函数的单调性(教案)（14篇）
1.函数的单调性(教案) 篇一
函数的单调性，函数的奇偶性，反函数
[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。
(1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1 (2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式； (3)判断f(x1)-f(x2)的正、负； (4)结论 理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。 (1)函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。 (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。 f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。 由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。 (3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。 (4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。 (5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。 (6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。 即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)= [f(x)+f(-x)]。 理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。 (1)由原函数y=f(x)求出它的值域； (2)由原函数y=f(x)反解出x=f- 1(y)； (3)交换x，y改写成y=f-1(x)； (4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。 [例题分析] 例1．证明函数f(x)= 在定义域上的单调性。 [分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。 函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1 任取x1 == 当-∞ ∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。 当0≤x1 >0。 ∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。 例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。 [分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1 由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+ =[f(x1)-f(x2)]·[1-] ∵ 0≤x1 ∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。 例3．证明函数f(x)=的奇偶性。 [分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。 由 函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。 ∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)= =-f(x)，∴ f(x)是奇函数。 例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明 f(x)的奇偶性。 [分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。 令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。 例5．已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。 (1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1)上的单调性。 [分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即 =-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。 ∵ f(2)＜3，∴<3。将2b=a+1代入，∴ <3，解出-1 (2)f(x)==x+。任取0 f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-) ∵ 0 例6．证明函数f(x)= (x≠)的图象关于直线y=x对称。 [分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。 ∴ f(x)的值域为{y|y≠，y∈R}。 由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。 ∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)= (x≠)，显然f(x)与f-1(x)是同一函数，所求f(x)的图象关于直线y=x对称。 [参考练习] 1．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。 A、增函数且是奇函数 B、增函数且是偶函数 C、减函数且是奇函数 D、减函数且是偶函数 2．已知y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是（）。 A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2) 3．若点(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（）。 A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7 4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（）。 A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0 5．设f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数且是单调减函数，求解关于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。 [参考答案]： 1.A 2.D 3.D 4.D 5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函数，∴ f(1-x) {x|0 在这部分内容中主要应该掌握以下几点: 1. 增函数与减函数的定义 定义:对于函数f (x) 的定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2。 (1) 若当x1<x2时, 都有f (x1) <f (x2) , 则说明f (x) 在这个区间上是增函数。 (如图1) (2) 若当x1<x2时, 都有f (x1) >f (x2) , 则说明f (x) 在这个区间上是减函数。 说明: (1) 增函数描述的是f (x) 随x的增大而增大, 函数图象从左到右是呈上升的;减函数描述的是f (x) 随x的增大而减少, 函数图象从左到右是呈下降的。 (3) 增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值、较小的自变量对应较小的函数值。即“大对大、小对小”;减函数在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值、较小的自变量对应较大的函数值。即“大对小、小对大”。 2. 单调性与单调区间 若函数y=f (x) 在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数y=f (x) 在这一区间具有 (严格的) 单调性, 这一区间叫做函数y=f (x) 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上, 增函数的图象从左到右是上升的, 减函数的图象从左到右是下降的。 说明: (1) 函数的单调区间是其定义域的子集; (2) 应是该区间内任意的两个实数, 忽略需要任意取值这个条件, 就不能保证函数是增函数 (或减函数) , 例如图2中, 在x1, x2, 那样的特定位置上, 虽然使得f (x1) <f (x2) , 但显然此图象表示的函数不是一个单调函数; (3) 除了严格单调函数外, 还有不严格单调函数, 它的定义类似上述的定义, 只要将上述定义中的“f (x1) <f (x2) 或f (x1) >f (x2) ”改为“f (x1) ≤f (x2) 或f (x1) ≥f (x2) ”即可; (4) 定义的内涵与外延:内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况;外延: (1) 一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增, 自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减。 (2) 几何特征:在自变量取值区间上, 若单调函数的函数图象从左到右上升, 则为增函数, 函数图象从左到右下降则为减函数。 函数的单调性是对某个区间而言的, 对于单独的一点, 由于它的函数值是唯一确定的常数, 因而没有增减变化, 所以不存在单调性问题;另外, 中学阶段研究的函数, 对于闭区间内的任意值都有意义, 那么只要在开区间上单调, 它在闭区间上也就单调, 因此, 在考虑它的单调区间时, 包括不包括端点都可以;但若的取值函数无意义时, 则单调区间不包括该点。 3. 单调性的证明 根据定义证明函数单调性的一般步骤是: (1) 设x1, x2是给定区间内的任意两个值, 且x1<x2; (2) 作差f (x1) -f (x2) , 并将此差式变形 (要注意变形的程度) ; (3) 判断f (x1) -f (x2) 的正负 (要注意说理的充分性) ; (4) 根据f (x1) -f (x2) 的符号确定其增减性。 4. 复合函数的单调性 复合函数单调性的根据是:设y=f (u) , u=g (x) , x∈[a, b], u∈[m, n]都是单调函数, 则y=f[g (x) ]在[a, b]上也是单调函数。 (1) 若y=f (u) 是[m, n]上的增函数, 则y=f[g (x) ]的增减性与u=g (x) 的增减性相同; (2) 若y=f (u) 是[m, n]上的减函数, 则y=f[g (x) ]的增减性与u=g (x) 的增减性相反。 复合函数单调性的规律见下表: 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型： 例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( ) (A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞) 解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0， ∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数， ∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a•0>0g(1)=2-a•1>0 ，解得a<2，∴1 二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型： 例2讨论函数y=㏑(x2－4x+3)的单调性 解：令y= ㏑u，u= x2－4x+3，由x2－4x+3>0知函数的定义域为x＜1或x＞3 因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数， 在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知， 函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。 例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。 解：函数定义域为R。 令u=x2-4x+3，y=0.8u。 指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数， u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数， ∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。 三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型： 例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( ) (A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2] 解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增， 在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数， 根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得 2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) . 例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。 解：显然函数定义域为(0，+∞)。 令 u=log2x，y=u2+u ∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数， y=u2+u在(-∞， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数(注意(-∞， ]及 [ ，+∞)是u的取值范围) 因为u≤log2x≤ ，0＜x≤ ，(u≥ log2x≥ x≥ ) 所以y=(log2x)2+log2x在(0， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数。 四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型： 例6已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) () (A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数； (C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数. 解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则 (1) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈(-∞，1]上是增函数，与u=2-x2具有相同的增减性， 由2-x2≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈(-∞，-1]上是增函数， u在x∈[1,+∞)上是减函数， ∴g(x)在区间(-∞，-1]上是增函数, 在区间[1，+∞)上是减函数. (2) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈[1,+∞)上是减函数，与u=2-x2具有相反的增减性， 由2-x2≥1得 -1≤x≤1，而u=2-x2在x∈ [-1,0] 上是增函数， 在x∈(0， 1]上是减函数， ∴g(x) =-(u-1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1]上是增函数. 教学目标 1。了解函数的单调性和奇偶性的概念，把握有关证实和判定的基本方法。 (1)了解并区分增函数，减函数，单调性，单调区间，奇函数，偶函数等概念。 (2)能从数和形两个角度熟悉单调性和奇偶性。 (3)能借助图象判定一些函数的单调性，能利用定义证实某些函数的单调性;能用定义判定某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程。 2。通过函数单调性的证实，提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察，归纳，抽象的能力，同时渗透数形结合，从非凡到一般的数学思想。 3。通过对函数单调性和奇偶性的理论研究，增学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学，严谨的研究态度。 教学建议 一、知识结构 (1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系。 (2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像。 二、重点难点分析 (1)本节教学的重点是函数的单调性，奇偶性概念的形成与熟悉。教学的.难点是领悟函数单调性， 奇偶性的本质，把握单调性的证实。 (2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证实是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证实，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证实自然就是教学中的难点。 三、教法建议 (1)函数单调性概念引入时，可以先从学生熟悉的一次函数，，二次函数。反比例函数图象出发，回忆图象的增减性，从这点感性熟悉出发，通过问题逐步向抽象的定义靠拢。如可以设计这样的问题：图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度，也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释，引导学生发现自变量与函数值的的变化规律，再把这种规律用数学语言表示出来。在这个过程中对一些关键的词语(某个区间，任意，都有)的理解与必要性的熟悉就可以融入其中，将概念的形成与熟悉结合起来。 (2)函数单调性证实的步骤是严格规定的，要让学生按照步骤去做，就必须让他们明确每一步的必要性，每一步的目的，非凡是在第三步变形时，让学生明确变换的目标，到什么程度就可以断号，在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准，以便帮助学生总结规律。 体验回顾 ： 1. 函数 满足 对任意定义域中的x1, x2成立，则实数a的取值范围是_______________； 2.设函数 ，若对于任意 ， 不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 经典训练 ： 【题型一】解抽象函数不等式问题 例1：定义在实数集 上的偶函数 在区间 上是单调增函数，若 ，则 的取值范围是______． 练习：设 是定义在（ 上的增函数，且满足 ．若 ，且 ，求实数 的取值范围． 练习：函数 是定义在 上的奇函数，且为增函数，若 ，求实数a的范围。 练习; 设 是定义在r上的奇函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 解析：因为 且 ，所以 ，又 ，所以 ，再由 可知， ．又因为 是定义在 上的增函数，从而有 ，解得： ．故所求实数 的取值范围为 ． 解： 定义域是 即 又 是奇函数 在 上是增函数 即 解之得 故a的取值范围是 【题型二】数列中的单调性 例2：数列 的通项 ，为了使不等式 对任意 恒成立的充要条件． 解：∵ ， 则 ， 欲使得题设中的不等式对任意 恒成立， 只须 的最小项 即可， 又因为 ， 即只须 且 ， 解得 ， 即 ，解得实数 应满足的关系为 且 ． 练习：数列 满足： ，记 ，若 对任意的 恒成立，则正整数 的最小值为 。10； 易得： ，令 ，而 ，为减数列， 所以： ，而 为正整数，所以 练习:设函数 数列 的通项 .满足 （1）.求数列 的通项公式. （2）.数列 有没有最小项. 课后作业： 1.定义在 ，且 ，若不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值范围 解：依题设 ,且 ,则 则 ( ) 所以 ,即 ,从而函数 在 单调递减 所以不等式 即 恒成立,又 ，从而 ，从而 ，又 ，所以 ，从而实数a的取值范围为 2. 已知 ，t是大于0的常数，且函数 的最小值为9，则t的值为 ．4 3.已知数列 是由正数组成的等差数列， 是其前 项的和，并且 . （1）求数列 的通项公式； （2）求使不等式 对一切 均成立的最大实数 ； （3）对每一个 ，在 与 之间插入 个 ，得到新数列 ，设 是数列 的前 项和，试问是否存在正整数 ，使 ？若存在求出 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）设 的公差为 ，由题意 ，且 ， 数列 的通项公式为 （2）由题意 对 均成立 记 则 ， ∴ ，∴ 随 增大而增大 ∴ 的最小值为 ∴ ，即 的最大值为 （3） ∴在数列 中， 及其前面所有项之和为 ，即 又 在数列 中的项数为： 且 ， 一．解答题（共40小题） 1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增． 3．证明f（x）= 在定义域为[0，+∞）内是增函数． 4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 第1页（共23页） 5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 7．证明：函数y= 在（﹣1，+∞）上是单调增函数． 8．求证：f（x）= 在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增． 9．用函数单调性的定义证明函数y= 在区间（0，+∞）上为减函数． 第2页（共23页） 10．已知函数f（x）=x+． （Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若 ＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围． 11．证明：函数f（x）= 在x∈（1，+∞）单调递减． 12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数． 13．判断并证明f（x）= 在（﹣1，+∞）上的单调性． 14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 第3页（共23页） 15．求函数f（x）=的单调增区间． 16．求证：函数f（x）=﹣ ﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数． 17．求函数的定义域． 18．求函数的定义域． 19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+ （2）f（x）+2f（）=3x． 20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 第4页（共23页） 21．求下列函数的解析式 （1）已知f（x+1）=x2求f（x） （2）已知f（）=x，求f（x） （3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x） （4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x） 22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 第5页（共23页） 23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）． 25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式． 27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． 第6页（共23页） 29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x） 31．求下列函数的解析式： （1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）； （2）已知f（）=，求f（x）． 32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式． 第7页（共23页） 35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式． 37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x） 38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式． 39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式． 40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0． 第8页（共23页） 第9页（共23页） 函数的单调性证明 参考答案与试题解析 一．解答题（共40小题） 1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 【解答】证明：设x1＜x2＜0，则： ； ∵x1＜x2＜0； ∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）； ∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数． 2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增． 【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+ =（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，设≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10页（共23页）），则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增． 3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数． 【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则： =∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）； ∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数． 4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣（= ； ； 因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数． 5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 【解答】解：设x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+ =（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11页（共23页） ∴x1﹣x2＜0，2+ ＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2） 因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数． 7．证明：函数y= 在（﹣1，+∞）上是单调增函数． =1﹣ 在在区间（﹣1，+∞），【解答】解：∵函数f（x）=可以设﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+= ∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0 ∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数； 8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增． 第12页（共23页） 【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增． 若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增． 即f（x）= 9．用函数单调性的定义证明函数y=【解答】解：∵函数y=可以设0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数； 10．已知函数f（x）=x+． （Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围． ﹣ = ＞0，在区间（0，+∞）上为减函数． 在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增． 在区间（0，+∞），【解答】（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，第13页（共23页） ∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4． 11．证明：函数f（x）= 在x∈（1，+∞）单调递减． 【解答】证明：设x1＞x2＞1，则： ； ∵x1＞x2＞1； ∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）； ∴f（x）在x∈（1，+∞）单调递减． 12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数． 【解答】证明：①在（0，1）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣ ；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣ ＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数． ②在[1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（） 第14页（共23页） =（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣ ＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函数． 13．判断并证明f（x）=【解答】解：f（x）=证明如下： 在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =，在（﹣1，+∞）上的单调性． 在（﹣1，+∞）上的单调递减． ∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）= 14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2 ∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）． 第15页（共23页） 在（﹣1，+∞）上的单调递减． ﹣x2﹣=（x1﹣x2）+ ﹣ =（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是单调减函数． 15．求函数f（x）=的单调增区间． =1﹣的单调递增区间为【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞） 故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞） 16．求证：函数f（x）=﹣ ﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数． 【解答】证明：设x1＜x2＜0，则： ； ∵x1＜x2＜0； ∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴； ∴f（x1）＜f（x2）； ∴f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数． 17．求函数的定义域． 【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5． 18．求函数的定义域． 第16页（共23页） 【解答】解：由故函数定义域为{x|x＜} ． 19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+ （2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+ =（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x． 20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得： 3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得： 5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+． 21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x） （3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x） 【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣ 第17页（共23页） 1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令 =t，求得 x=，∴f（t）=，∴f（x）= ． （3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣． （4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+ 22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，则2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣ 23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等号两边同时以代x，得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，∴函数f（x）的解析式：f（x）=x﹣ 24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）． 第18页（共23页） ②，． ． （x≠0）． 【解答】解：∵x＞0时，x+≥2且函数f（x+）=x2+（）2=设t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2； 即函数f（x）=x2﹣2（其中x≥2）． =2，﹣2； 25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，联立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣． 26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得： 2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得： 3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+． 27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣ 第19页（共23页），． 28．已知函数f（【解答】解：令t=则由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），x=（t﹣2）2． +2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1． ∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）． 29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x． f（x）的解析式：f（x）=4x． 30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，则4b=8，解得b=2，此时f（x）=3x+2，若a=﹣3，则﹣2b=8，解得b=﹣4，此时f（x）=3x﹣4． 31．求下列函数的解析式： （1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）． 【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，第20页（共23页） ∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），则x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）． 32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=则f（t）=4（）2﹣6• ； +5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9． 33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，则x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1． 34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：设f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）= x﹣． 第21页（共23页） 35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，设x+2=t，则x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15． 36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 则函数f（x）的解析式为f（x）=2x2+5x+6 37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得： 3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得： 5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x． 38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式． 【解答】解：设∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，则t≥1，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）． 39．若函数f（【解答】解：令）= +1，求函数f（x）的解析式． =t（t≠1），则=t﹣1，第22页（共23页） ∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）． 40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0． 【解答】解：（1）变形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x﹣3； （2）方程f（x+1）=0可化为（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化简可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2 第23页（共23页） 当0<a<1时, 在定义域 (-∞, +∞) 上单调递减; 当a>1时, 在定义域 (-∞, +∞) 上单调递增. 利用指数函数的单调性可以解决以下的典型问题. 1. 比较幂的大小 比较大小的常用方法: (1) 作差 (商) 法; (2) 函数单调性法; (3) 中间值法. 例1比较下列各组数的大小: 分析要先判断能够转化为哪类函数, 再结合函数的单调性来解决, 如果不能看成同一函数的两个值, 则可借助于中间量来比较. 解 (1) 因为函数y=1.7x在R上是单调递增函数, 且2.5<3, 所以1.72.5<1.73; (2) 因为指数函数y=0.8x在R上是单调递减函数, 且-0.1>-0.2, 所以0.8-0.1<0.8-0.2; (3) 由指数函数的性质得 2. 解指数方程或不等式 对于形如af (x) =ag (x) (a>0, a≠1) 及af (x) >ag (x) (a>0, a≠1) 等问题, 这类问题往往可以归纳为指数方程或指数不等式, 需要观察底数的范围, 结合指数函数的单调性来解题. (2) 解不等式ax2-5x>ax+7 (a>0, a≠1) . 分析 (1) 方程可以化为af (x) =ag (x) 的形式, 则底数相等, 指数也相等. (2) 可分为a>1与0<a<1两种情况分类讨论. 解 (1) 原方程可以化为 (2) 若当a>1时, ax2-5x>ax+7, 则x2-5x>x+7, 也即x2-6x-7>0, 得到x<-1或x>7; 若当0<a<1时, ax2-5x>ax+7, 则 综上, 当a>1时, 不等式的解集为 当0<a<1时, 不等式的解集为 关键词：高中数学；函数；单调性；难点；对策 函数的单调性是高中数学中基础的教学内容，其贯穿于整个高中数学教学中。学好函数的单调性才能够支撑学生学习更深层次的高中数学。 因此，提高函数单调性的教学质量是高中数学教师不得不正视的问题。基于此，本文在此浅谈高中数学函数的单调性的学习难点，并提出相应的应对策略，以期能为有关人士提供有益参考。 一、高中数学函数的单调性的学习难点 1.学生没有掌握数形结合的学习方法 数形结合是一种非常重要的数学学习方法，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 但大部分学生并没有这种习惯和意识，没有掌握数形结合的正确方法。而函数的单调性仅依靠学生的想象是难以理解的，没有这种正确的学习方法会极大地阻碍学生的学习。 2.对定义域的理解较为抽象 定义域作为函数中非常重要的一个组成部分，在函数单调性中的作用不可忽视。定义域往往决定了函数的单调性，但学生对定义域的理解较为抽象，没有深刻领悟到定义域的内涵和其对于函数单调性的重要作用。 例如，已知函数f（x2）的定义域为-1≤x≤1，求函数f（x）的定义域。在这种复合函数中，学生难以理解定义域，难以得到正确的答案，也就无法进一步确定函数的单调性。 二、高中数学函数的单调性学习难点的应对策略 1.养成学生画图的习惯 首先，教师要针对学生的数学学习方法进行重点突破，也就是要让学生学会数形结合的重要方法，养成看题画图、以形解题的习惯和意识，要培养学生将抽象的条件通过直观的图形表现出来，并以此为根据进行正确的分析。 在函数单调性的教学中，教师就要引导学生制作坐标轴，必须要将函数绘制在坐标系中，将各种限制条件如函数的定义域等等标注出来，再以此为背景进行解题。通过直观的坐标系学生对函数的分析更加透彻，也更容易通过观察得出函数的单调性，并且不容易遗忘定义域的限制，最终得出正确答案。 要养成学生画图的习惯关键就在于教师的引导，教师应该引导学生在读题的同时进行绘制，将题中的条件一一标注出来。通过不断地引导和培养，学生就能够在日后读题的时候养成数形结合的习惯和意识。 2.通过一定的练习提高学生的能力 要提高函数单调性的教学质量，单纯的书面讲解是绝对行不通的，特别是针对函数定义域这种难以理解的抽象知识，必须要通过一定的练习，让学生在练习中发现问题、解决问题和总结问题。 只有在反复练习的过程中，学生才能够逐步理解相关题型的解题技巧，并且对定义域这一类知识有更深的领悟。 教师需要注意的是，学生的练习并不是盲目的，必须要有目的性和针对性，不能将不同的题型混在一起，这样容易让学生思维混乱，进一步阻碍学生的学习。因此，教师必须做好引导工作，要为学生安排好练习的题目，最好是以专题训练的方式对学生的弱点进行集中练习。 另外，教师必须要重视课后总结，也就是要让学生在练习后总结和回顾，而不是一味的反复练习，只有通过不断总结，才可以不断提升，避免出现重复的问题并且对知识体系进行梳理和总结，达到巩固的效果。 总的来说，高中数学中函数的单调性是基础性的教学内容，其对于学生的难点就在于定义域这一类抽象的知识难以把握，而且学生没有掌握数形结合这种正确的学习方法。要提高学生学习函数单调性的效率就必须针对这两个难点，通过引导和练习的方式让学生养成使用数形结合方法的意识和习惯，并且得到解题技巧，在练习和总结中进步。 参考文献： 函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的.。 如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出： DQ(Q是函数的定义域)。 区间D上，对于函数f(x)，(任取值)x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)。或，x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) 函数图像一定是上升或下降的。 南京师大附中 陶维林 一、内容和内容解析 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如函数单调增表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法．这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是，引导学生对函数在区间（a，b）上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间（a，b）上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有 f（x2）＞f（x1）（或f（x2）＜f（x1）＝，则称函数f（x）在区间（a，b）上单调增（或单调减）． 二、目标和目标解析 本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）． 1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数； 2．能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质； 3．对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数：在区间上任意取x1，x2，设x1＜x2，作差f（x2）－ f（x1），然后判断这个差的正、负，从而证明函数在该区间上是增函数还是减函数． 三、教学问题诊断分析 学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验． “图象是上升的，函数是单调增的；图象是下降的，函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1，x2． 教学中，通过二次函数这个具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出单调增的说法．通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x的增大，y也增大”的特征．进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念． 企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的．在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念． 四、教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器绘制函数图象，同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征． 五、教学基本流程 六、教学过程设计 1．用好节前语，引出课题 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律，因此研究函数的性质十分必要．在事物变化过程，保持不变的特征就是这个事物的性质． 问题1 观察图1中各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？ 图1 设计意图：从形到数，借助对函数图象的观察，想象相应的函数的性质．引导单调函数的“直观定义”． 可能的回答是，第一个图中的函数图象，自左而右是上升的；第二个图中的函数图象，自左而右，有时是上升的有时是下降的；第三个图中的函数图象，自左而右也是有时上升有时下降的，而且是关于y轴对称的． 师：对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快与慢、增与减„„相应的，函数的特征就包含：函数的增与减，我们把函数的这种性质称为“单调性”． 教师结合上述直观认识，写出课题：函数的单调性． 2．函数单调性的“直观定义” 结合上述直观认识，给出单调函数的“直观定义”： 设函数的定义域为I，区间DI．在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为函数的单调增区间；在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间D上是减函数，区间D称为函数的单调减区间． 例1（教科书第29页例1）图2是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？ 设计意图：用“直观定义”判断单调性，并强调单调性的“局部性”． 图2 3．函数单调性的“描述性定义” 仅从图象上观察出函数的性质，只是得到了“定性刻画”，对函数的变化情况只是“大致了解”，显然不够，我们希望“量化”，这样才能准确． 教师借助几何画板作出函数y＝x2的图像，并在函数y＝x2的图像上任画一点P，测量出其横坐标与纵坐标，制作表格．拖动点P，表格自动增行． 问题2 根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值与它对应．那么，当一个函数在某一区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？ 设计意图：对函数的单调性的刻画，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到自然语言的表述． 由上面的表格可见，点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律：在区间（－∞，0上，随着自变量x增大，函数值y减少；在区间0，＋∞）上，随着自变量x增大，函数值y也增大． 由此得到单调函数的“描述性定义”： 设函数的定义域为I，区间DI．在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y也增大，则称函数在区间D上是增函数；在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y反而减小，则称函数在区间D上是减函数． 4．从“定性定义”过渡到“定量定义” 虽然完成了对函数单调性的从图形语言表述到自然语言的表述，但这样的描述还不是“量化”的，所以，要把定性的数量变化关系转化为定量的数量变化关系．这是本课的重点，也是难点所在． 从上面的结论，可以看到，函数在区间D上是增函数，那么随着自变量x增大，函数值y也增大． 问题3 如果对于区间（a，b）上的任意x有f（x）＞f（a），则函数f（x）在区间（a，b）上单调增．这个说法对吗？请你说明理由（举例或者画图）． 设计意图：继续企图通过对描述性定义的辨析，逐渐引出定量定义．必须是两个变化的量的比较． 问题4 函数f（x）在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当a＜x1＜x2＜„＜„＜b时，有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜„＜„f（b），能不能说明它在（a，b）单调增？请你说明理由（举例或者画图）． 设计意图：本问题较为贴近描述性定义，但这是对描述性定义的误解．通过对函数描述性定义的辨析，逐渐使得同学们认识到要使函数f（x）在区间（a，b）上具有单调增的特征，必须允许自变量x 在区间（a，b）上“任意取”，且只要“取两个”就够了．也给学生使用符号说明单调性以示范或提示． 从上面的讨论可以看到，函数f（x）在区间（a，b）对任意x有f（x）＞f（a），也不能说明它在（a，b）单调增；在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当a＜x1＜x2＜„＜„＜b时，有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜„＜„f（b）也不能说明它在（a，b）单调增．那么自变量x在区间（a，b）上到底该怎样取值好呢？我们再来看一看具体的函数f（x）＝x2． 教师利用几何画板演示：在函数f（x）＝x2的图象上，位于区间0，＋∞）任选两个点，自变量大的函数值也一定大．并提出 问题5 在函数f（x）＝x2，x∈0，＋∞）的图象上任意取两点，自变量大的函数值也一定大，能否说明函数f（x）＝x2在0，＋∞）上单调增？ 设计意图：由问题4可见，刻画函数单调性不在于所取自变量个数的多少，关键在于是否能够任意取值，而且必须任意取两个． 这个问题的答案是显然的．教师立即提出“怎样用符号来表示？”的问题．引导学生获得“只要任意x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”即可． 经过议论，获得共识——函数单调性的定义． 一般地，设函数f（x）的定义域为I．如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 这个定义中的关键词是什么呢？是“任意”二字． 5．单调性定义的应用（课堂练习） 练习1 画出反比例函数f（x）＝的图象，并回答下列问题： （1）指出这个函数的单调性； （2）是否可以说“这个函数在定义域I上是单调减？”为什么？ 设计意图：通过具体问题，使学生认识函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质（在整体上未必有）．进一步认识“任意”二字的意义，加深对函数单调性的认识． 答：（1）函数f（x）＝在区间（－∞，0）上单调减，在区间（0，＋∞）上也单调减．（图象略）． （2）这个函数的定义域I＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．不能说“这个函数在定义域I上是单调减”．事实上，取x1＝－1，x2＝1，而f（－1）＝－1，f（1）＝1，f（－1）＜f（1）． 练习2 物理学中的波利尔定律p＝（k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．（教科书第29页例2） 设计意图：函数单调性概念的应用．逐步掌握利用单调性定义证明一个函数在某区间上具有某种单调性的步骤．加深对函数单调性的理解． 分析 怎样来证明“体积V减小，压强p将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数p＝（k是正常数）是减函数．怎样证明函数p＝（k是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，＋∞）（因为体积V＞0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即 设V1＜V2，去证明p1＞p2．也就是只要证明p1－p2＞0． 证明：设V1＜V2，V1，V2∈（0，+∞）． p1－p2＝－＝． 因为k是正常数，V1＜V2，所以＞0，p1＞p2． 所以，体积V减小，压强p将增大． 6．课堂小结 这节课，我们学习了“函数的单调性”，“如果函数在区间（a，b）单调减，那么这个函数有什么特征？” 设计意图：企图明确，f（x）在区间D上是减函数 f（x）的图像在区间D上是下降的在区间D上自变量增大函数值减小．类似地，f（x）在区间D上是增函数 f（x）的图像在区间D上是上升的在区间D上自变量增大函数值也增大． 关键词：函数单调性；实录；数学思维 中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）09-049-03 本课教学目标：（1）通过观察函数的图像，直观说出函数的单调性和单调区间；（2）由特殊到一般发现、探究函数的单调性，并会用数学语言描述函数的单调性；（3）通过例题的探究，会模仿例题用函数单调性的定义证明函数的单调性。 教学重点是函数单调性的应用，难点是发现、探究函数单调性的定义，有意识培养学生的数学思维习惯。 一、课堂实录 1、函数单调性概念的生成 师：初中我们学习过一元一次函数和一元二次函数，请同学们作出函数 的图象以及 的图象。 （由学生展示 以及 的列表和图象，略。） 师：对于函数的图 的图像，你观察到什么？ >0）的图象，你又观察到什么？它们的图像有什么共同特征？ 生：图像是上升的。 师：能否确切一点，图像是如何上升的？ 生：从左向右看，图像是上升的。 师：很好。这是我们从小养成的直观经验，它是我们数学思维的起点，这种直观感觉往往为我们解决数学问题指明了方向，但仅仅有直观描述还不够，还需用更简明的逻辑方式来表述。换句话说，就是用抽象的数学语言描述直观的形，具体到上面的函数图形，这种上升的趋势，你能用变量 、 描述吗？ 生： 随 的增大而增大。 师：这位同学的回答不仅看出了图像的变化，还结合了函数概念的本质即自变量 和函数 来讨论。非常好。这是我们初中研究问题的思维方式，经验型思维向逻辑思维过渡，但这种描述还是建立在直观的基础上，就是把这种直观感知用数学的语言来描述。那么，我们是否还能用数学式子来刻画这种函数 随自变量 的变化而变化的关系呢？请同学们观察函数 的列表，自变量 的两个值，与之相对应的函数 的的两个值，你能用数学式子来表示吗？（同学们陷入思考） 生：表1中取两组变量，当 。 生：表1中再取两组变量 ，有 。 生：我们也取了两组值，也有当 。那我们能不能说对任意的有x1、x2，和相应的y1、y2。当 ，都有 。 （师将探寻的目光转向同学，但没有作出回答。同学们就此展开了讨论，得到了肯定的答案。） 师：那也就是说，对与函数 来说，图像是上升的，即 随 的增大而增大；还可以表示为对于函数定义域内的任意两个变量 、 ，当 ，都有 。反过来成立吗？即能不能说对于函数定义域内的任意两个变量当 、 ，当 ，都有 ；也可以说 随 的增大而增大；也可以说函数的图像是上升的？ 生：可以，因为这里的 、 是任意的。 师：同学们考虑一下我们刚才从对自变量 取特殊值1、2或2、3或其他两个值时得到的结论推广到一般。反过来，对于任意函数我们能否通过两组特殊值当 。就得到这个函数的图像是上升的呢？ 生：（在黑板上画出一个函数的图像，略），在此图像上取这样的两个点，当 时，有 ，而图象是先下降再上升的，这说明这里的任意性不能用特殊值代替。 师：很好。这种由特殊值成立，推广到一般结论，是我们数学中常用的一种思维方法，体现了规律的发现过程。但是这种只有特殊值成立，而一般结论不一定成立。 师：象满足这样的数量关系的数学式子的函数在这个区间上是增函数。这个区间就叫做函数的单调增区间。你能确切的给出函数是增函数的定义吗？ 生：对于函数 在其定义域内的某个区间I上的任意两个值 、 ，当 时，总有 ，我们就称该函数在这个区间上是单调增函数，该区间叫该函数的单调增区间。 师：在这里为什么要强调定义域内的某个区间上，而不是整个定义域呢？ 生：比如，我们开始做的函数 的图像，在想 时，图像是下降的，函数在 时不是增函数；而当 时，图像是上升的，即函数在 才是增函数。 师：你认为函数在 时是什么函数呢？ 生：应该是减函数。两个相对嘛。 师：很好，这位同学运用了类比推理。那你能给减函数下个定义吗？ 生：对于函数 在其定义域内的某个区间 上的任意两个值 、 ，当 时，总有 ，我们就称该函数在这个区间 上是单调减函数。 师：很好，非常准确地定义了函数的单调增区间和单调减区间。函数的增减性，我们称为函数的单调性。刚才我们探讨的函数单调性的过程，就是一个严谨的逻辑思维的过程，希望大家能好好体会。 （通过课堂上经历函数单调性概念的生成过程，体验逻辑思维的展开。） 2、函数单调性概念剖析和应用 师：请同学们认真阅读我们刚刚探讨的函数单调性的概念，你认为哪些词语比较关键，请指出来。 生：定义域内的某个区间上，是指特定的区间，说明不一定是整个定义域；任意两个变量 、 而不能用具体数值来代替。 师：回答的很好，函数的单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，是函数的局部性质。尽管是局部性质，也是在一定区间上的本质属性，即刚才说的特定区间的性质，它为我们认识函数带来了方便，也可以推广到对其他事物的认识。在定义域内就是某一事物存在的条件，定义域变化，函数将会发生变化，事物的性质也会发生变化，这就需要具体问题具体分析。还有同学要补充吗？ 生：单调区间是定义域的子集。 师：很好，这位同学又结合函数的三要素进行了分析。刚才，我们讨论了函数单调性的概念，用直观感知了单调函数图象的变化，即儿童时代的思维形式，这是我们思维的逻辑起点；在直观描述的基础上，同学们用语言定性地描述了单调函数的变化，即用少年时代的思维方式，已经带有明显的逻辑思维特点；最后我们又用数学表达式定量地刻划了函数的单调性，即我们用严密的逻辑思维方式准确表述了函数单调性，这是典型的数学思维方法，具体说来，就是我们使用了数学思维中的数形结合、集合、对应等逻辑思维方法。而这种思维方法是我们学习数学常用的的方法，我们要逐步适应它，从思想上接受它，并自觉的使用它，而不是让今后的教学内容适应你。 下面我们结合具体例题，体会函数单调性的实际应用。 例1观察函数的图像，写出函数的单调区间。学生自主完成，没有难度。学生之间交流后到黑板上展示。 师：这是应用了直观感知来解决问题，是不是我们学习了高中数学知识，直观感知的思维就可以否定呢，当然不是，直观感知往往会给我们指出问题的方向，有了方向，才有努力的目标。 这里还要注意一个问题，函数的单调性是在某个区间上体现的，同样是单调性相同的两个区间，即本题中的两个单调性相同的区间能合在一起吗？举出例子。 生：不能。在同一个区间上取值时，函数是单调的，当两个值取在不同区间时，就不能满足，所以这两个值没有任意性。 （有些同学有疑惑，同组展开讨论。） 师：例2，用定义证明函数 在( 上是增函数。请同学们讨论一下如何用定义证明函数的单调性。 生：在区间( 任取两个值 、 ，当 时，总有 。 师：请你把你的想法展示给大家。 生：（在黑板上完整地展示过程）在区间（ 上任取两个值 、 ，当 时， , ， ，故 ，即 ，亦即 。所以函数 在 时是增函数。 师：从这里大家可以体会逻辑推理的严谨性，以及用定义证明的形式化方法。数学本身就是形式化的科学，形式化在数学的学习中有很多应用。咱们讨论的函数的单调性的证明就是形式化的应用。观察函数的图象可以直观感知函数的变化趋势，以及确定函数的单调区间，但它不能代替严格的证明。 师：同学们，我们再观察函数 与函数 的整体图像，大家下去思考函数图像具有怎样的性质，这是我们下一节要讨论的内容。下面同学们回顾本节学习内容，并作出小结。 （师生共同总结，略。） 二、教学分析和反思 函数的性态常常可以用图像清晰的表现出来。学习函数单调性时，用简单的函数的图像更容易时学生观察和概括。本节课就是引导学生通过概括“函数单调性”概念，结合一次、二次函数理解函数单调性及其几何意义，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质。这节课内容比较简单，但从简单中让学生理解函数单调性的实质，体验数学的思维方式与方法。课堂中始终贯穿思维方法这条主线，在学习数学知识的同时，和同学们一起数学的思考，数学的概括；学习内容的设置注重知识的结构化和内在一致性，使得知识的学习具有连贯性；课堂组织形式灵活多样，为学生发现、探索新知创造条件。这节课能够获得学生认同，我认为主要有以下方面的原因： 1、精心设计教学内容与组织形式，使学生的课堂学习始终贯穿数学思维方法的探索与体验 教师的课堂组织形式要致力于学生的积极主动地发现并营造出适于学生学习的课堂氛围。人们只有通过练习解决问题和努力于发现，方能学会探索方法。一个人越有这方面的实践经验，就越能把学习所得归纳成一种解决问题的习惯，在学习时体会发现、概括的快乐，培养学生学习的兴趣。而这种良好的思考、探索的习惯不仅有利于数学的学习，也有利于培养他们对生活的兴趣和热爱。本节课，不管是概念的教学还是应用概念解决数学问题，都是学生在教师的引导下，单人或小组探索、发现、归纳、总结及应用，通过这种教学的方式，形成学生思考的习惯，培养学生思考的能力和意识。在本节课上，教师教授数学概念的过程的方法：教师通过适当的引导，设置相应的问题，课堂讨论等形式，使学生进入学习的情境，使学生自行推论出函数单调性的概念，并经历由特殊到一般的逻辑推理过程。在运用概念解决问题时，通过教师相应的引导、适当的举例、课堂讨论等形式，让学生自行推论出相关的解题过程，把所学习的数学概念应用于解决数学问题。在教学的过程中，问题的设置是一个关键，是提起学生兴趣把握教学内容逐步推演展开课堂教学内容的钥匙。教师要精心抛锚：课堂初始要精心设计；课程过程中，要根据回答的问题、情景随机应变，让学生根据抛出的问题开展思索、探讨。 2、充分利用学习卷（导学案），注重教学过程的结构化形式和内在一致性 数学课堂的教学要呈现出一定的结构化特征。主要步骤如下：在学习卷的编写中将新授知识与学生的原有知识相联系；本节课就通过简单的一元一次函数、一元二次函数的直观图形和函数单调性对接，从对图形的逐步严密的描绘中概括函数的单调性。通过学生对学习卷的预习明确学生对已有知识的掌握程度以及对新授知识的初步了解，在此基础上，教师提出本节问题，师生共同探究，学生动手操作，共享实验结果；整理实验数据；验证、修改假设；探讨规律；明确尚未解决的问题，为下一个教学内容做铺垫。 上述教学步骤使得学生的知识习得过程具有联贯性。学生可以根据原有的知识，设计实验，逐步推演，获得新知，并成为下一轮学习的基础。 3、关注数学知识系统性，教学活动建构在学生已有认知、思维、情感上 本节课从学生的已有知识出发，师生共同经历了函数单调性的形成过程，了解了函数单调性概念的实质；获得了探讨规律的一般方法；形成了函数单调性的概念及其应用；发展了学生的逻辑思维能力。 教师的课堂组织形式只有建立在学生已有知识的基础上，才能激发学生的求知欲；在此基础上把握学生思维发展的特点，才能致力于学生的积极主动地发现并营造出适于学生学习的课堂氛围。课堂上特别关注学生的讨论，鼓励学生发言，肯定学生发言的视角、内容，激发学生的热情和思考的深入在学习中使同学们探索、表现、成功的快乐。 课堂教学在知识学习的过程中，实现师生间、生生间情感的交流，使情绪、情感、知识、思维、活动互相交融，师生共同完成学习活动，始终体现“教师为主导，学生为主体”新课程教学理念。 参考文献 [1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1A版［M］．北京：人民教育出版社2009. [2]普通高中数学课程标准（实验）［M］．北京：人民教育出版社，2003. [3]钱佩玲．数学思想方法与中学数学［M］．北京：北京师范大学出版社，2008. [4]〔美〕R•柯朗，H•罗宾．什么是数学—对思想和方法的基本研究［M］．上海：复旦大学出版社，2008. 一、复合函数的有关基础知识 综上所述当内外层两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当内外层两个函数的单调性不同时,其复合函数为减函数.即“同增异减”规律. 二、求复合函数单调性的一般步骤 (1)求出复合函数的定义域; (2)确定构成原复合函数的外层函数y=f(u)和内层函数u=g(x); (3)求外层函数y=f(u)的单调区间D1,D2,…,Dr; (4)令内层函数u=g(x)∈Di(i=1,2,…,r),求出x的取值范围Mi; (6)根据复合函数“同增异减”的规律,得到复合函数在y=f[g(x)]单调子区间的增减性. 三、求复合函数单调区间的常见类型 (一)外层函数和内层函数仅有一种单调性 例1已知函数y=loga(4-ax)在[0,2]上是x的减函数,求a的取值范围. 解设y=logau,u=4-ax.因为a是底数,所以a>0.因此u=4-ax在[0,2]上是减函数.根据复合函数“同增异减”的规律,得y=logau在其定义域内为增函数.因此有a>1,且u=4-ax在[0,2]上恒大于0.解得1<a<2. (二)外层函数只有一种单调性,而内层函数有两种单调性 例2求函数y=log2(-x2+5x-6)的单调区间. (三)外层函数有两种单调性,而内层函数只有一种单调性 例3讨论函数y=(log4x)2+2 log4x的单调性. 解显然函数的定义域为(0,∞). (四)外层函数与内层函数都有两种单调性 例4已知函数g(x)=4-x2,f(x)=x2-2x-3,求y=f(g(x))的单调区间. 在研究复合函数单调性问题上,除了能够准确求出上述所给类型复合函数的单调区间外,还要多做一些含参数的复合函数单调性题型,从正反两个方面,加深对复合函数单调性问题的理解. 摘要：从复合函数的概念入手,归纳出复合函数的单调性原理,并指出求复合函数单调区间的一般步骤,最后通过具体实例总结出有关复合函数单调性的常见题型. 例 1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在 上是增函数.(2)在 上是减函数.分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.证明:(1)设 则 是 上的任意两个实数，且，= 由 得，由 得，.于是，即即..(2)设在 是 上是增函数.上的任意两个实数，且，则 由 得，由 得 于是 即.又，..在 上是减函数.小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.根据单调性确定参数 例 1、函数 在上是减函数，求的取值集合.分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究.解：当 具备增减性.当，解得 .故所求的取值集合为 .时，函数此时为，是常数函数，在上不时，为一次函数，若在上是减函数，则有 一、知识点 1、函数单调性的定义； 2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手 （2）从图象入手 （3）从熟悉的函数入手 （4）从复合函数的单调性规律入手 （5）从导数入手 注：先求函数的定义域 3、函数单调性的证明：定义法；导数法。 4、一般规律 （1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设yfgx是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则yfgx在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则yfgx在M上是增函数。 二、例题选讲 例 1、求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性。 11y1x2y1xx2x33y13xx23x6 3 练习(变式一)求下列函数的单调区间: 1yx2x32ylog12x2x12 2例 2、如果二次函数fxx(a1)x5在,1上是增函数，求f(2)的取值范围。1 2 例 3、讨论函数fxxaa0的单调性。)x 2ax例 4、是否存在实数a，使函数fxlogax在区间2,4上是增函数？如果存在，说明a 可取哪些值；如果不存在，请说明理由。 练习：（变式一）函数fxlog 备例1.设函数fxax8x9在1,上是增函数，求a的取值范围。x21ax其中a1，证明f(x)在区间0,上是单调函数。 2.（考例4）已知函数f(x)的定义为R，对任意的实数x1,x2都满足f(x1+ x2)=f(x1)+f(x2)，当x>0时，f(x)>0，且f(2)=3.（1）试判断f(x)的奇偶性和单调性； 【函数的单调性(教案)】推荐阅读： 函数的单调性讲稿11-06 函数的单调性性教学反思11-06 学案15函数的奇偶性、单调性习题课11-20 幂函数单调性和奇偶性08-25 函数奇偶性应用教案07-13 19函数的奇偶性说课稿12-09 高中数学幂函数的教案06-27 函数的表示法(一)教案07-25 反函数学教案的例子08-03 高一数学教案：变量与函数的概念09-152.函数的单调性(教案) 篇二
3.关于复合函数的单调性问题 篇三
4.函数单调性与奇偶性教案 篇四
5.函数的单调性(教案) 篇五
6.函数的单调性证明 篇六
7.指数函数单调性的应用 篇七
8.浅谈高中数学函数的单调性 篇八
9.函数单调性的定义 篇九
10.函数的单调性”教学设计 篇十
11.函数单调性教学实录与反思 篇十一
12.关于复合函数单调性的研究 篇十二
13.函数单调性定义证明 篇十三
14.函数的单调性复习方法与技巧 篇十四