.六折

5.已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是()

6.如果，那么下列四个式子中：①

②

③

④正确的式子的个数共有

（）

A．个

B．个

C．个

D．个

7.下表是小洁打算在某通信公司购买一款MAT手机与搭配一个手机号的两种方案.此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下:若通话费超过月租费,则只收通话费;若通话费不超过月租费,则只收月租费.小洁每个月的通话费均为x元,x为400到600之间的整数,在不考虑其他费用并使用两年的情况下,若使选择乙方案的总花费比选择甲方案少,则x至少为

()

A.500

B.516

C.517

D.600

8.如果关于的方程的解为不大于2的非负数，那么（）

A．

B．等于5，6，7

C．

D．

二、填空题

9.不等式－x＋3＜0的解集是________．

10.商家花费760

元购进某种水果80

千克，销售中有5%的水果正常损耗．为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克．

11.下列说法中，正确的有__________个．

①的解集是；②是的解；③的整数解有无数个；④不等式的负整数解只有5个．

12.在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．

13.不等式组的解集是________．

14.某童装店按每套88元的价格购进1000套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，若销售完这1000套童装要获得不低于20000元的纯利润，则每套童装的售价至少为

元.15.（2019•荆州）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n-0.5≤x

16.已知有理数满足，若的最小值为，最大值为，则___

三、解答题

17.用不等式表示：

⑴的与的差大于；

⑵的与的和小于；

⑶的倍与的的差是非负数；

⑷

与的和的不大于．

18.解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．

19.福林制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条．

(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？

(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？

20.求不等式的解集．

21.解不等式组

22.；

23.解不等式组

24.解不等式：

人教版

七年级数学下册

第九章

不等式与不等式组

综合训练-答案

一、选择题

1.【答案】C　【解析】设这批电话手表有x块，根据“销售总额超过5.5万元”列不等式得550×60＋500(x－60)＞55000，解得x＞104，所以这批电话手表至少有105块．

2.【答案】A

【解析】“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．故选A．

3.【答案】C　【解析】∵由数轴可知b<－3<0

设该种商品打x折出售.依题意，得100×-80≥80×12.5%，解得x≥9，所以最多可打九折.5.【答案】A　解析：由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为(1－2m，1－m)．又∵M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，∴解得

在数轴上表示为.故选A.6.【答案】B

【解析】⑴

①、③、④正确，所以选择B

7.【答案】C　[解析]

因为x为400到600之间的整数,所以甲方案使用两年的总花费为(24x+15000)元;

乙方案使用两年的总花费为24×600+13000=27400(元).当选择乙方案的总花费比选择甲方案少时可列不等式24x+15000>27400.解得x>516,所以x至少为517.故选C.8.【答案】D

【解析】由方程可得，根据题意得：且，即得，选择D．

二、填空题

9.【答案】x＞6　【解析】本题考查了一元一次不等式的解法．移项得，－x＜－3，系数化为1得，x＞6.10.【答案】10　【解析】设水果的定价为x元/千克，由题意得，80(1－5%)x－760≥0，化简得，76x≥760，∴x≥10.11.【答案】3

12.【答案】m>2　解析：由第一象限点的坐标的特点可得解得m＞2.13.【答案】－3－3，故不等式组的解集为：－3

设每套童装的售价为x元.依题意，得1000x-10%×1000x-88×1000≥20000，解得x≥120.15.【答案】13≤x<15

【解析】依题意得：6-0.5≤0.5x-1<6+0.5，解得13≤x<15．故答案为：13≤x<15．

16.【答案】5

【解析】解原不等式可得，利用几何意义解答或零点分段讨论均可，，．

三、解答题

17.【答案】

⑴

；⑵

；⑶

；⑷

．

18.【答案】

【解析】.∴原不等式组的解集是.在数轴上表示为：

19.【答案】

（1）应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子；（2）至少应安排18名工人制作衬衫．

【解析】（1）设应安排名工人制作衬衫，由题意得：

∴

∴

答：应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子．

（2）设应安排名工人制作衬衫，由题意得：

∴

答：至少应安排18名工人制作衬衫．

20.【答案】

【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解．

去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得

系数化为1，得

21.【答案】

【解析】方法1：

原不等式组可写成，解这个不等式组，得。

方法2：

在不等式组的左、中、右三项同时乘以2，得。

再在这个不等式组三边同时减去3，得。

三边同时除以，不等号方向改变，得，即。

22.【答案】

【解析】或，解得，且；

23.【答案】

【解析】解不等式①，得，即可取任意实数；解不等式②，得.∴原不等式的解集为。

24.【答案】

18.不等式习题 篇十八

知能目标锁定

1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤,能够用分析法证明一些复杂的不等式;

2.了解综合法的意义,熟悉综合法证明不等式的步骤与方法;

重点难点透视

1.综合法与分析法证明不等式是重点,分析法是证明不等式的难点.方法指导

1.分析法

⑴分析法是证明不等式的一种常用方法.它的证明思路是:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”.⑵分析法证明的逻辑关系是:结论BB1B2BnA(A已确认).⑶用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆.⑷用分析法探求方向,逐步剥离外壳,直至内核.有时分析法与综合法联合使用.当不等式两边有多个根式或多个分式时,常用分析法.2.综合法

⑴综合法的特点是:由因导果.其逻辑关系是:已知条件AB1B2BnB(结论),后一步是前一步的必要条件.⑵在用综合法证题时要注意两点:常用分析法去寻找证题思路,找出从何处入手,将不等式变形,使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式.一.夯实双基

1.若a>2,b>2,则ab与a+b的大小关系是ab()a+b

A.=B.D.不能确定

2.设ba0,则下列不等式中正确的是（）A.lgab0B.babaC.a

1a1a

2aD.bab

1a1

3.若a,b,cR,且a+b+c=1,那么



1a



1b



1c

有最小值()

A.6B.9C.4D.34.设a

2,b73,c6

2,那么a,b,c的大小关系是（）

A.abcB.acbC.bacD.bca

5.若x>y>1,则下列4个选项中最小的是()A.xy2

B.2xyxy

C.xyD.(

2x

111y)

二.循序厚积

6.已知两个变量x,y满足x+y=4,则使不等式围是________;

7.已知 a,b为正数,且a+b=1则a2b2的最大值为_________;8.若a,b,cR,且a+b+c=1,则abc的最大值是__________;



1x



4y

m

恒成立的实数m的取值范

9.若xy+yz+zx=1,则x2y2z2与1的关系是__________;10.若ab0,m

a

b,n

ab,则m与n的大小关系是______.三、提升能力

11.a、b、c、d是不全相等的正数,求证：(ab+cd)(ac+bd)>abcd

12.设x>0,y>0,求证:

x2

y



xy2

13.已知a,b R,且a+b=1,求证：(a



1a)(b

1b)

252

.14.设a,b,c是不全相等的正数, 求证：lg

ab2

lg

bc2

lg

ac2

lgalgblgc.15.如果直角三角形的周长为2,则它的最大面积是多少?

19.均值不等式应用四注意 篇十九

一、注意“正”

“正”是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正实数,若不是正实数,必须变为正实数.

例1求函数的最值.

错解:,所以函数的最小值为2.

错因分析:因为函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,可利用均值不等式求最小值,但当x<0时,应将各项化为正,才可利用均值不等式求解.

正解:当x>0时,;当x<0时,-x>0,,所以.

所以没有最大值、最小值.

二、注意“定”

“定”是指用均值不等式求最值时,和或积应为定值,这时,常常要运用拆项、补项、平衡系数等变形技巧.

例2若的最小值(补项).

解:因为,所以4x<5,即:5-4x>0.

所以

当且仅当,即x=1时等号成立(因为,所以舍去)

所以当x=1时,y有最小值-2.

例3求函数y=4x2(1-x)(0

解:因为00,

所以

当且仅当,即时,取“=”号.所以当时,y有最大值.

例4若0

解:因为00.

所以

当且仅当x=1-x,即时,等号成立.所以当时,有最大值.

点评:求最值问题时,首先应明确求乘积的最大值还是和的最小值,若是求最大值,只需根据条件恰当变形出现和为定值,若是求最小值,只需使积出现定值.

三、注意“等”

“等”是指利用均值不等式求最值时,要注意探求等号是否成立,即等号成立的条件是否具备,若等号不成立,则不是最值,若等号成立,才是最值.

例5求函数的最小值.

错解:因为x2+k≥0,所以,所以ymin=2.

错因分析:忽视了等号成立的条件.事实上,当时,x2=1-k,而当k>1时,等号不成立.

正解:(1)当k≤1时,,所以ymin=2.

(2)当k>1时,令,则易证在[)上是增函数,

所以

综上

四、注意“同”

“同”是指得多次使用均值不等式时,等号成立条件中的变量的取值范围应相同.

例6已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值.

错解1:因为x+2y=1,

所以

所以的最小值为

错因分析:在求解过程中使用了两个不等式:(1)是.在(1)中,当且仅当时取等号;在(2)中,当且仅当时取等号.当两式同时成立时,必须使x=1,且,此时.所以此法不满足不等式取等号的条件.

错解2:因为x+2y=1,

所以

错因分析:在求解过程中用了两个不等式,(1)是在(1)中当且仅当x=2y时取等号,在(2)中当且仅当,即x=y时取等号,而x≠0,y≠0,从而x=2y与x=y不能同时成立.

正解:因为x+2y=1,所以

当且仅当时取等号,此时.

所以的最小值为

练习:

20.数列与不等式 篇二十

A． 2100 B． 299 C． 2505 D． 24950

2． 已知数列｛an｝为等差数列，且a1+a8+a15=π，则cos（a4+a12）的值为（ ）?摇

A． － B． C． D． －

3． 记不超过x的最大整数为［x］，令｛ｘ｝=x－［x］，则，，（ ）

A． 是等差数列但不是等比数列

B． 是等比数列但不是等差数列

C． 既是等差数列又是等比数列

D． 既不是等差数列也不是等比数列

4． 在数列｛an｝中，若存在一个非零常数，对任意n∈N?鄢满足an+T=an，则称｛an｝是周期数列，其中T叫它的周期． 已知数列｛xn｝满足x1=1，x2=a（a≤1），xn+2=xn+1－xn，当数列｛xn｝的周期为3时，则数列｛ｘn｝前2010项的和是（ ）

A． 669 B． 670 C． 1338 D． 1340

5． 设数列｛an｝的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列｛an｝的“理想数”，若数列a1，a2，a3，…，a500的“理想数”为2004，则数列2，a1，a2，a3，…，a500的“理想数”为（ ）

A． 2002 B． 2004 C． 2006 D． 2008

6． 数列｛an｝中，a1=1，a3=－，数列是等差数列，则a4=________．

7． 设a1=2，an+1=，bn=，则数列｛bn｝的通项公式bn=________．

8． 如图所示，三角数阵满足：

（1）第n行首尾两数均为n；

（2）图中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n≥2）行的第2个数是________．

1

2 2

3 4 3

4 7 7 4

5 11 14 11 5

… … …

图1

9． 在数列｛an｝中，前n项和Sn=na+n（n－1）b，（b≠0）．

（1）求证：｛an｝是等差数列；

（2）求证：点Pnan，－1都落在同一条直线上；

（3）若a=1，b=，且P1，P2，P3三点都在以（r，r）为圆心，r为半径的圆外，求r的取值范围．

10． 如图，现有n2个正数排成行列数表

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …

an1 an2 … ann

（这里用aij表示位于第i行第j列的一个正数，i，j∈N?鄢）

若n2个正数的行列数表每横行的数成等差数列，每竖行的数成等比数列，且各个等比数列的公比相同，a24=1，a42=2，a43=3．

（1）求aij的表达式（用i，j表示）；

（2）设bn=ann，求数列｛bn｝的前n项和Sn．

11． 已知f（x）=（x≠1），各项不为零的数列｛an｝满足4Snf=1．

（1）求证：－