几何辅助线中点专题

几何辅助线中点专题（精选5篇）

1.几何辅助线中点专题 篇一

圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加辅助线的方法包括见弦作弦心距、见直径作圆周角、见切线作半径、两圆相切作公切线、两圆相交作公共弦等方法.

梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形.它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决.辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：(1)在梯形内部平移一腰;(2)梯形外平移一腰;(3)梯形内平移两腰;(4)延长两腰;(5)过梯形上底的两端点向下底作高;(6)平移对角线;(7)作中位线等.

3数学初中证明题技巧

读题要细心

有些学生一看到某一题前面部分有似曾相识的感觉，就直接写答案，这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取，我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置.?

要引申

难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习.?

要记.

这里的记有两层意思.第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来.如给出对边相等，就用边相等的符号来表示;第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来.?

对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生.

2.几何辅助线中点专题 篇二

一、添加适当的辅助线

当题目的题设和结论之间的逻辑关系不太明朗、甚至“彼此孤立”时, 可以通过添加适当的辅助线, 把题没条件中隐含的有关性质充分显现出来, 扩大了已知条件, 从而有利于迅速找到题目的最近切入口, 进而推导出题目的结论。

例1.D是ABC的边AC的中点, 延长BC到点E, 使CE=BC, ED的延长线交AB于点F, 求ED∶EF

思路一:过C作AB的平行线变DE于G, 由D是AC的中点可得FD=DG, 由CE=BC可得FG=GE, 从而得ED:EF=3∶4

思路二:过D作BE的平行线交AB于I, 类似法一得ID∶BC=1∶2, ID∶BE=1∶4, 从而得ED∶EF=3∶4

思路三:过D作AB的平行线交BE于H, 易得BH=HC=1/4BE, 得ED∶EF=3∶4

二、用平移、旋转、对称法添加辅助线

平移、旋转、对称是平面几何中的三大变换, 在解几何证明题时利用平移、旋转、对称添加辅助线是基本思路和常用的方法。引导学生在分析图形特点的同时, 掌握适当的添加辅助线的方法, 对于提高学生的解 (证) 题能力是十分重要的。

1. 利用平移添加辅助线

涉及梯形一类问题, 往往将梯形的腰或对角线平移, 构成平行四边形和三角形。

例2.梯形ABCD中, DCAB, A和B互余, M、N分别是DC、AB的中点, 求证:MN= (AB-CD) .

分析:将DA平移至ME, CB平移至MF, 则构成了□AEMD□BFMC和□EMF, 易证EMF是直角三角形, 且MN是斜边EF上的中线, 则有MN=EF, 而EF=AB-CD, 当然, 还可以通过添加其他辅助线完成, 但这样添加比较快捷。

例3.已知梯形ABCD中, ADBC, E是AB的中点, ED平分∠ADC, 且AD+BC=CD, 求证:ECDE, EC平分∠BCD。

分析:将AED绕点E旋转, 使A和B重合, 点D落在CB的延长线上, 则AED和BEF全等, 可得DE=FE;由题条件易知么2=F, 则CD=CF, 根据等腰三角形三线合一性质可得结论。

涉及正方形有关问题往往将某一三角形绕顶点旋转一定的角度, 随着图形的变换, 问题就可解决。

例4.正方形ABCD中, M、N在边BC、CD上, MAN=45;求证:MN=MB+ND.分析:将∠AND绕点A顺时针旋转90°, 则和∠ABE重合, 可得∠EAN=90°, AE=AN, BE=DN, 由∠MAN=45°得∠EAM=MAN=45°, 那么AEMANM, MN=ME=MB+BE=MB+DN.

3. 利用对称添加辅助线

在三角形有关线段和、差问题, 往往借助角平分线把一个三角形沿角平分线翻折, 构造三角形全等, 进行等量代换。

例5.已知, 等腰直角三角形ACB中, ∠C=90°, AD平分CAD, 求证:AB=AC+CD。分析:延长CD到E, 使CE=CA=CB, 则可证明CAMCEM、CBNCEN, 可得:ME=MA, NE=NB, 1=A, 2=B;所以∠MEN=90°, 利用勾股定理:MN=ME+NE=MA=NB。上述两例在添加辅助线问题中也称截长补短。

三、其他添加辅助线问题

1. 在比例线段问题计算和证明中, 常作平行线

作平行线时往往是保留结论中的一个比, 然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

2. 见中点引中位线, 利用中位线的性质

例6.ABC中, D是BC边的中点, E是AD边的中点, 连结BE并延长交AC于点F, 求证FC=2AF。

证法1:由已知D是BC边的中点, E是AD边的中点, 容易想到用中位线来解决问题。过点D作DGAC交BF于G, 则G为BF的中点, DG是BFC的中位线, 可得FC=2DG;由E是AD边的中点:DGAC, 易证DG=AF, 所以FC=2DG。

证法2:过点D作DGBF交AC于G, 由D是BC中点, 则FG=GC;由E是AD中点, DGBF, 则AF=FG, 所以AF=FG=GC, 即可得FC=2DG。

例7.ABC中, LB=2C, 且A的平分线为AD, 问AB与BD的和等于AC吗?

思路一:在长线段AC上截取AE=AB, 由ABDAED推出BD=DE, 从而只需证EC=DE.

思路二:延长短线段AB至点E, 使AE=AC, 因而只需证BE=BD, 由AEDACD及B=2C, 可证E=BDE, 从而有BE=BD.

思路三:延长AB至E, 使BE=BD, 连接ED, 由ABD=2C, ABD=2E, 可证AEDACD, 可得AE=AC, 即AC=AB+BD.

3. 两圆相交、相切问题

相交两圆常通过连结公共弦来辅助解题;相切两圆常通过切点作公切线来辅助解题。当然, 这几个例题只是两圆问题中的几个典型, 还有许多其他题目, 不一定都使用上述添加辅助线的方法, 遇到实际问题还要结合题目条件分析, 该添则添, 切不可生搬硬套。

3.[案例]几何辅助线项目教学例谈 篇三

在解决一些图形面积的题中，常常需要把不规则的图形转化为规则的图形，或把复杂的图形转化为简单的基本图形。一般情况下，学生对特殊图形的面积计算是熟悉的，如直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等。在教学过程中，教师要善于在学生已有的知识基础上启发引导学生思维，把一般化的图形分割为特殊的、可计算的图形。正如教育家陶行知所说的，“接知如接枝”。

例1如图，在四边形ABCD中，若∠BAD=90°，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，求四边形ABCD的面积。

分析：解这道题需要添加辅助线，连接BD，把四边形的面积转化为两个三角形的面积之和。

引导：在让学生思考之前，可先提问学生：“你会求哪些四边形的面积？”学生会回答是平行四边形、矩形、菱形、正方形。这时接着问：“你会求直角三角形的面积吗？”“不规则的四边形的面积怎样求？”这样教学，可使学生的思维变得有序、有目标，学生自然而然地会想到，要求不规则的四边形的面积，可通过连接对角线转化为两个三角形的面积之和来求解。

二、把握定理题设。引导学生补全图形

几何证明就是从已知条件出发，经过推理得出结论。推理的依据是与条件有关的公理、定理等。解题时，公理、定理的运用都需要一定的条件，所以在教学中教师应引导学生自己正确把握公理、定理的题设，把分散的、孤立的条件联系到一起，如果题中没有能利用条件的图形，就要添加一些辅助线补全图形，以利于公理、定理等的运用。这是学生会添加辅助线证明几何题、会思维、会学几何的一个很好的切入点。

例2.已知：如图，PA、PB是00的两条切线，切点为A、B，Ac是（30的直径。求证：PO∥BC。

分析：本题中主要运用切线长定理、等腰三角形三线合一定理和直径所对圆周角是直角这三个定理。

引导：在学生思考之前，可先提问学生：“你知道与直径有关的定理有哪几个？”学生容易回答是垂徑定理，直径所对圆周角是直角等。再问：“等腰三角形三线合一的条件是什么？本题中有等腰三角形吗？”由于本题是切线长定理运用的一个例题，所以学生根据切线长定理轻松得到PA=PB，OP平分∠APB，再联系Ac是QO的直径这个条件，只要连接AB，就补全了等腰三角形三线合一和直径所对圆周角两个定理的基本图形，运用这两个定理易得PO与BC都与AB垂直，从而证得PO∥BC。

三、利用几何变换。移动局部图形

在解题时，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，可以启发学生将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答。图形变换是一种重要的思维方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理分散的、孤立的问题的思维，学生若能很好地领会这种解题方法的本质特征，并能准确合理地使用，在解题中就会收到奇效，也将有效地提高思维品质。

例3.P是等边三角形ABC内的一点，LAPB=J50°PA=3，PB=4。求：Pc的长。

分析：所求的线段Pc与已知线段PA、PB不构成一个三角形，条件分散，不容易求得Pc的长度，由于AABC是等边三角形，具备了旋转角为60°的图形旋转条件，因此，可将AAPB以点B为旋转中心作顺时针60°的旋转；还可将AABP以点A为顶点，逆时针旋转60°，将AAPC绕点c逆时针旋转60°。

引导：笔者先让学生尝试着解本题，在学生感到无处下手时，提问：“等边三角形是什么对称图形？”学生答：“它是轴对称图形。”“还有呢？”学生又答：“它还是旋转对称图形。”接着问：“那么它的旋转中心在哪里？”“等边三角形除了绕着它的中心旋转，还能绕哪些点旋转？”“AAPB能否绕着某个点旋转？”到这时，学生似乎有点感悟。于是就让学生继续思考，再试着解本题。

4.几何辅助线中点专题 篇四

【关键词】油画;平面性;构成;点;线;面

“艺术是精神的产物，创作时用的表现符号，称为艺术语言。”无形的艺术如何依靠有形的符号才能进行更好地传达内心精神世界?作为艺术语言之一的绘画形式，在多元化发展的今天，平面性点、线、面三元素更多地被运用到画面的表现上，进行提炼、概括等手法，弱化明暗、空间、转折关系，以达到更强的艺术性。成功地运用点、线、面构成，节奏韵律能使画面更具视觉冲击，多种不同的视觉效果表达出传统非平面绘画所不擅长表达的特有形式美感和某些心理感受。另外，平面性语言融入本土的传统文化，遍布着生活各个角落，这对绘画平面性语言构成的发展有着积极的意义。

一、平面性语言的概述

平面性的表现弱化了客观对象的明暗、空间、转折关系，重组色块之关系，强调构成感，同时对形态进行提炼、概括、简化造型等处理，进行艺术再创作。平面性绘画表现手法可分为两大类：客观平面性和主观平面性，客观平面性表现手法在构图上追寻空间、形态特征，通常以平涂的表现手法展现。而主观平面性则相反，对构图、造型、色彩关系都进行主观处理，在构图上没有近大远小，弱化空间透视，对色彩提炼归纳，去掉画面杂音;以夸张、变形、简化等手法，主观改变事物的本身面貌，追求形式构成美感，形成更有冲击力的视觉效果。

二、平面构成中三大要素点、线、面的定义关系

构图是绘画创作中重要环节，而点、线、面是图式中最基本的元素。在构图时，点、线、面在画面构成中具有再现和暗示作用，再现作用即对自然生活中事物形态的再现;暗示作用即由作者对事物本身的联想所产生的对应情感表达。画者在长期实践中，概括出点、线、面具有以下几点特征：

(一)“点”元素的体现

点，具有很强的向心性，是绘画过程中很重要的因素，如利用点的疏密来表现出不同的视觉效果，密集性的点具有紧张、凝聚感，疏散的点具有轻松、轻快感，自由的点具有生动的感觉等。另外，点的面积不同、形状不同也会带来多样化的视觉效果。

在画面中，点的面积较小，有时点的形状就如粗而短的线，具有很强的暗示作用，同时可吸引眼球，活跃画面气氛，另外还有凝聚的力量。点的组合多种多样，排列和面积不同会带来不同的视觉效果。如规则性的点排列，也就是说把画面中的点元素进行有规则性的排列，会给人带来有秩序的视觉感受，如梵高的作品《阿尔的少女》所示，利用点元素规律且整齐分布，细小整齐的笔触与倾斜的点相交织产生一种别样的韵律感。相反，自由性的点，能更好地活跃画面的气氛，如米罗的作品《午夜和晨雨中夜莺的歌声》，就充分地运用散点元素，合理摆设空间距离，营造出很强的形式和节奏美感。有些画家钟爱整幅画面均用点元素作画，如亨利·马蒂斯作品《奢侈、宁静和享乐》，用密集性的点组合，给人呈现出一种紧凑感，画面结构在空间关系上更有主观意识。

(二)“线”元素的体现

线在画面中指的是细长的形状，线本身对事物有很强的概括和表现性，线是画面中最基础的因素，在造型的提炼中，结构的表现中都可以用线来表达，这点中国画是个很好的例子，如作品《仕女图》。此外，线具有延伸性、导向性，线的曲直、粗细、长短不同对画面产生不同的视觉效果。

线元素其实是点往一个方向行走的轨迹，是画面构成中重要的元素。“点”元素的面积大小决定着“线”元素的粗细。常见的有直线和曲线两类，直线如男子般刚毅硬朗，而曲线如女子般柔美温婉。如德尔沃的作品《对朱尔斯·凡恩的效忠》，画面中垂直于地面的几条黑色柱子，按透视关系排列，强化了空间透视，营造画面庄重肃穆的气氛。而贾科莫·巴拉的作品《雨燕、运动和电动序列》，曲线的结构如层层波浪，增强了画面节奏和韵律，带动观众的思绪。再如康定斯基《黑色的和紫罗兰》所展示的，斜线具有很强的指向性，同时给人不安的情绪，倾斜度与运动感的强烈成正比。除了直线、曲线，最常见的有粗线、细线。

(三)“面”元素的体现

在绘画构图中，点和线密集在一起就成了面，点和线不同秩序排列所产生的节奏、韵律也不同。在画面中，面的大小分割着黑白灰构成关系，以此需要合理地安排面元素，让画面更加统一。

无数个点有秩序地排列成线，而密集的排列就成了面的效果;把线缩短后变成点，把线密集地排列、穿插或重叠就成了面。古今中外，很多大师都是通过对点、线、面三个元素的组合构成进行对艺术的探索，从而表达内心的情感。

“面”元素是我们最常见的，聚集的点、密集的线均能形成面。在画中，“面”元素的大小决定着黑白灰的关系。如拉乌尔·杜菲《向莫扎特致敬》，红色块与蓝色块的对比，利用黑色的线条贯穿整张画面，呈现一种节奏韵律，仿佛在聆听音乐。

三、平面性构成在中国当代油画创作中的影响

中国油画在发展与演变中吸取了本土文化，国人将其与西方文化相结合，创作了许多经典的作品，如吴冠中的画作把中国画的神韵融汇进去。吴冠中用点、线、面三元素表现出节奏感和韵律美，如作品《太湖之畔人家》所示，大面积的屋顶用面状来表示，零散的窗户则是用点状来表示，屋脊则是用线来表示，这些元素按近大远小、疏密对比的规律排列着，近与远的交错又饱含着多个节奏的重叠相错，通过高度的概括、洒脱的用笔传达出独特的美感。而林风眠突出黑白块面，辅以点和线点缀画面，使画面既具有西方表现主义特征又具有中国传统灵动飘逸的线条，如油画作品《渔妇》。

总的来说，都是将中西文化相结合，不断探索，大胆创新，形成了自己独特的风格。平面性构图，通过简化对象形态，高度提炼、概括、包涵更丰富的想象空间和更强的视觉效果，更符合我国当代审美特征和发展趋势。

通过以上剖析，以及笔者在绘画创作和教学中，带着对点、线、面，平面性主观的认知，以平涂色块的手法，弱化压缩色彩间的明度关系，主观地对景象重新进行结构重组、拼接以及推敲。强化平面化感受，运用画面肌理效果进行画面结构的组建。一幅作品平庸与否，题材选择固然重要，更重要的是要培养个人的洞察力，如何把平凡的景象，依托上述元素提炼出超凡的艺术效果。再则中国油画当以平面性的发展结合本土文化底蕴，以一种新生力量更符合了当代人的审美，相信在对平面性的语言探索中，对油画创作的启发颇多。平面各种元素相结合，产生了上千种变幻莫测的平面效果，这些变化促使画者必须重视运用上述元素构架画面，提高绘画水平和文化修养，另外平面性元素是我国本土文化的重要构成之一，是画面架构的重要手段，因此我国业界油画同行对平面构成要素结合本土文化之重要性应该予以重视。

参考文献：

5.几何辅助线中点专题 篇五

关键词： 辅助线；高中数学；几何证明与计算；作用；探讨

一、高中数学几何题的特点

学生们在初中的课堂上学习过平面几何的计算与证明之后，对于几何题的概念、定理有了一个基础性的了解。在学生们进入高中之后，数学的学习从以往的横向拓展变成了纵向拓展，教材中的内容更加注重挖掘深度，立体几何的概念由此开始引入。学生们在学习的过程中，由于以往学习立体几何而形成的固化思维，往往会影响学生们解题能力的发挥。高中的数学几何题存在着以下几个特点：

1.空间感强。如图所示，学生们在初学立体几何的过程中，思维往往还停留在初中的平面几何阶段，在学习立体几何知识的过程中，容易受原有的平面思维影响。如今的高中立体几何照比从前的平面几何，空间感明显增强。以图中的正方体为例，将一个立体图形通过平面表示出来，往往会形成图上三个四边形相接的效果。由于学生们还没形成较强的空间感，因此在解题的过程中面对复杂的平面立体几何图形，学生们往往会受到图形的迷惑，在解题过程中容易出现错误。

2.解题难度加大。由于高中的数学教材注重挖掘的是知识的深度，因此学生们在进行立体几何知识的学习过程中，往往会发现题照比从前的平面几何，难度增加了不少。在初中的几何题学习中，所学的概念与定理一般仅应用于平面几何的证明与计算题中。而在高中立体几何的学习过程中，体型变得复杂，不仅涉及到证明与计算，更多的是与其他数学知识混在一起进行出题，设计实际应用题、函数问题、递进式证明题等等，难度照比从前明显加大。

二、辅助线在高中几何题中的重要作用

对于辅助线的概念，相信学生们并不陌生。在初中的几何知识学习过程中，辅助线这一概念就已经引入了教材，帮助学生们更好的学习几何知识。学生们在进行证明和计算的过程中，正确的做出一条辅助线可以帮助学生们迅速的打开集体思路，轻松地求出题中所问。鉴于高中几何题存在着空间感强、难度大等特点，辅助线的重要作用就变得更加突出。因此，正确的应用辅助线可以帮助学生们提高学习效率。关于辅助线在高中几何题中的重要作用，以下进行具体探讨：

1.揭示途中隐含图形特性。高中的立体几何题中，题干中所交代的信息往往存在着不明确、模糊等特点，学生们在读题的过程中很难将所有的解题信息通通提炼出来，而一般的重要解题信息往往存在与图形之中。以下图的证明题为例，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB重点，求证：AB垂直于平面CED。

学生们在做题的过程中，看到题目可能会一头雾水，但如果学生们可以连接CE、DE两条辅助线，平面CED就可以如图所示的清楚的呈现在眼前。之后学生们可以通过等腰三角形底边中线“三线合一”的性质证明直线AB垂直于直线ED、EC，再根据“一条直线只要垂直于平面中的两条不平行的直线那么这条直线就垂直于这个平面”的性质，证明出直线AB垂直于平面CDE。通过立体我们可以看出，一般的立体几何体重，题干与图形所给出的信息往往不太明确，容易混淆学生们的思维。一旦学生们清楚的做出辅助线，这道题的思路就会一下子被打开，学生们需要做的仅仅是通过所学的定理与知识想问问题求出来即可。因此，辅助线有帮助学生们找出题中图形隐含特征的重要作用。

2.化复杂为简单。上文已经提到过，高中的立体几何题往往存在着难度较大的特征。一些题目所给的图形复杂，让人看过之后眼花缭乱。所以，辅助线的另外一大作用就是将一些原本较为复杂的图形，通过做辅助线进行分割，化繁为简，将一个复杂的立体几何图形通过辅助线转化为简单的平面几何图形。之后，学生们可以再从分出来的图形中选取与问题有关的信息，通过所学定理与公式求出所问即可。这样，一方面学生们可以通过应用辅助线提高学习效率；另一方面还可以提高学生们学习数学的自信心，增加学习热情。

三、结束语

通过以上文章的探讨我们可以很清楚的看出辅助线对于高中数学几何教学的重要作用。高中的几何证明题就像是一把锁，而学生们的开放性思维、辅助线的应用就像是一把钥匙，能够帮助学生们高效、准确的解题。相信随着我国教育工作者的不断实践和探索，辅助线教学法会得到不断地完善和发展，不断帮助我国的高中生提高学习效率。与此同时，教师在教学的过程中也应该注意转变自身的态度，营造出一种良好的学习氛围，为我国培养出一批又一批的优秀人才。

参考文献

1 王玉银.辅助线作法种种[J].时代数学学习（七年级），2001（Z2）

2 马泽艺.辅助线的作用——在于帮助证明几何题过渡思考[J].科学咨询（教育科研），2011（08）

3 张明贤.辅助线的作用及其添加原则[J].新疆教育学院学报，2009（02）

4 管仲延等.活添辅助线巧解几何题[J].中学生数学，2004（16）