复变函数与数学分析的比较

复变函数与数学分析的比较（9篇）

1.复变函数与数学分析的比较 篇一

班级B10202姓名李建良学号36

读《复变函数》与《积分变换》有感

在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。因此感觉有一定的深度和难度。它们都利用数学的理论来解决实际问题。

复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。本章将原来的基础上作简要的复习和补充。然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。

在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。

而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。利用Fourier变换和Laplace变换将复杂的积分转化为简单的积分变换，有利于对复杂积分的求解，所以学习《积分变换》的思路就不像学习《复变函数》一样，它的解题思路和《积分变换》截然不同，就拿Fourier变换而言，先引进Fourier定理，然后利用Fourier定理解决数学中一些难解的积分，用积分变换也可以解决工业中一些工程计算。其重在积分变换。对于积分变换理论的学习，有助于解决我们在工业设计中遇到的问题，但对与此书着重对积分变换的思想培养和应用。当我开始学习《积分变换》时，感觉无从下手，尤其是对积分的变换，一看到积分变换的过程就很头疼，不知道从哪个地方开始下手，当学到Laplace变换时，才发现积分变换有它的一定的规律，只要把Fourier变换的思路用在Laplace变换，就会简化对Laplace变换的学习，我才明白Fourier变换只是学习积分变换的一种方法，第一种内容学会了，后面的内容就迎刃而解了。

通过这两本书的学习，我觉的，它不仅仅带给我的是挑战，而且也将为我们将来在工程技术领域中开扩了思路，照亮了方向，这也让我们知道数学在工程领域的作用和不可磨灭的高度。

2.复变函数与数学分析的比较 篇二

复变函数是数学专业重要的专业基础课之一,该课程既是数学分析课程的延续,同时也为后继课程的继续学习提供进一步的知识和有效工具。目前,复变函数理论已渗透到现代数学的许多分支,对于这门课掌握的好坏,将直接影响到数学专业的许多后续课程的进一步学习和研究。另外,该课程对进一步巩固学生数学基本功,锻炼和提高学生的思维能力和数学应用能力,培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法和良好数学素质起着重要的作用。因此,该课程建设的好坏,将对数学学科教学质量的高低有一定的影响。

1 更新教学理念

复变函数是介绍用复数方法,再结合一些近代数学的思想来研究函数的一门课程。这门课程的定位看似很明确,但从教学改革的角度来说,这门课程的挑战性较大。一方面学生对复数的理解本来就不透彻,对一般复数的结构、理论、应用技巧以及一些现代数学知识的了解更是比较模糊,再以复数以及一些现代数学的思想作为工具来研究函数,学生会感到一下难于接受;另一方面,作为既注意理论又比较强调应用的一门课程,内容弹性比较大,讲授方式弹性也比较大。

以往的教学侧重于数学理论的推导,忽视了复变函数的具体应用背景。这种做法的优点在于:加强了数学基本技能的培养,使学生有较高的理论水平;但其缺点是容易导致学生在学习中目的性不明确,使很多学生失去学习兴趣,失去学习信心,造成学生忽视应用的倾向,对培养高素质、应用型、创新型人才不利。随着教学改革的不断深入,新的历史时期人才培养模式的变化,改革复变函数课程的认识也更明确。在新的历史时期,我们的课程也要做到与时俱进,在讲解基础数学概念与应用背景的同时,注重使学生理解抽象的数学研究思想方法怎样从原始的问题演化发展而来,实际问题驱动理论教学,重点讲解与数学类其它课程(如数学分析)的不同之所在。这样做的目的是使学生明白复变函数课程在现代科学技术中的重要地位,激发学生学习现代科学技术的兴趣,培养学生解决实际问题、从事科学研究的能力。

2 优化课程内容

复变函数课程的研究方法直接是数学分析的延续,其核心是建立具有良好性质的解析函数以及研究解析函数的若干方法;对部分多值函数的研究是复变函数不同于数学分析又一大特点,同时也是复变函数课程的难点之一。在课程的建设中,我们既注意保持课程的传统特点,更注意教学内容和教学与训练手段的更新。根据教学大纲的要求和后继课程的需要,结合本校本专业的学生的知识结构及培养目标,在教学过程中,无论从教学理念,还是教学内容和方法,都要进行不断的探索、研讨、总结,目的就是培养合格的、优秀的毕业生。

2.1 针对课程内容和方法的基础性和延续性,我们在

处理属于分析学的内容和方法时,经常采用与数学分析进行类比的方法。使学生一方面能巩固数学分析的知识,另一方面也能切身体会复函的内容和方法与数分的内容和方法的密切联系与区别[2]。

2.2 针对本课程中多值函数内容较抽象,其一般研究

方法涉及较深奥的拓扑学知识,初学的学生在这方面不易理解和掌握的实际,我们处理这部分内容时,尽可能的介绍它们的应用背景或简单例子,启发学生的思维从具体到抽象的升华,帮助他们理解教学内容,掌握研究方法的实质。这样做既能调动学生的积极性和主动性,也能培养学生分析问题、解决问题的能力。

2.3 复变函数中有一些内容应用性很强(例如解析函

数的最大模原理、解析函数的惟一性定理、留数定理等)。对这些内容,我们在讲清其原理的基础上,尽可能多地补充一些应用的问题,让学生去思考。尤其是对后续课中需要用到而一般教材又很少涉及的典型问题(如模函数的增长性,有关零点与极点个数的等式和不等式等),强化他们的分析问题、解决问题的能力。

2.4 在课堂教学课程中,适当穿插讲解一些数学的发

展简史,特别是复变函数的发展历史,一方面让学生对整个数学的发展简史有一个了解,另一方面使学生明白数学并不是一门枯燥的学问,它的发展历史实际上是与人类的进步和发展密不可分的,从而激发学生的学习兴趣。

2.5 考虑到我校学生的特点,我们把起点放的比较

低,力求讲解细致,通俗易懂.在引入概念时注意和学生熟悉的知识相关联,定理的叙述和证明秉持“易读性”和“探索性”的双重原则,使之更适合学生接受知识由浅入深的自然过程。课程内容与传统教材比较,剔除了许多较困难、繁杂的证明,但保留了体现复变函数理论本质思想的核心内容,并对许多重要的定理证明做了更细致的阐述。

3 改革教学方法

教学过程是传统的讲授———答疑———习题课———作业批改等环节。在传统的教学环节中改进教学方法,关键在于老师对教学内容的理解和对人类(学生)学习过程的认知。基于上述认识,我们在教学过程中突出强调了下列几点:

3.1 注重教学过程的每一个环节

教师上课之前认真备课,晚自习答疑,作业全收全改,及时了解学生的学习情况。

3.2 注重课堂教学方法的多样性

讲授复变函数的概念时,强调“反璞归真”,讲清客观世界-数学抽象-数学语言,描述三者的关系。改变传统的直陈式讲授,采用拾级式、分解式、前后呼应、讨论式等讲授方法,基本化解了复变函数课程中的主要难点,提高了教学效果。同时鼓励学生以“批判”的态度学习,超越教师,超越教材,启发学生深入思考的积极性,在讲课中给学生留思考题,考试中增加需要讨论及得出结论的问题。

3.3 注重数学实践环节

复变函数理论在数学、自然科学、工程技术领域中都有广泛应用,在课程内容以及教学方法的改革中适当加入知识产生背景的介绍,结合先行课和后续课以及中学数学的有关内容,设计一些合理有趣的探究性问题是必要的,这些教学内容将有助于培养学生学习数学的兴趣和应用数学知识的能力,以期达到提高学生数学素质的目的.在解析函数初步、理论和理论的应用这三块内容中,分别选择典型的背景知识介绍或读物供学生参考。设计复数产生的合理性、用复数表示集合、复函数与实函数性质的比较等方面的探究性问题。在解析函数理论和应用这两部分,设计适量合理的能分别反映解析函数理论建立过程和理论应用的特点的研究性问题。抓习题课改革,讨论式习题课。利用网络优势扩大视野和活动范围。另外,还鼓励学生充分利用系实验室的计算机、网络环境及校、院图书馆、资料室资源扩展学生视野,培养和提高学生的综合能力和创新能力。

3.4 开发学生的自学能力

我们目前所处的社会是一个信息社会,“知识爆炸”很形象地形容了当前迅猛发展的科技现状。因此,仅仅具有大学里学的有限知识的大学毕业生很难适应实际工作的需要,他们也许会对千变万化的客观实际问题一筹莫展。显然,要想更好地工作,他们必须对专业知识进行延伸或深入地再学习。

事实上,每个大学生都有不同程度的自学潜能,但我们传统的过死的教学法几乎压抑了他们的自学才能,使他们自然不自然的成为知识领域里的“懒惰者”。我们在复变函数课程中有意识的贯彻一种“培养自学意识”的思想,让学生真正拥有一种自学能力。在几年的教学实践中,我们发现,这种“引线”式的教学方法确实能最大限度地开发学生们的自学能力,彻底打碎他们惯有的被动学习的心理定势,从而培养他们主动学习的意识。担心“接受不了,掌握不好”的忧虑是多余的。事实证明,同学们都能较好的掌握这些内容。这一点,在期中和期末考试中得以证明。

对书本上选学的内容,由于学时有限,不能利用课堂讲解,我们就指定同学自己学习,几个人一个小组,注重协作能力的培养,这是一种定向的有书本材料的自学。由于市场的灵活性及跨行业的横向联合的特点,社会日益需求那种多学科性人才。因此,今后的科研人员将在工作之时越来越多地进行有目标的学习。

3.5 注重阶段性的总结

有时由于学时有限,不能由教师来对所学内容进行总结,这时都会给学生布置下去,由学生自己对近一阶段所学内容进行总结,随时形成关于某一教学内容的小论文,组织课堂讨论。鼓励学生形成自己的知识结构,在复习时学会记住什么,“忘”掉什么。

4 更新教学手段

本课程的任务是使学生理解复变函数论的基本概念,能运用复变函数的知识解决相关实际问题的初步应用能力。该课程的讲授应当有助于培养学生的创新意识与创新能力,提高学生的逻辑思维、逻辑推理、逻辑表达能力与数学素养,为进一步学习后续课程打下必要的理论知识和论证方法的基础。在课堂教学过程中,有选择性地使用多媒体教学手段,让学生感到有些复杂的枯燥的数学问题用计算机来显示和处理,突破黑板二维空间的局限,激发学生学习复变函数课程的热情和兴趣。

4.1 自制多媒体课件

在课堂使用多媒体教学辅助手段,尤其一些著名的结果和需要动画说明的部分,让同学们能更直观、更形象、生动的理解,也更准确掌握内涵。

4.2 观看幻灯片

为了让学生更好地认识到《复变函数》是一门直接来源于应用问题并且有着很广泛的应用范围的基础课程,我们除了在教材和教学过程中尽量将每个重要概念的来龙去脉讲解清楚外,还利用幻灯片组织学生观看与复变函数的创立有关的内容。学生通过生动形象的形式了解复变函数的创立过程及其重要概念和理论的来龙去脉。

为适应现代教育的需要,符合学院提出的应用型人才的培养要求,经过复变函数课程组教师们的共同努力,编写了特色鲜明复变函数教材,制做了《复变函数》网页,提高了教学效果和效率,获得了学生的认可和好评。在教学内容,教学方法,教学手段上采取了一系列的教学改革。在改革中,我们改变了传统的教学模式,重视学生的素质教育,注重学生的创新能力的培养,取得了明显的成效。复变函数课程建设是一个长期的过程,需要不断进行深入的研究。

摘要：针对高等教育大众化形势,结合我校数学专业复变函数课程建设的实际情况,从更新教学理念、优化教学内容、改革教学方法与手段等方面对复变函数课程的建设进行了积极的探索与实践,取得了良好的教学效果。

关键词：复变函数,课程建设,教学改革

参考文献

[1]张秋杰,丛凌博.复变函数[M].哈尔滨:东北林业大学出版社,2009.

[2]唐笑敏,刘太顺,胡璋剑.高师院校复变函数课程教学改革的探索[J].大学数学,2011,27(1):12-15.

3.复变函数与数学分析的比较 篇三

关键词：分层次教学 复变函数与积分变换

中图分类号：G642.0 文献标识码： A

二十一世纪是知识型的社会，对人才有着不同层次的需求。复变函数与积分变换作为一门基础学科又是重要学科倍受人们的关注。尤其是一些尖端科技的发展对复变函数与积分变换的要求日渐愈高，利用复变函数与积分变换的知识可以解决许多工程中遇到的问题，在世界关注的军事、国防、航天等领域更加显示了最为超前的强大力量。

有关数学课程的教学方法经历了无数次的改革，但无论如何改革都是以培养学生为目的，以适应社会发展的需求为准则。人们不断的寻求、探索，以期待寻找更适合实际的教学方法。以往的高等数学教学采用“大锅饭”的形式讲授，学生靠教师推着走，这样无论对教师还是对学生而言都是不利的。就教师来说，无法更好的因材施教。针对不同的学生也只能采用同一教学模式，从而也导了有的学生“吃不饱”，有的学生“吃不消”的分化现象。“吃不饱”的学生认为教师讲的内容过于简单，进度缓慢，不听也会。“吃不消”的学生恰恰相反，内容听不懂，思路跟不上，久而久之，使得他们对数学的学习失去了兴趣也没了信心。这种两极分化的情形如不得以解决，势必会影响复变函数与积分变换今后的发展和对学生素质教育的培养和提高。考虑到以上因素，同时为了实现大众化教学与重点培养相结合的目的，并结合我校的实际情况满足学校多目标、多层次人才培养计划，本着因材施教的原则，我们创造性地提出对复变函数与积分变换的分层次教学。根据每位学生的不同特点并结合高考成绩和入学后的测试成绩分为A、B、C三个层次。对不同层次的班级制定不同的教学大纲，不同的授课计划，不同的授课学时，这样任课教师就会对不同层次的班级采用不同的教学侧重点，不同的教学方法和不同的教学手段，真正做到了因材施教，以便取得了较好的教学效果。

一、创新钻研型——A班

A班以培养创新钻研型人才为目标。学生的特点是基本功强，思维活跃，善于发现问题。因此在教学中侧重学生的数学素质及创新能力的培养。教师在教学中突出教学重点，贯彻少而精，在教学内容的组织上，在讲清基本概念、基本性质、基本理论、基本方法的前提下，通过对典型例题的分析、假设、猜想、讲解、扩展等形式，向学生讲述解题的思想方法。特别是较特殊的解题技巧的训练，培养学生独立解决问题的能力和创造性思维，使学生形成能够主动获取新知识的能力及分析和解决问题的能力，同时使得学生产生“不满现状，立意创新”的思想。讲解某一类问题时，从不同的角度出发，可采用提示——诱导——疏通——解决问题四步走的策略，使得学生彻底领会解题的思想方法。在教学中始终贯彻以学生为主体，教师是主导的方针，教师必须始终在“引”字上下功夫，引导学生步步深入，层层剥皮，循着科学研究的流向去思考问题，探索问题，解决问题，达到具有数学的抽象思维能力，逻辑推理能力，想象能力，并逐步形成创新能力。

二、应用型——B班

B班以培养应用型人才为目标。这类学生的特点是基本功较好，但只善于学习一层不变、固定的知识，缺乏创造力。针对这一特点，要发挥他们的长处，将所学应用到实践，学以并用。因此在教学中侧重于应用能力的培养，兼顾数学素质和创新意识的培养，使他们的数学知识即能够满足今后学习的需要，又能够为他们今后的发展奠定基础。在教学内容的组织上，B班注重基本理论与应用的结合，使学生即具有一定的应用能力，又具有一定的创新精神。

改革的宗旨是体现内容的现代化和知识的应用化。鉴于每个专业对复变函数与积分变换知识的内容，深浅程度要求的不同，整体B班的学生按所需内容的不同分几个班级授课，因此在教学内容上可结合专业的特点给予适当的删减和补充，并注重学生能力的培养。

除此之外，还要结合数学实验训练学生的上机能力，让学生自己动手运用复变函数与积分变换所学的知识去解决实际问题，一方面提高了学生的动手实践能力，丰富了课堂内容，进一步的增加了学生对数学的学习兴趣；另一方面利用计算机在制图和计算的精确度上人类无法比拟的优越性，对于计算量大较易出错的问题，可以利用计算机来解决。节约时间的同时也省去了一些烦琐的推导计算。

三、基础型——C班

C班以培养基础型的人才为目标。学生特点是底子薄，基础差，这也是学生学习的最大障碍。在教学中主要培养学生对基本概念、基本定理、基本方法的理解和掌握。教师在授课方面自然要采取特殊的方法，而且对他们的要求可适当的降低。在教学内容的组织上，针对C班做适当的处理，即能使讲述教学内容不少于大纲的要求，又能使C班学生易于接受，在授课上偏重于对复变函数与积分变换中基本概念、基本性质、基本理论、解决问题的基本方法分析和指导，而且由于学生的自主能力较弱，课堂上可以适时介绍有关复变函数与积分变换史及数学家的经历等方面内容以提高学生的学习兴趣，激发他们的学习热情，吸引学生的注意力。对于难题及烦琐的定理的推导过程等可删掉，有些定理的推导写一黑板还占用半节课的时间，学生听后如雾里看花，不清不楚，似懂非懂。而删掉后即能够节约时间加强对学生基础知识和基本技能的训练，又能够减轻学生的学习压力，有利于改变学生对数学“深不可测”的错误认识，提高学生的学习兴趣。在授课进度上要慢，不要急于求成，每讲一道题，让学生练习一道，每做对一道题就会增添学生一点信心，尽可能调动学生的积极性，让学生跟着教师走，帮助学生在适合自己的学习环境中得到最优发展。

复变函数与积分变换教学改革的目标是要研究如何用最佳的教学方式将知识传授给学生，如何采用合理的教学手段使学生尽可能容易地接受知识，最大限度地启迪思维，真正提高教学质量，以适应社会对人才的需要。对于分层次教学无论哪个层次都要渗透相应的现代数学的新思想，新观点，新方法。同时结合数学实验、数学建模及数学竞赛来提高和调动学生的学习兴趣和学习积极性，让他们从被动变为主动，从而全面提高学生的数学素质。

分层次教学是针对性很强的一种教学方式，通过分层次教学，真正达到了有的放矢，因材施教的目的，实践证明分层次教学是一套适合切实可行教学方法。

参考文献：

[1]杨春玲.《复变函数与积分变换》的教学改革与实践.现代企业教育，2013（9）.

[2]刘晓瑜.丁少红 数学分层教育刍议.华南师范大学学报（社会科学版），1999.6.

[3]杨孝平，刘德钦，米少君，许春根，王为群.本科高等数学分层次教学的深入思考与实践，2003.12.

[4]單香珍，庄丽.谈分层次教学的重要环节.辽宁工程技术大学学报（社会科学版），2002.4.

4.大学复变函数课件-洛朗级数 篇四

洛朗级数

第一节

洛朗展式

双边幂级数

设级数

（）

它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数；

考虑函数项级数

（）

作代换

则（）即为，它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数，从而（）在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数；

当且仅当时，（）（）有共同的收敛区域，此时，称为双边幂级数。

关于双边幂级数的性质，见p185

定理

定理1

（洛朗定理）

设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内

其中，是圆是一个满足的任何数，并且展式是唯一的。

证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析。由柯西积分公式，其中

现考虑

而沿，（在上一致收敛）

由于函数沿有界，所以

故当：，其中

展式的唯一性：设

任意取某正整数，在上有界，故，展式唯一。

注解：我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。

例1、求函数分别在圆环1<|z|<2及内的洛朗级数式。

解：如果1<|z|<2，那么利用当时的幂级数展式

我们得

如果，那么同样，我们有

例2、及在内的洛朗级数展式是：

例3、在内的洛朗级数展式是：。

例4、求函数在圆环1<|z|<3内的洛朗级数展式。

解：由于1<|z|<3，那么利用当时的幂级数展式

我们得，而

所以，有

第二节

解析函数的孤立奇点

1．解析函数的孤立奇点的定义

设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式

其中

是圆。

例如，0是的孤立奇点。

一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式中含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：

⑴如果在的主要部分为，那么我们说是f(z)的可去奇点，这时因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)；

⑵如果在的主要部分是有限多项：我们称是f(z)的阶极点；

⑶如果在的主要部分是无限多项，我们称是f(z)的本性奇点。

例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。

2．孤立奇点的判定

定理1

是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：，其中是一个复数。

证明：（必要性）。由假设，在内，f(z)有洛朗级数展式：

因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着。

（充分性）。设在内，f(z)的洛朗级数展式是

由假设，存在着两个正数M及，使得在内，那么取，使得，我们有

当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令趋近于0，就得到。于是是f(z)的可去奇点。

推论1

是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。

下面研究极点的特征。

设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么在内，f(z)有洛朗展式：

在这里

则在这里是一个在内解析的函数，并且。反之，如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是f(z)的m阶极点。

定理2

是f(z)的极点的必要与充分条件是：。

证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数，使得在内，于是在内解析，不等于零，而且。因此是F(z)的一个可去奇点，从而在内，有洛朗级数展式：

我们有。由于在内，可以设。由此得，其中在内解析，并且不等于零。于是在内，在这里，在内解析。因此是f(z)的m阶极点。

推论2设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：，在这里m是一个正整数，是一个不等于0的复数。

关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：

定理3

是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限。

例：0是函数的本性奇点，不难看出不存在。

解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于；

当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；

当z沿虚轴趋近于0时，没有极限。

第三节

解析函数在无穷远点的性质

1．解析函数在无穷远点的性质

设函数f(z)在区域内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：

其中系数由定理5.1中类似的公式确定。

令，按照R>0或R=0，我们得到在或内解析的函数，其洛朗级数展式是：

如果w=0是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。因此

（1）如果当时n=1,2,3,…，那么是f(z)的可去奇点。

（2）如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么是f(z)的极点。设对于正整数m，而当n>m时，那么我们称是f(z)的m阶极点。

（3）如果有无限个整数n>0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。

注解1若为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析；

注解2上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：

定理1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。

推论

设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。

第四节

整函数与亚纯函数

1．整函数的分类

如果f(z)在有限复平面C上解析，则

那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数在扩充复平面上唯一的孤立奇点。我们按孤立奇点的类型，可以将整函数分类：

定理1

设为整函数

⑴为的可去奇点（常数）；

⑵为的阶极点

即次多项式；

⑶为的本性奇点无穷多个不等于（此时称为超越整函数）例如：；；

2．亚纯函数的定义与性质

如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，无其他类型的奇点那么称它为一个亚纯函数。

亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。例如是一个亚纯函数，它有极点。有理函数

也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点（当n>m时）或可去奇点（当时），在这里是复常数，m及n是正整数。

定理1

5.复变函数与数学分析的比较 篇五

一、初学“复变函数”课程的学生可能存在的问题及教学策略

笔者在教学中发现, 在“复变函数”开课之初, 大多数学生都迫切地想知道该课程的重要性以及难易程度。鉴于“复变函数”课程的知识体系与“数学分析”的相关知识有着非常密切的联系, 如果有些学生对“数学分析”没有很好的掌握, 就会对“复变函数”课程产生畏惧;而有些“数学分析”学的很好的学生, 会认为对微积分的内容已经有所了解, 从而忽视“复变函数”课程的重要性。针对上述问题, 笔者认为教师在教学中应尤其注意以下三个环节: (1) 在开课之初就要明确复变函数论的重要性, 做好“复变函数”课程与“数学分析”课程的有效衔接, 消除学生的疑虑, 调动学生的学习兴趣。 (2) 在“复变函数”课程的教学过程中, 应该注意与“数学分析”课程的比较, 把“数学分析”的相关内容引进来, 让学生在复习旧知识的基础上, 吸收新内容。 (3) 在教学中, 要特别强调:复变函数论作为一门学科, 有其自身的特点和研究方法, 在很多方面“复变函数”与“数学分析”这两门课程的知识是不同的, 不可以照搬照抄, 也不可以盲目地进行推广。笔者在教学中能够很明确地感觉到做好如上三个环节中的第一环节在“复变函数”的教学中至关重要。这一环节做好了, 就可以为学生定下一个“放下包袱、轻装上阵”的学习基调, 给学生一个能够学好此门课程的信心并调动起学生愿意主动探究学习此门课程的学习动力。那么面对已经熟练掌握一元和多元微积分知识的学生, 怎样做好第一环节呢?笔者认为这就需要教师精心设计和安排第一节课的教学内容。

二、作好数学分析与复变函数课程的有效衔接, 精心设计第一节课

正所谓“万事开头难”, 任何一门新课的开始都是要精心准备的, 都要给学生解答“学什么”、“为什么学”和“怎么学”这三个问题, 要让学生对这门课程有个大体的认识, 让学生了解此门课程并有信心、有兴趣去学习它。针对已经学习了“数学分析”课程的学生可能出现的迫切、畏惧和轻视的问题, 笔者认为“复变函数”第一节课的教学内容应该包括: (1) 复变函数论的历史和重要性。 (2) “复变函数”课程内容的概述。 (3) “复变函数”课程与“数学分析”课程的主要异同点的概述。 (4) 应该采用的学习方法。但是如何能够让学生轻松地接受上述四个内容, 这还需要教师采用学生易于接受的方式来合理安排教学内容的顺序。笔者在教学中发现:将上述四个内容按照“3421”的教课顺序, 会收到事半功倍的教学效果, 具体操作过程如下。

1.先不必拘泥于严谨的细节, 选取“复变函数”与“数学分析”两门课程中相似的概念———“函数、极限、微分、泰勒级数”, 通过对比它们在两门课程中的异同, 用学生可以理解的方式讲出“复变函数”课程中这些概念的优点, 这样不仅复习了“数学分析”的内容又引入了新的知识, 可以充分引起学生们的亲切感和好奇心, 消除学生对课程的疑虑和畏惧, 调动学生愿意主动探究的学习兴趣。

2.比照教材目录, 将“复变函数”的课程内容简明地概述给学生, 指出课程的重点和难点, 同时指出哪些章节要略讲, 哪些章节要详细讲, 这样就可以让学生对复变函数有一个总体的认识, 树立学习此课程的信心。

3.讲清楚授课的路线是沿着:函数—极限—连续—导数—积分—级数这一条主线来进行的, 与“数学分析”中微积分的讲解类似, 只不过将研究对象从“数学分析”中的实变函数换成复变函数。告诉学生:对于与“数学分析”中类似的内容简单讲过, 会多花时间讲授两门课程不同的性质。

4.建议学生采用结合“数学分析”与“复变函数”的异同, 进行比较学习的方法, 一边复习旧知识一边学习新知识, 这对于学生在学习“复变函数”的同时又深入理解“数学分析”是非常有利的, 而且还可以培养学生理解不同数学课程之间的联系与区别, 加强数学知识的连贯性, 为今后学习后续专业课打下基础。

5.简短介绍复变函数论的产生历史和广泛应用:复变函数论产生于18世纪, 就像微积分的直接扩展统治了18世纪的数学那样, 复变函数这个新的分支统治了19世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支, 并且称为这个世纪的数学享受, 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。复变函数论的应用很广泛, 有很多复杂的计算都是用它来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候, 就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题等。

三、“函数、极限、微分、泰勒级数”在两门课程中的对比分析

下面我们来探讨关于对比分析“复变函数”与“数学分析”两门课程中相似的概念———“函数、极限、微分、泰勒级数”的具体细节。

1.这两门课程中讨论的函数是不同的, 图像表述也尤为不同。“数学分析”中讨论的一元函数y=f (x) 是实变函数, 其自变量x和因变量y都是实数, 因此, 实数和数轴是研究实变函数的基础, 此时函数的图像可以画在同一个平面直角坐标系中;而复变函数w=f (z) 的自变量z和因变量w都是复数, 因此, 复数和平面点集是研究复变函数的基础, 此时若想描述复变函数的图像, 则需要两个平面直角坐标系分别表示自变量z和因变量w的变化。

2.极限和导数的定义形式是相同的, 但内涵已经完全不用。利用函数在一点处导数的定义, 同时剖析“复变函数”与“数学分析”中极限概念和导数概念的异同。“数学分析”中定义在区间[a, b]上的实函数y=f (x) 在点c∈[a, b]处的导数定义为:, 其中只考虑自变量x从点c的左右两个方向沿着实轴这一直线逼近, 当左右极限都存在且相等时, 我们称函数y=f (x) 在点处可微分。复变函数w=f (z) 在平面区域上点处的导数定义在形式上和一元实函数的导数是类似的:, 但是自变量z趋于点z0的方向不在仅局限于左右两个方向, 而且趋近的路径也不局限于直线, 还可以是任意形状的曲线。通过上述两个导数定义的比较, 可以看出复变函数的导数的定义条件要比数学分析中严苛许多。由于条件的强弱不同, 就会带来性质上的天壤之别。

3.在无穷可微性方面, “复变函数”与“数学分析”有着惊人的区别。在“数学分析”中, 若函数y=f (x) 在一点c处可微, 我们只能推出其导函数在点c是存在的, 而我们无法确定其导函数在点c处是否连续, 更无法确定其导函数在点c处是否仍可微。而对于复变函数w=f (z) , 若其在点z0处一次可微就可以推断其导函数在点z0处仍然可微, 若重复下去, 就可以推出复变函数w=f (z) 点z0处无穷次可微, 即任意阶导数都存在, 这个性质明显比“数学分析”中要惊人的好。

综合上述讲解, 已经可以让学生对“复变函数”中最重要的极限和微分概念有了直观的认识, 它会一直存在于学生的记忆, 进而成为学生探究式学习“复变函数”课程的动力。

四、总结

笔者针对学生有了前期的“数学分析”课程的学习后, 对“复变函数”课程有可能存在各种学习问题, 剖析了教师在“复变函数”课程教学中应该注意的教学环节环节, 探讨了第一次课的教学内容的有效选择和安排, 并以实际经验展示了第一节课上如何进行“函数、极限、微分、泰勒级数”在两门课程中的对比分析。

摘要：本文针对学生在学习了“数学分析”课程之后, 对“复变函数”课程有可能存在的迫切、畏惧或忽视等问题, 探讨了在“复变函数”课程教学中应该注意的三个环节, 并探讨了第一次课的教学内容的有效选择和安排。

关键词：数学专业,复变函数,数学分析,教学探讨

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论[M].第三版.北京:高等教育出版社, 2000

[2]余家荣.复变函数[M].第三版.北京:高等教育出版社.

[3]方企勤.复变函数教程[M].北京大学出版社.

[4]张南岳, 陈怀惠.复变函数论选讲[M].北京大学出版社, 1985.

6.复变函数在物理方面的应用 篇六

【关键词】保角变换  解析函数  反三角变换  电容器

1  引言

在19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西，德国数学家黎曼和魏尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学，解析数论，微分方程，概率统计，计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学和电学等方面也有很多应用，20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理，随着社会越来越快的发展，一些精高技术与复变函数有了很大的联系，比如：解决如何把截面为两平行圆柱变为两平行板，从而研究两平行圆柱单位长度的电容，电势的问题.了解复变函数与实际生活中物体的用途有很重要的意义，从以下几个方面谈论复变函数在物理方面的应用.

2  结合复变函数对非平行板电容器进行了分析

从电动力学出发，结合复变函数对平行板电容器进行了分析，找到非平行板电容器电容的一种算法，并通过实例分析了他们在实际中的应用.

设函数为复变函数.取对数函数为复变函数，

，令代入上式有：    .

比较得，.

当为常数时，平面上为平行于纵轴的的直线族，而在平面，常数的同心圆（弧）族.

当常数时，在平面上为平行于横轴的，直线族，在z平面上为=常数的径向直线族.

可以确定边界条件：

，; ， .

，; ，.

为负电极板与X轴夹角，为正电极板与X轴夹角，-.

（设非平行板电容器板长为，宽为，板间电压为，量为极板间延长交于，夹角

为，两板间窄端和宽端到原点距分别为，.，板间距为）.

由边界条件：作平面图所示：

由保角变换，原电容器成为与横轴，纵轴平行的平行板电容器.

求得板间距为：，板宽.

板面积为：.

电容器==.           （1）

例 设非平行板电容器的极板=0.8，极板宽=0.2，=，=0.4，=0.8，极板的带电量=4.910C，求此电容的电容.

解  由（1）式 此电容器的电容

C==.

（1） 式是针对一般情况下的非平行板电容器推出的计算电容的公式，在应用中要注意其是否满足条件.

3 计算两平行圆柱的电容，电势

已经把平面平行圆柱的横截面变换成平面上是平行板的横截面，则根据图（2）可视为平行板电容器问题处理.平面上，细和粗的两平行圆柱所带的单位长度电量为和-之间的电压为，同样，在平面上所带电量和电压也是不变的，其电容值比变，进而，也可以计算出平面上截面为细和粗的两平行圆柱的电势，用平行电容器电容公式，可求出平面上（图2）平行板电容器每单位长度电容值为

=

有（8）式     ;.      （2）

;.                        （3）

由（2）式和（3）分别消去和，得出对平行板电容器每单位长度带电量为（变换前后电量不变）的图2来说，可利用静电长的高斯定理計算其电场强度为，选带负电极板的电势为0.

两极板间的电势差与变换前的电势差（电压）相同，为了计算半径不同的两平行圆柱的电势，任选图2中处（两极板之间）则是对应平面上的第个圆柱面（环），其半径为，从图

2来分析电势，并考虑与电场强度的关系得：

=.

4  解析函数在流体力学中的应用

设在区域内有一无源，漏的无旋流动，从以上的讨论，即知其对应的复速度为解析函数，我们称函数.

对于无源，漏的无旋流动，复势总是存在的.令为某一流动的复势，我们称为所述流动的势函数.称 （为实常数）为势线，称为所流动的流函数，称 （为实常数）为流线.

因为   ，

所以   ， .

又因为 流线上点的速度方向与该点的切线方向一致，即该线的微分方程为：

 即.

而为调和函数，我们有 ， 于是 .

所以 是流线方程的积分曲线.

注  流线与势线在流速不为零的点处互相正交.

例 设复势为试确定流线，势线和速度

解  令则=

所以 势函数和流函数为      .

.

故势线及流线是互相正交的两族等势双曲线，在点的速度为：

=.

通过上面的讨论，我们知道，利用解析函数多电场进行研究是十分理想的，它可将对电场的电位和电通的研究联系起来，克服了分别研究的复杂手续，而且使问题得到简化.但找出这样的解析函数是极不容易的.因此，一般是将问题反转过来，不是根据电场去找解析函数，而是先研究一些不同的解析函数，找出它们所表示的电场图形，再由这些电场的图形，推出带电导体的形状.

【参考文献】

[1]梁困淼.数学物理方法[M].第三版.北京：高等教育出版社，

1998：426-444

[2]游荣义.椭圆柱形电容器电容[J].大学物理， 2001，20（12）：

26-27

[3]孙清华，孙昊.复变函数内容，方法与技巧.武汉：华中科技大学出版社，2003

[4]肖红.实验物理教程[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1998：243-249

7.复变函数与数学分析的比较 篇七

1 注重教师形象强调学习意义

第一堂课上课一定要注意老师自身的形象,注重仪表让学生觉得你是一位有品位的教师。老师的一言一行,穿着打扮都会在学生的心目中留下深刻印象,学生渴望从教师身上学到一切有用的知识。你想在学生心目中留下一个怎样的形象最好就在第一堂课中给学生这种印象。给学生上第一堂课要做到亲切友好,易于接近,不要让学生对你敬而远之,要建立良好的师生关系。因为只有亲其师才能信其道。

第一堂课应该强调学习复变函数[1]与积分变换的意义。当我们发现知识对我们的意义时,学得最好。讲一些本课程的来龙去脉,复变函数与积分变换[2]以高等数学为先修课,一些专业课程,例如,电磁场与电磁波，电路,自动控制,信号系统等,在本课程后开设,它为某些专业课提供必备的数学理论与数学基础。高等数学的主要内容是实函数的微积分,复变函数实际上是将微积分推广到复数域上,研究的内容基本和微积分类似,微分、积分、级数等,几何理论等等,复函数有很多性质和实函数性质类似,但也有很多是本质的不同,学习复变函数要注意复变函数和实变函数的区别和联系,抓住这些就更容易学好这门课。复变函数与积分变换是一门内容丰富、应用广泛的数学学科,它的建立和发展与解决实际问题的需要联系密切,其理论与方法被广泛应用在自然科学的许多领域,是机械、电子工程、控制工程,理论物理与流体力学,弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少的数学工具。让学生对学习这门课程有个总体的规划。熟悉学时分配及基本要求,准备适当的参考书。

2 明确教学目的抓好趣味教学

教学首要目的便是培养、激发学生对本门课程学习的兴趣。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候,就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题,他在运用复变函数论解决流体力学和航天力学方面的问题上也做出了贡献。在教学过程中不失时机地向学生介绍相关数学家的人物传记。比如:拉普拉斯变换,介绍拉普拉斯[3](Pierre-Simon Laplace,1749-1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家,法国科学院院士。拉普拉斯曾任拿破仑的老师,所以和拿破仑结下不解之缘。拉普拉斯和当时的拉格朗日(Lagrange)、勒让德(Legendre)并称为法国的3L,不愧为十九世纪初数学界的巨擘泰斗。另外,著名的欧拉公式eix=cosx+isinx,它指出了三角函数与指数函数间的联系,非常值得学习。由此,引导学生自发查阅其他数学家故事,自觉学习数学家的品质,激发学生学习兴趣。只有学得有趣,才会产生学习的欲望,主动去学,才能学得好。

3 学习方法指导师生共同进步

对于大二学生,有一定的自学能力。但面对《复变函数与积分变换》这门课程,课时少,内容广泛,枯燥。师姐师兄的学习方法值得借鉴。老生常谈的五部曲非常有用,它们是:预习、听课、复习、作业、答疑。学习时抓住复变函数和高等数学的异同点。教师强调以后学习中会抓好章节复习课的教学,让学生有准备。经验告诉我们,课后复习温故知新,学完每1-2个章节应及时做好小结。学生归纳出重点、疑点、易错点。可借助计算机教学,省时、直观。进一步提炼数学方法,有的一题多解。如类比法:在复变函数以“解析函数”为中心,类比高等数学中“函数的导数”概念,“复变函数的积分”类比“高等数学的积分学”,“泰勒级数”与“洛朗级数”对比,“Fourier变换”与“Laplace变换”性质,简单应用对比。让学生回头看学过的东西,简单明了。

另外,适当开设讨论课,让学生提前准备。如“幂级数”学完后,“洛朗级数”开设对比讨论课。复变函数与积分变换的教学虽然课时少,但适当加强讨论课的教学以培养学生的自主学习能力很必要,拿出部分内容让学生走上讲台,让学生开始实现从“听众”到“演员”的角色转换,体现学生在学习中主体地位,同时培养了学生分析问题,运用所学的知识解决问题的能力,从而提高学生的素质。

总而言之,我们要尽量让课堂教学的形式多样,可以制作精美的课件,只要我们有这份认真对待工作的热情,我们就一定会认真上好以后的每一堂课的。《复变函数与积分变换》的教学是一门综合教学技能,更是一门艺术,如何提高其教学成效,培养学生的学习能力,还需要我们认真研究和不断探索。

摘要：本文从三个方面给出了《复变函数与积分变换》的教学的实践探索,有利于教学。

关键词：复变函数,积分变换,教学,实践

参考文献

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].4版.高等教育出版社.

[2]张元林.积分变换[M].4版.高等教育出版社.2003.

8.复变函数与数学分析的比较 篇八

目前《复变函数与积分变换》的教学大都以教师、课堂、课本为中心, 在教学中沿袭着讲—听—考的教学模式。 在这种传统的教育模式下, 学生在学习上往往采用了背例题, 封闭记忆性的学习方法, 无法体会该课程的用途, 不能适应新世纪对人才培养模式的要求。

究其原因, 有以下三点:第一, 侧重数学理论。在《复变函数与积分变换》有限的学时中, 课堂上一般以数学系统理论知识为主, 应用性知识为辅, 其学时比例大约为5:1。 第二, 与专业课脱节。 作为一门专业基础课, 《复变函数与积分变换》的教学内容并没有与专业课产生紧密的联系。第三, 教学效果有待提高数学的教学以板书为主, 虽然容易引导学生思路, 但是方式较死板, 属于灌输式教育, 使得学生感觉枯燥无味, 教学效果不能达到预期。

2 《复变函数与积分变换》课程要解决的问题

2.1更新教学内容, 设定科学明确的教学目标

教师应该使学生在学习和掌握该课程的基本理论与方法的基础上, 对后继课程的学习要有所帮助;故教师的教学不能仅以学生学到知识为目标, 还要使学生在学法上得到某种启示, 将核心放在思路、方法、能力的培养上, 将教学课程变成一种研究创造的课程, 不是简单的传输, 要鼓励学生积极主动地参与教学活动, 使他们了解该课程在现代工业领域的实际应用情况, 培养学生一定的实践能力和创新能力。

2.2优化教学过程

(1) 加强与《高等数学 》的衔接性

《复变函数 》是 《高等数学 》的后继课程, 是高等数学的继续和发展, 傅里叶变换也是在傅里叶级数基础上的继续, 因此《复变函数与积分变换》和《高等数学》有着千丝万缕的联系, 搞好与高数相关知识的衔接不仅有利于学好复变函数与积分变换自身的内容, 更有利于深化掌握高等数学的知识。 高数中的相应概念只是推广后的一种特殊情况, 它们之间既有区别又有联系, 必须弄清这种区别和联系。

(2) 与专业相结合, 实现学以致用

对于非数学专业的学生, 适当减少理论性较强的推导和证明, 强调概念的产生过程所蕴含的思想方法; 在积分变换内容的讲解过程中, 结合专业后续课程介绍一些与其专业相关联的背景分析与方法运用, 使得内容生动有趣。 其次, 提倡多样化的教学方式, 注重多种教学方法的选择与综合运用。

2.3重建教学评价体系

第一, 运用类比法, 采用启发式教学。

复变函数的内容安排与高等数学的安排有相似之处, 都包含连续、微分、积分、级数这几部分, 在第一节课就要让学生了解到该门课是把高数中的连续、微分、积分、级数等理论拓广到复变函数情形, 在接下来章节教学过程中让学生找到复变函数与高等数学中的有相同名称的概念, 让他们发现这些概念的区别与联系, 这样整个教学过程中都是在比较中回顾旧知识, 同时也在比较中学习新知识, 每一个环节总是在启发学生主动思考, 逐步培养同学们的类比思维方法。

第二, 增加互动环节, 培养发散思维。

作为教师可以以课堂讨论、提问的方式引导学生对所学知识进行概括与总结, 让学生将知识经过自己头脑的分析, 综合变成自己可以运用自如的知识体系, 让学生从不同角度总结归纳。 习题课上多使用一题多解, 启发学生对于一个问题从多个角度思考, 举一反三, 触类旁通。

第三, 理论联系实际, 培养学生的应用创造能力。

由于复变函数与积分变换在工科中应用的广泛性, 教会学生如何使用该门课程的知识解决实际问题, 培养应用性人才又是一个重要的环节。 在具体的教学中, 可根据专业需要, 采用案例式教学, 给出实际问题、分析问题, 让学生参与到整个过程中来, 这样学生可进一步的将理论联系实际, 把积分变换作为工具应用在各自专业领域解决实际问题。教师在平时的教学中也可向学生介绍一些本课程较前沿的应用成果, 或者积极鼓励学生参与科研项目, 多渠道加强师生交流, 让他们接触新的东西, 了解科学前沿, 培养他们在专业领域的远大抱负。

第四, 教师与学生共同学习, 采用多种手段提高课堂教学效率。

运用多媒体辅助手段, 选择较成熟的数学软件 (如Matlab) , 通过计算机动画模拟、图形显示、声像处理及文字说明等方式向学生展现一个图文并茂、数形结合的形象、直观的教学环境、从而扩大课堂的信息量, 有效地刺激学生的形象思维。 如用计算机直观演示常用工程函数的拉氏变换等, 加深学生对拉氏变换概念的理解及方法的应用。

第五, 改革考核方式, 实现多维评价。

该课程的传统考核方式比较单一, 通常采用闭卷考试。 这种考核方式常常引起学生死记硬背, 考完容易遗忘等现象, 对培养学生的创新能力极为不利。 教师在第一节课应该严明纪律, 使考核贯穿在整个教学过程中来, 平时的教学中增加一些评分标准, 比如课堂提问、不定期的课堂练习、撰写课程小论文、课程笔记的系统性与完整性等, 将这些作为每位学生的平时成绩, 从而将教学目的与考核结果有机地结合起来。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2013.

[2]殷志祥等.高等数学[M].合肥:中国科学技术大学出版社, 2012.

[3]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京:高等教育出版社, 2013.

9.《复变函数论》课程的教学实践 篇九

一、教材内容的处理

《复变函数论》这门课现行使用的教材有许多教学内容与中学教学内容重复(例如：复数的概念、复数的表示方法、复数的四则运算等)，对于这些内容可安排学生自学，补讲一些在中学数学中实际应用的内容，例如利用复数理论证明几何问题，使学生牢固地掌握作为中学数学教师所必备的关于复变函数的基本理论和基本技能，毕业后对所学知识能得心应手地运用。教材中还有些内容与数学分析相近(例如：极限、连续、导数和级数等)，教师应通过类比数学分析讲复数理论、复变函数的微积分理论、删去多值函数和支点等一些复杂问题，增加绪论内容，结合数学史阐述清楚复变函数论的形成过程、研究的对象、基本思想方法及其在近现代科学发展中的地位和作用，介绍这门学科现在科研的前沿，使学生对这门课的学习有较好的认识和学好的思想准备。

二、灵活运用教学方法

（一）利用类比方法教学。

复变函数就是自变量为复数的函数，复变函数论在众多的数学分支中属于函数论，它所研究的主要对象是在某种意义下可导的复变函数———解析函数。我们在《复变函数》教材中讨论的是单复变函数的理论，因此《复变函数》是《数学分析》中一元实变函数的推广又称为复分析。《复变函数》作为《数学分析》在复数域的延拓，在知识结构、理论体系、研究方法等方面，二者都紧密相关。因此，在教学过程中我们要注重利用类比方法教学。

所谓类比法，是指通过对两个对象类似之处的比较，由以往获得的知识引出新的猜测的方法。人们通常所说的“举一反三”、“由此及彼”就是类比方法。类比方法是一种创造性的思维方法，在教学中，类比的过程是培养学生创造性思维的过程。

复变函数论的许多概念和定理(例如:函数及其极限、连续、导数、积分、级数等概念)，与数学分析中的概念和定理相类似。因此，在教学中我们应首先抓住这些概念或定理进行新、旧之间的比较。

1. 极限概念的类比

实分析和复分析都是用极限的方法去研究函数的分析性质。极限概念是实分析和复分析中的一个十分重要的基本概念，掌握好极限的概念是学好复变函数论的基础。学生应正确理解并熟练掌握极限概念的有关内容，利用实分析与复分析的相似及相异点，紧紧抓住实一元函数和实二元函数的极限概念进行对比。教师在对比中讲述，学生在对比中思考，能获得事半功倍的效果。

复变函数极限的概念，形式上和数学分析中一元函数极限的概念相同，即limf (x)=A或(x→x0, x∈D);limf (z)=A或f (z)→A (Z→Z0, z∈G)。给出定义以后，我们可根据实数函数极限的性质引导学生猜测出复变函数极限的一些性质，再去验证，通过类比使学生掌握它们之间的相似之处，获取新知识，然后指出它们的本质不同之处。在复变函数极限概念中，Z→Z0时关于路径的要求比x→x0时关于路径的要求苛刻得多，前者Z→Z0要求z在复平面上沿任何方向或任何曲线趋向于z0，而x只能沿实数轴从x0左右两边趋于，可见Z→Z0与x→x0趋近的方式是有差别的。

再与实二元函数极限定义类比。一个复数z=x+iy本质上由一对有序实数(x, y)唯一确定，即z=x+iy圳R2空间的有序实数对(x, y)，而有序实数对(x, y)圳坐标平面上的点p (x, y)，因此复数z=x+iy圳坐标平面上的点p (x, y)。这样学生会将复数z、R2中的有序实数对(x, y)、坐标平面上的点p (x, y)视为同义语，把复数集、平面点集、二维空间R2的子集看成一回事。

由z圮(x, y)，复变函数f (z)可看成关于x和y的函数，其极限定义可与实二元函数的极限定义比较，而实二元函数又是在多元微分学中讲过，学生较为熟悉，这样进行比较，可加深学生对复变函数极限念的进一步认识和理解。

通过比较，可以发现复变函数的极限定义与实二元函数极限定义相似成分较之实一元函数要多一些，似乎完全相似，不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数，复变函数的极限存在与否取决于两个实二元函数极限的存在与否。两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在。

2. 导数概念的类比

在微分学中，对一元函数的导数是这样定义的：设函数y=f (x)在点x0的某一邻域内有定义(包括x0点)，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应的，函数有增量，Δy=f (x0+Δx)-f (x0)，当Δx→0时，比值的极限存在，称此极限为函数y=(x)在x0处的导数，记为f′(x0)。复变函数的导数定义为：设函数w=f (z)在区域D内有定义，给自变量z∈D以增量Δz=Δx+iΔy，相应的，函数有增量Δw=f (z+Δz)-f (z)，如果当Δz以任何方式趋近于零时，比值的极限存在，称此极限为函数f (z)在点z的导数，记为f′(z)。在讲解时，注意新旧知识的对比，这样，既复习了旧知识，又为顺利接受新知识打开了大门。

（二）激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性。

把一些抽象的概念形象化，举出实例来刺激学生的学习兴趣。例如：单连域、多连域的概念：一个区域B，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B，就称为单连域。一个区域如果不是单连域就称为多连域。为了帮助学生理解这两个抽象的概念，可以举一个这样的例子：单连域好比一张完整无缺的报纸，而多连域则好比是这张报纸被剪了若干个洞。这样，学生会很轻松地理解这两个概念。

在课堂教学中教师可结合所授内容特点介绍一些数学史。数学理论的演变过程是一个让人很感兴趣的历史，从中可以再现数学大师们的思考问题的方式，看到他们是如何探索真理的，从而启发学生怎样去思考问题。

（三）培养学生自学的能力。

《复变函数》作为《数学分析》在复数域的延拓，在知识结构、理论体系、研究方法等方面，二者都紧密相关。学生经过《数学分析》的完整学习，方可具备相当扎实的函数论知识，并具备一定的自学能力。因此，依据自主探索学习的基本理论，结合目前的教学现状，在复变函数教学中教师可适合安排一定的教学内容让学生进行自主探索学习，以便收到更好的教学效果，同时也便于不断提高学生自主探究、自我建构知识的能力。例如，“复数”这节的内容大部分学生在中学阶段都学过，“复平面上的点集”的内容与数学分析中平面点集的内容几乎是一样的，再讲这些内容，既浪费时间，学生听起来也不会感兴趣。如果让学生自学，然后教师提出一些问题让学生去讨论，去思考，他们会更集中精力去钻研，从而收到更好的学习效果，并不断地提高自学能力。

在课堂上我们应坚持“教师是主导，学生是主体”的教学原则，让学生在教师帮助下逐渐消化、理解知识，引导学生对所学知识进行概括与总结，培养学生驾驭知识的能力，让学生将知识不断地经过自己头脑的分析、综合变成自己可以运用自如的知识体系。教师可以利用章节的小结、习题课等形式训练学生对同一问题从不同的路径和方向去思考，多角度多方向去观察，尽量探索出多种解法，让学生变“被动学习”为“主动学习”，从而掌握学习的主动性，并逐步培养学生一定的自学能力和提出问题、分析问题、解决问题的综合能力。

三、努力提高教学质量

复变函数的教学过程是一个不断摸索的开发过程，教师需要具备扎实的专业知识背景，在此基础上教学手段的多样化，教学内容的兴趣化，以及教学器材的现代化都是提高教学效果的手段。只有充分调动教师的聪明才智、调动广大学生的积极性和创造性，才能够取得更好的教学效果。

教学中教师应注意把教书和育人融为一体。教师首先要以身作则，为人师表，在教学中认真处理好每一个问题，认真回答学生提出的每一个问题，在把握好接受性的原则下，对疑难问题不回避，以严谨治学的精神影响学生，培养学生勤奋读书、刻苦钻研、理论联系实际、求实严谨的学风。其次对学生要严格要求，对于学生在学习中暴露出的一些不正确思想和做法，要及时指出，正确引导，把学生的注意力和精力引导到学习功课上来。只要能充分调动学生的学习积极性，任何学习上的困难都可以克服，复变函数的教学质量就可以得到提高。

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数.北京.高等教育出版社.1984.3.

[2]姜淑珍.关于复变函数论教学方法的思考[J].长春师范学院学报, 2004, (2) .

[3]姜涛.改革高师数学教育培养创新人才[J].数学教育学报, 2000, (1) .