立体几何定理性质

立体几何定理性质（精选10篇）

1.立体几何定理性质 篇一

必修二定理：自然语言，图形语言，符号语言

一、空间中的平行关系

1、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

2、基本性质4：平行于同一条直线的两直线平行

3、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

4、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两

个平面的交线平行。

5、面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交的直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

6、面面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条交线分别平行于另一个面内的两条直线，则这两个平面平行。

7、面面平行性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

8、两条直线被三个平面所截，截得的对应线段成比例。

9、如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另外一个面。

二、空间中的垂直关系

1、线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

2、推论：如果在这两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另外一条也垂直于这个平面。

3、定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

4、面面垂直判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

5、面面垂直性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2.立体几何定理性质 篇二

基于演绎推理的形式验证是程序验证的一种重要方法。其核心是由程序员书写断言描述程序的性质, 然后根据某种方式对断言进行演算产生验证条件, 最后使用某个自动定理证明器来证明验证条件。该方法的程序验证原型系统非常多,但是到目前为止还没有可供工业界使用的产品问世。其主要原因是验证原型系统的能力受限于自动定理证明器的能力。 在研究程序验证的过程中,必须考虑如何提高自动定理证明技术,同时也应该研究如何减少对自动定理证明器的依赖。

本实验室设计并且实现了一个源码级验证工具 ——面向Pointer C的程序验证器原型(简称原型系统)[1,2,3,4]。原型系统对Pointer C语言程序进行自动验证,先对程序进行形状分析生成形状图,然后根据程序员书写的前后条件以及循环不变式通过最强后条件演算方式生成验证条件,最后交给自动定理证明Z3[5]证明。本文研究的主要内容是,在引入自定义谓词增强断言语言的表达能力的同时,怎样减轻因此产生的自动定理证明器的负担。

原有的原型系统中由于断言语言能力的局限, 很多易变数据结构的性质无法简明准确的表达。为此,原型系统引入自定义递归谓词来描述这些比较复杂的程序性质。程序员在写代码的过程中有时会用到递归谓词的归纳性质。但是这样做带来的问题是,Z3在证明验证条件的过程中无法发现这些归纳性质,从而造成验证条件证明失败。

为了自动定理证明器能顺利完成验证条件的证明,原型系统由程序员提供自定义谓词之间的归纳性质定理来帮助自动定理证明器证明。同时由于性质定理是由程序员提供的,其正确性无法保证。本文给出一种先对性质定理本身进行具体分析然后再结合结构归纳的方法,实现了性质定理的自动证明。

本文接下来的内容安排如下,在第1节里介绍Pointer C程序验证器原型系统中断言语言的设计以及为什么需要引入自定义谓词;第2节给出程序员需要提供性质定理的原因;第3节详细阐述如何具体实现性质定理的自动证明;第4节简单介绍当前原型系统的组成以及可以通过的验证实例;第5节的主要内容则是全文总结以及相关工作的比较。

1程序断言语言设计

验证系统原型的核心是程序断言语言的设计, 其主要验证对象是操作易变数据结构的指针程序, 而易变数据结构的特点是递归性。为了准确用断言表达易变数据的性质,直观的方法就是引入谓词。 引入谓词有两种机制,一种是系统内部建立固定谓词让程序员使用,但是这种不满足多变的程序性质和复杂的数据结构;另一种是由程序员自己定义谓词来满足程序性质多变的情况,这也符合自动定理器的功能在不断扩展的事实。本文中采用的就是自定义谓词的机制。

1.1自定义谓词

自定义谓词是程序员自己提供的用以描述程序的性质的谓词,最常见是递归定义的谓词,也称归纳谓词。其详细文法可以参考Pointer C的程序验证器原型相关的文献[1,2,3,4]。

例如有结构体定义为:

typedef struct node{int data; Node* l; Node*r;}Node;

现在定义一棵二叉排序树(Binary Sort Tree),它提供性质定理的原因;第3节详细阐述如何具体实现性质定理的自动证明;第4节简单介绍当前原型系统的组成以及可以通过的验证实例;第5节的主要内容则是全文总结以及相关工作的比较。需要三个归纳谓词一起定义,其形式为:

符号:=的左边是谓词的名字以及谓词的参数, :=的右边是谓词的定义。谓词gt表示对于指针p来说, p指向空或者p指向一棵二叉树,且x的数值大于这棵树上所有节点的data域的数值。此时我们发现归纳谓词中的指针p不再是指向一个单独的存储单元,而是抽象成为了一棵二叉树。p可以为空树,也可以有左子树和右子树。这是由归纳谓词的定义决定的, 谓词体右边出现的同名谓词可以继续按照谓词的定义展开。所以BST的含义是:p可以为空树;当p不为NULL时,该树的上所有父节点的数据域data值小于右子树根节点的data值大于左子树根节点的data值。

1.2自定义谓词在程序验证中的作用

自定义谓词除了能够定义复杂的数据结构性质之外,还可以根据程序的实际特点定义指针之间的关系,只有灵活应用自定义谓词,才能正确书写正确的函数前后条件和循环不变式。现在用二叉排序树删除根节点的函数(图1)来具体阐述这个问题。函数的谓词定义为:

谓词(1),(2),(3)一起定义了一棵二叉排序树, 而谓词(4)则表示p指向的二叉树上所有的节点的data值都小于q指向的树 上所有节 点的数据 。 而BST_seg(p,q)则表示从p指针到q指针之间的树段上所有数据的性质。

这些谓词的定义都是原型系统验证二叉排序树 (非空树)根节点函数需要的。二叉排序树删除了根节点之后,还需要保持该数据结构是一棵二叉排序树,所以函数在while循环语句中寻找中序前驱,然后将它的值替换根点,最后删除这个中序节点。所以这个函数的性质的前条件是p!=NULL BST(p), 它的后条件是BST(p)。同时在循环语句中,指针s在该树的左子树上向右前进直至找到中序前驱,所以它的循环不变式是BST(p->r) lt_all(s,p->r) lt(q->data,s) BST_seg(p->l,q) BST(s) ,表明了它在循环语句执行的过程中程序代码一定会满足的性质。

2程序员提供的性质定理

由上文可以看出,自定义谓词为程序验证提供了便利,基于原有的谓词文法我们已经可以方便写出函数的前后条件以及循环不变式。但是新的问题诞生了,前后条件以及循环不变式演算完毕生成的验证条件交给Z3时,自动定理证明器无法证明结果。 而发生这个情况的原因是自动定理证明器Z3没有推导谓词之间的归纳性质的能力。

虽然Z3无法发现归纳谓词之间的归纳性质,但是程序员自己可以给出归纳性质的定理辅助Z3证明。 对于图1的二叉树根节点删除函数来说,提供几个性质定理,自动定理证明器就可以顺利进行验证条件的证明。这些性质定理如下:

二叉排序树删除根节点函数的循环不变形状图为:

图2中形状不变图表示循环语句中程序维持的形状。现在以性质定理(c)来说一下,为什么验证条件的证明需要它们。当BST_seg(p,q)的展开情况不为不动 点的时候 , 是基于p - > r上的谓词 性质B S T _ s e g ( p - > r , q ) , 将其他谓 词的性质 按照p - > r指向节点定义序列段的左边加入该谓词,得到BST_seg(p,q)。

根据图2的循环不变图,我们可以看图1函数循环体里的赋值语句{q= s; s = s->r; }中看出s从根节点到右子树前进方向,已经遍历过的节点序列的性质和当前指针指向的节点性质,再加上尚未遍历的节点性质综合起来才能证明循环出口的验证条件。也许就是说B S T _ s e g ( p - > l , q ) 可以扩大 到BST_seg(p->l,q->r),正是性质定理(c)表达的意思。

这个分析过程,实际上就给程序员提供了一种如何书写性质定理的思路。程序员在写代码的过程中,清楚谓词在形状图上的含义,也清楚自己利用了谓词上哪些归纳性质。比如在该例子中,程序员知道二叉树删除根节点后的中序节点就是该树左子树上最底层最右边的点,所以并没有直接将这个节点替换根节点,而是利用它的值是左子树上所有节点的最大值这个归纳性质。程序员将这个性质交给Z3作为推导的条件,就可以证明循环出口的验证条件。同时,程序员也可以对形状上各个节点附带的谓词性质进行分析,就能很容易地发现验证条件的证明缺少哪些性质定理。

3性质定理的自动证明

一般情况下,定理证明不存在自动发现归纳证明步骤的通用算法。但是对于原型系统的性质定理来说,出现的参数变量个数少,指针参数的递归结构明确而且形状固定,可以通过对定理各个组成部分的分析得到归纳证明的方法。本文提供一种自动证明性质定理的分析方法,并且按照这种方法在原型系统中实现了性质定理的自动归纳证明。

另外,本文采用的归纳方法不是自然数归纳法, 而是结构归纳法。它的基本思路是假设在某一个集合上某个命题成立,证明某个包含这个集合的集合上这个命题成立。接下来详细介绍这种方法的思路和具体实现过程中的步骤。

3.1证明思路

该方法的基本思路分为三个步骤,最后一步是归纳证明,前两步是分析性质定理的结构。本节会根据第2节二叉排序删除根节点函数的谓词和性质定理具体分析证明过程。

第一步,分析谓词间的依赖关系与谓词的归纳方式。谓词的依赖关系就是指谓词是基于哪些谓词定义,谓词lt的定义谓词不依赖其它谓词,谓词 ( 4 ) l t _ a l l依赖谓词 ( 2 ) l t 。同时也很容易得到谓词 (5)BST_seg依赖谓词谓词(3)BST、谓词(2)lt和谓词 (1)gt。而谓词的归纳方式在静态检查谓词时就已经完成。它从谓词参数的定义出发,比如谓词lt和gt都只有一个指针变量,所以按照二叉树的结构归纳。 而谓词lt_all有两个指针变量,但是它的谓词体中, 只有第一个指针的路径有变化,说明此谓词按照第一个指针变元归纳,并且归纳的方式是按照二叉树的结构。同理,我们可以得到谓词BST_seg的归纳变元也是第一个指针,但是他的归纳方式不再是按二叉树的结构,而是只按照节点的右子树路径r指针进行归纳。

第二步,利用性质定理(引理)间的依赖关系。 原则上来说,定理应该是按照各个谓词的定义就可以独立证明,比如定理(a)、(b)。实际上,证明某一个相对复杂的定理可以将其他的引理作为前提条件, 这样可以减少复杂定理的证明步骤。比如引理(e) 依赖于引理(a),没有引理(a),它要进行两次归纳证明。确定引理之间的依赖关系没有像谓词之间依赖关系那样直观,几乎没有明确的办法。一种简单的方法是,证明任意一条定理时,都将其他的定理作为前提条件。

第三步,按照第一步的分析出来的归纳变元跟归纳方式对性质定理进行证明。其具体的操作分为3小步:

1)按照第一步分析得到的归纳变元和归纳方式进行归纳基始证明。证明失败原型系统报错,退出程序验证;

2)按照第一步分析得到的归纳变元和归纳方式形成归纳假设;

3)将该引理外的其他引理和上一小步的归纳假设都作为前提条件跟引理一起交给自动定理证明器证明。证明失败原型系统报错。

3.2性质定理的自动证明过程

性质定理的抽象语法定义为其中P的形式为Q的格。下面我们以定理(d)

为例介绍如何在原型系统中实现性质定理的自动证明。

第一步,检查P和Q的归纳变元,决定是否需要归纳证明。系统原型在进行性质定理证明之前,会对每个谓词进行检查得到它们的归纳变元。如何寻找归纳变元第2节中有介绍。这样我们得到P的归纳变元集合A与Q的归纳变元集合B,A={a1,a2..ah}, B = { b1, b2. . b1} ,其中ai和bj都是指针路径(格式为ptr->next或者ptr->l),不包括指针数据域路径(格式为ptr->next->data)。同时我们还需要P、Q的指针路径集合X和Y。显然指针路径也包含了归纳变元集合的元素,因为单个谓词的指针路径中不会都是归纳变元。对于定理(d)来说,A={m,n->r},B={m}, X={m,n,n->r},Y={m}。

此外,我们定义函数NUM(x)求解集合的元素个数。根据NUM(A)和NUM(B)的值,我们得到三种情况。P与Q都没有归纳变元,直接交给Z3证明;P与Q只有一边有归纳变元,直接证明交给Z3证明;P与Q都有归纳变元,到第二步。的左边和右边都有归纳变元,所以到第二步证明。

第二步,得到归纳变元与归纳方式。归纳变元应该是P和Q中归纳变元的交集R中的元素,但是R≠ A∩B,而是A和B的等价交集。这里等价交集的元素分两种情况,第一种是它们是同一个变量,另一种是指如果不为同一个变量时它们互为别名。别名的含义为两个指针指向同一个节点。

得到等价元素的算法如下:先定义P中的指针路径等式集合 {1,2..n},根据 ,我们可以得到若干个指针路径的等价群组{E1,E2..Em},每一个群组都应该包括一组相等的指针路径。现在我们需要知道{a1,a2,a3..ah}和{b1,b2..b1}是否有等价的元素。当它们等价时,它们的减去同样的后缀后,留下的指针前缀至少有一组同时出现在某一个Ei中。具体来说,有路径p->next->next->next和q->next->next,那么它有三组需要验证的指针前缀,是(p->next->next, q - > n e x t ) ,( p - > n e x t , q ) 和( p - > n e x t - > n e x t - > n e x t ,q->next->next)。指针路径p->next和q->l不可能等价, 因为p和q不是一种结构体指针。

得到归纳变元之后,我们要寻找归纳方式。按照之前的内容介绍,每个谓词的归纳方式都不同。 我们按照归纳方式最有限制的谓词来,归纳方式最有限制就是二叉树的不动点限制最多,或者归纳路径的数目最少。当然我们可能有多种不同的最有限制的归纳方式,我们就一一尝试,如果每一个证明结果都是错误,我们就对性质定理报错。根据以上方法,很容易得定理(d)的归纳变元是m,归纳方式是m->r。

第三步,证明归纳基始。这个过程就是按照谓词的不动点的定义化简性质定理,然后交给Z3证明。 化简得方式就是将不动点的定义直接合取P。定理(d)的归纳基始:容易得证。

第四步,归纳假设的生成。我们按照第二步得到的归纳方式,将性质定理里的归纳变元替换为归纳路径就是归纳假设。有几种归纳路径,就生成几个归纳假设公式。定理(d)只有一个归纳路径,所以归纳假设为:

第五步,将归纳假设,归纳基始,所有谓词定义和其他性质定理作为条件,将性质定理本身交给自动定理器证明。如果证明结果如果为false,原型系统退出。

4原型系统简介

研究小组设计并且实现了面向Pointer C语言的的程序验证原型系统(简称原型系统)。它的基本流程为以下三个步骤:

1)预处理阶段(编译器前端)。这个阶段处理Pointer C语言,包括词法分析,语法分析和类型检查。具体的过程是,对程序员的源程序(包括编程语言跟断言语言)进行词法分析和语法分析,生成符号表和抽象语法树AST。同时还要进行类型检查,类型检查类似于C语言。

2)程序分析阶段(形状系统):遍历(1)生成的程序的语法树AST,根据形状图逻辑的演算规则生成各个程序点的形状图,还要进行形状检查和得到循环不变图。

3)程序验证阶段(验证条件生成器):以函数为单位,根据程序员提供的函数的循环不变式和前后条件,按照最强后条件演算方法和专有逻辑形状图逻辑演算得到验证条件,最后将验证条件交给自动定理证明器证明。

现阶段原型系统已经可以通过以下程序的验证, 一种是不涉及易变数据结构的非指针程序,快速排序,二分查找,二叉堆(数组实现)等;另一种是涉及易变数据结构的指针程序(全部包含性质定理跟自定义归纳谓词),有序单(双)链表的插入删除,有序单(双)向链表逆置,有序单链表合并, AA树插入,平衡二叉树、二叉排序树、treap树和splay树的插入和删除。

对原有的原型系统来说中,通过验证的大多数实例都包含性质定理。系统在假设其正确的情况下对所有的实例进行程序验证,实际上这种验证结果并不可靠。而在本文的工作实现之后,现有的实例中所有的性质定理都通过了验证,之前原型系统通过的实例的正确性得到了保证。

5总结与相关工作比较

本文的内容主要是实现了当前所有包含谓词的测试用例里中性质定理的自动归纳证明。性质定理描述了自定义谓词之间的关系,它和自定义谓词一样由程序员自己提供,其目的是辅助自动定理证明器证明验证条件。自动定理证明器的局限性,使其在不提供性质定理的情况下,需要推导出归纳性质的验证条件证明失败。此外,自动定理证明器也不具备归纳证明的方法。本文通过对性质定理本身以及谓词的分析给出了一种自动证明归纳定理的方法。

近年来,还有很多其他的国内外实验室也在开发源码级的验证工具。比如,Veri Fast是一个可以验证C和Java程序的工具原型[6]。它为了提高表达程序性质的能力,允许程序员定义归纳数据类型(类似于结构体定义)及其上的递归函数,还有允许定义基于分离逻辑的谓词。递归函数跟本文归纳谓词的最大区别是,递归函数需要提供更多参数,实际表达含义可以一样。

Veri Fast和本文的验证工具还有一个区别就是, 程序中的定理证明由程序自己提供。因为这个证明过程在Veri Fast中就是一个函数。但是本文是原型系统的工作,程序员只需要根据形状图分析书写性质定理就可以了,难度相对会小不少。此外,Dafny[7]工具的最新实现[8]和本文方法的自动证明定理的方法很接近似。它和我们原型系统一样,提供性质定理,在Dafny中叫做lemma。同样对lemma进行归纳证明,不过它和我们原型系统不同的是,它作的是自然数归纳证明,并且允许多个变量归纳的情况。

还有其他一些类似于本实验原型系统的工具, 大多数验证工具都和原型系统一样,引入自定义谓词提高程序断言语言的表达能力,比如有[9,10]。但是这些工具都没有提供像本文中实现的自动证明性质定理的功能。而且这里面的某些工具,为了验证谓词归纳性质的方便性,在编程语言中限制了循环语句的使用,极大的降低了编程的灵活性。

参考文献

[1]ZHANG Zhi-tian,LI Zhao-peng,CHEN Yi-yun,et al.An Automatic Program Verifier for Pointer C:Design and Implementation[J].Journal of Computer Research and Development,2013,Vol.50(No.5):1044-1054.

[2]Zhaopeng Li,Yu Zhang,Yiyun Chen.A shape graph logic and a shape system.Journal of Computer Science and Technology.28(6):1063-1084,Nov.2013.

[3]XU Wen-yi,CHEN Yi-yun,LI Zhao-peng.Verifier Prototype for Programs with User-defined Predicates in the Assertion Language[J].Journal of Chinese Computer Systems,2013,Vol.34(No.7):1482-1486.

[4]SONG Yan-hui,LI Zhao-peng,CHEN Yi-yun.Automatic Inference of Pre and Post Shape Graphs for Pointer-type Recursive Functions[J].Journal of Chinese Computer Systems,to be published.

[5]Leonardo de Moura and Nikolaj Bjørner.Z3:An Efficient SMT Solver,Conference on Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems(TACAS),Budapest,Hungary.Vol 4963 of LNCS,pages 337–340,2008.

[6]Bart Jacobs,Jan Smans,Pieter Philippaerts,Frédéric Vogels,Willem Penninckx,and Frank Piessens.Veri Fast:A Powerful,Sound,Predictable,Fast Verifier for C and Java.In NASA Formal Methods,pages 41-55,2011.

[7]K.Rustan and M.Leino.Dafny:An Automatic Program Verifier for Functional Correctness.In LPAR-16,LNCS 6355,pages 348-370,2010.

[8]K.Rustan and M.Leino.Automating Induction with an SMT Solver.In VMCAI 2012,LNCS 7148,pages 315-331,2012.

[9]W.-N.Chin,C.David,H.H.Nguyen,and S.Qin.Automated verification of shape,size and bag properties via user-defined predicates in separation logic.Science of Computer Programming,doi:10.1016/j.scico.2010.07.004,2010.

3.几何定理的机器证明 篇三

几千年来，人们解几何题的招数，层出不穷，争奇斗艳，概括起来，不外这4类：检验、搜索、归约和转换，50多年来，数学家和计算机科学家费尽心思，循循善诱，把个中奥秘向计算机传授，使得计算机解几何题的能力日新月异，大放光彩，除了灵机一动加辅助线，或千变万化的问题转换之外，前3种方法计算机都学得十分出色了，用机器帮助，以至在某种程度上代替学者研究几何，帮助乃至代替老师指导学生学习几何，已经从古老的梦想变为现实。

在几何定理机器证明中，采用代数方法，引进坐标，将几何定理的叙述用代数方程的形式重新表达，证明问题就转化成判定是否能从假设的代数方程推出结论的代数方程的问题，这样把几何问题代数化，自笛卡尔以来已是老生常谈，并无实质困难，然而代数化的过程，坐标点的选取和方程引进的次序都可能影响到后续证明的难度，甚至由于技术条件的限制，影响到证明是否可能完成，也就是说，几何问题化成纯代数问题之后，也并不见得一定容易，更不能说就能实现机械化了，这不仅是因为解决这些代数问题的计算量往往过大，令人望而却步，还因代表几何关系而出现的那些代数等式或不等式常常杂乱无章，使人手足无措，从这些杂乱无章的代数关系式中要找出一条途径，以达到所要证的结论，往往要用到高度的技巧，换句话说，即使你不怕计算，会用计算机来算，也不知道从何算起。

解几何题是思维的体操，是十分有吸引力的智力活动之一，图形的直观简明，推理的曲折严谨，思路的新颖巧妙，常给人以美的享受，许多青少年数学爱好者，往往首先是对几何有了浓厚的兴趣，用计算机证明几何问题，如果仅限于用平凡而繁琐的数值计算代替巧妙而难于入手的综合推理，则未免大煞风景，通过计算机的大量计算判断命题为真，确实是证明了定理，这是有严谨理论基础的，但这样的证明写出来只是一大堆令人眼花缭乱的算式、数字或符号，既没有直观的几何意义，又难于理解和检验，这跟几何教科书上十行八行就说得明明白白的传统风格的证明大相径庭，如果计算机给出的这一堆难于理解和检验的数据也算是几何问题的解答，这种解答只能叫做不可读的解答。

4.面面垂直的性质定理0 篇四

1.探究平面与平面垂直的性质定理

2.面面垂直的性质定理的应用

3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养转化思想.重点难点：

重点:平面与平面垂直的性质定理.难点:平面与平面性质定理的应用.自主学习：

复习：（1）面面垂直的定义.（2）面面垂直的判定定理.图

1思考：①黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面

垂直？

②如图1，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD

垂直吗？

合作交流：

①如图,若α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B.请同学们讨论直线AB

与平面β的位置关系..质疑探究：

1.线线垂直与线面垂直与面面垂直之间的转化.2.线面垂直的判断方法，你能总结出几种？那几种？

基础达标：

1.判断下列命题的真假

①两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于

另一个平面.()

②两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一

平面垂直.()

③两个平面垂直，分别在这两个平面内的两条直线互相垂直.（）

④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.()

2.已知直线l,m,平面,，且l,m，给出下列四个命题

①若∥，则lm②若lm，则∥

③若，则l∥m④若l∥m，则

其中正确命题的序号是

达标检测：

1.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个

不同的平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若

m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.其中正确的命题是()

A．①③B．②③

C．①④D．②④

2.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB．

5.角平分线的性质定理教案 篇五

慧光中学：王晓艳

教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理；

（2）能够运用性质定理证明两条线段相等；

教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。教学难点：角平分线定理的应用；

教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程：

一，新课引入：

1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点？ 操作：（1）画一个角的平分线；

（2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。

（3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。2．定理的获得：

A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明，得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。B、分析此定理的作用:证明两条线段相等；

应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。3．定理的应用 二．例题讲解：

例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF（此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）FBPACE

例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点E、F，圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。

求证：BC=EF（此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件）

M

CQBAEONF

三：课堂小结：

①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离;②若图中有角平分线，可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习

1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2 求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。

A1EBDFC

方

一、延长AD到AE，使DE=AD，再连接CD。（此方

法前面已经重点讲过，这里不再考虑）

方

二、过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，①利用全等证明

②利用面积相等证明

2．练习的拓展： 已知：如图，D是BC上一点，AB=3㎝，AC=2㎝

求：① S⊿ABD ：S⊿ADC

② BD ：CD

ABDC

五．课后小结

1、本节课所学习的重要定理是什么？

2、定理的作用是什么？应用该定理必须具备什么样的前提条件？

3、若图中有角平分线常采用添加辅助线的方法是什么？

4、基本图形拓展：此图中根据已知条件还可以得到那些结论？若连接AP，EF还可以得到哪些结论？

慧光中学：王晓艳

教师的成长在于不断地总结教学经验和进行教学反思，下面是我对这一节课的得失分析：

一、教材分析

本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级上册11.3角平分线的性质的第一课时。角平分线是初中数中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形知识打好基础.二、学生情况

八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。借助于课件的优势，能使脑、手充分动起来，学生间相互探讨，积极性也被充分调动起来。教法和法学

通过创设情境、动手实践，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，寻找解决问题的途径和方法。

在教师的指导下，采用学生自己动手探索的学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

三、教学过程设计

首先，本节课我本着学生为主，突出重点的意图，结合课件使之得到充分的诠释。如在角平分线的画法总结中，我让学生自己动手，通过对比平分角的仪器的原理进行作图，并留给学生足够的时间进行证明。为了解决角平分线的性质这一难点，我通过具体实践操作、猜想证明、语言转换让学生感受知识的连贯性。

其次，我在讲解过程中突出了对中考知识的点拨，并且让学生感受生活中的实例，体现了数学与生活的联系；渗透美学价值。<<角平分线的性质>>教学反思

再次，从教学流程来说：情境创设---实践操作---交流探究---练习与小结---拓展提高，这样的教学环节激发了学生的学习兴趣，将想与做有机地结合起来，使学生在想与做中感受和体验，主动获取数学知识。像采用这种由易到难的手法，符合学生的思维发展，一气呵成，突破了本节课的重点和难点。

四、本节课的不足

本节课在授课开始，我没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用，并且没有在尺规作图后将平分角的学具与角平分线的画法的关系两相对照。

在授课过程中，我对学生的能力有些低估，表现在整个教学过程中始终大包大揽，没有放手让学生自主合作，在教学中总是以我在讲为主，没有培养学生的能力。

对课堂所用时间把握不够准确，由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间，以至于在后面所准备的习题没有时间去练习，给人感觉这节课不够完整。再就是课堂上安排的内容

《角平分线的性质》说课稿

慧光初级中学 王晓艳

我说课的题目是《角的平分线的性质》。下面，我从教材分析、教法与学法、教学过程、设计说明四个方面对我的教学设计加以说明．

一、教材分析

（一）地位和作用：

本节课选自新人教版教材《数学》八年级上册第二章第三节，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．

（二）教学目标

1、知识目标：（1）探索并证明角平分线性质定理的逆定理.（2）会用角平分线性质定理的逆定理解决问题了解尺规作图的原理及角的平分线的性质.2、基本技能

让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的判定，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。

3、数学思想方法：从特殊到一般

4、基本活动经验：体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验

设计意图：

通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.（三）教学重难点

进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把本节课的教学重点定为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用，难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）

教学难点突破方法：

（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．

二、教法和学法

本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”．鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优组合．

教学辅助手段：根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体PPT课件，几何画板软件教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．

四、教学过程

（一）创设情景 引出课题

出示生活中的数学问题：

问题1 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上 标出它的位置，比例尺为1：20 000）？

［设计意图］利用多媒体渲染气氛，激发情感．

教师利用多媒体展示，引领学生进入实际问题情景中，利用信息技术既生动展示问题，同时又通过图片让学生身临其境般感受生活。学生动手画图，猜测并说出观察到的结论．李薇同学很快就回答：“在两条路夹角的平分线上，因为由昨天我们学习的角平线的性质定知道到角两边路离相等的点在角的平分线上。”其余同学对这一回答也表示了认可。此是教师提问：角平分线的性质的题设是已知角平分线，结论是有到角两边距离相等，而此题是要求角两边距离相等，那这个点在这个角的平分线上吗？这二者有区别吗？”学生晃然明白过来这二者是有区别的，此时教师引导学生分析：“只要后者是正确的，那李薇同学的回答也就可行了，这便是今天我们要研究的内容”由此引入本节新课。．

[设计理由］依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的第一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，复习了角平分线的性质，为后续的学习作好知识上的储备．

（二）、主体探究，体验过程

问题2交叉角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。）

追问1你能证明这个结论的正确性吗？

结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理．教师归纳，强调定理的条件和作用．同时强调文字命题的证明步骤．

［设计意图］经历实践→猜想→证明→归纳的过程，培养学生的动手操作能力和观察能力，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维．

追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？

这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性。

质可用来证明线段相等．

（三）巩固练习，应用性质。让学生运用本节所学知识分步来解决课前所提问题。让学生体会生活中蕴含数学知识，数学知识又能解决生活中的问题，感受数学的价值，让人人学到有用的数学。

在教学的实际过程中，重视学生的亲身体验、自主探究、过程感悟。在教学中，给学生一段时间去体悟，给他们一个空间去创造，给他们一个舞台去表演；让他们动脑去思考，用眼睛去观察，用耳朵去聆听，用自己的嘴去描述，用自己的手去操作。这种探究超越知识范畴而扩展到情感、价值观领域，使课堂成为学生生命成长的乐园。为了让学生做到学以致用，在判定证明完后，我让学生回头来解决问题1，对于问题1的解决作了如下分解：在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．

（1）这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？

（2）若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？

（3）如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？

这样有梯次的设问为学生最终解决问题1作了很好的分解，学生独立解决这道路问题也就变得很简单了。同时在分解问题（3）时，有学生说作三角的平分线找交点，有学生反驳说作两条就可以了因为第三条角平分也一定过这个交点。此时老师及时提问任意三角形的两内角平分线的交点在第三个角的平分线上吗？那么我们来作下面的探究。（教师出示问题2：如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 这样提出问题连惯性强，让学生的思维始终处于活跃和不断对知识的渴求探索中。

（四）归纳小结，充实结构

1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？

2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？

教师让学生畅谈本节课的收获与体会．学生归纳、梳理交流本节课所获得的知识技能与情感体验．

［设计意图］通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力．

五、布置作业

作业，必做题：教材习题12.3第3、7题； 选做题：课时通上选做部分题。

［设计意图］设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容，面向全体学生，人人必须完成．选做题要求学生根据个人的实际情况尽力完成，使学有余力的学生得到提高，达到“不同的人得到不同的发展”的目的．

6.立体几何定理性质 篇六

【学习目的】

1.理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；

2.进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.【学习重点】平面与平面垂直的性质定理；

【学习难点】平面与平面垂直的性质定理的应用；

【学习过程】

一、复习回顾：

复习1：面面垂直的定义是什么？

复习2：面面垂直的判定定理是什么？

二、新课探究：

（一）探究：平面与平面垂直的性质

问题1：观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?

问题2：概括结论：

新知：平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.反思：这个定理实现了什么关系的转化?

（二）概念巩固

练习：已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l，判断下列命题的正误.(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（）

(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β（）

(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（）

波利亚：从最简单的做起。

三、典型例题讲

例1：如图，已知平面,，，直线a满足a，a，求证：a∥面.例2： 如图，四棱锥P

ABCD的底面是个矩形，AB2,BCPAB是等边三角形，且侧面PAB垂直于底面ABCD.⑴证明：侧面PAB侧面PBC；

⑵求侧棱PC与底面ABCD所成的角.变式练习：如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB。C

四、总结提升

※ 学习小结

※ 知识拓展

两个平面垂直的性质还有：

⑴如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面； ⑵三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.⑶如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；

你能试着用图形和符号语言描述它们吗?

五、课堂作业

课本73页，A组5

7.质点几何定理证明的机器实现 篇七

几何定理机器证明是自动推理领域内的一个热门课题.1977年, 吴文俊先生提出的“吴法”[1,2,3,4]使得几何定理机器证明的研究取得了重大进展.通常, 几何定理机器证明方法可分为三大类:代数法, 人工智能法和几何不变量法.代数法的优点是证明效率高, 缺点是可读性差;人工智能法虽然可读性好但效率低、不完备;几何不变量法的可读性介于代数法和人工智能法之间, 证明效率与代数法也在伯仲之间.

质点几何使用了比几何不变量更抽象的对象———质点, 作为基本几何元素.莫绍揆先生在文献[5]中系统地阐述了质点几何的理论和方法.质点几何支持对点直接进行线性运算, 在处理仿射几何问题时较方便, 为发展出一种可读性更好、效率更高的几何定理机器证明方法提供了可操作的依据.

邹宇等人采用质点几何作为模型, 在质点几何的基础上, 通过调用函数搜索质点在点表中的位置, 从而调用向量表中相应位置数组进行运算, 建立了能处理希尔伯特交点类命题的仿射几何机器证明算法MPM, 发展了基于几何点的可读机器证明方法[6,7].

本文是在参考文献[6]的工作基础上, 针对其只是对质点所一一对应的数组做运算而非质点本身消点运算的问题, 作了纯质点代数运算.消点过程比邹宇的数组法简明.每一步消点过程都有相应的质点关系式输出, 每个质点关系式又对应于相应的几何信息, 消点过程结束, 质点关系也就都明确了, 再利用待定系数法而非数组计算法来判定结论语句是否成立, 使得每一个步骤的几何意义都非常明确.建立了能处理构造型几何定理的证明器MMP, 并通过Matlab语言实现机器证明.

1 质点几何

1.1 预备知识

质点几何使用了质点作为基本的几何元素.莫绍揆先生在《质点几何学》一书中系统地阐述了质点几何的理论和方法.质点几何支持对点直接进行线性运算, 在处理仿射几何问题时较方便, 为发展出可读性更好、效率更高的几何定理机器证明方法提供了依据.

质点是一个既有位置又有质量的基本几何元素, 其质量为一个实数, 可正可负以及零.质点几何的创新之处在于质点均有质量.当质量为非零实数时, 质点表示一个点, 或者其对应的位置;当质量为零时, 质点表示一个矢量, 或者其对应的方向.

通常, 用小写希腊字母ω, ξ, ψ, …表示质点, 用大写英文字母A, B, C, …表示平面上的点, 用小写英文字母a, b, c, …表示实数, 将位于点P处质量为m (m≠0) 的质点记作m P.在不引起混淆的情况下, 将位于点P质量为1的单位质点1P也简记成P.质点几何中常用的基本定理和运算律主要有:

1) 实数r与质点ω的数乘决定唯一质点rω.

2) 两质点ω1, ω2的和决定唯一质点ω1+ω2.

3) 若P1, P2, P3是质点平面的一组基, 则该平面上的任一点P都可以由这组基点线性表示, 即必存在3个和为1的实数k1, k2和k3, 使得P=k1P1+k2P2+k3P3.

4) 点P在直线AB上当且仅当存在一个实数k使得P=k A+ (1-k) B.

5) A, B, C三点共线当且仅当存在实数m和n, 使得m A+n B+ (1-mn) C=0.

6) 直线AB平行直线CD当且仅当存在一个实数k使得A-B=k (C-D) .

7) 对任意质点ω1, ω2和ω3, 任意实数a和b, 有如下运算律:

ω1+ω2=ω2+ω1 (交换律) ;

a (bω1) = (ab) ω1, ω1+ (ω2+ω3) = (ω1+ω2) +ω3 (结合律) ;

aω1+bω1= (a+b) ω1, aω1+aω2=a (ω1+ω2) (分配律) .

1.2 构造型质点几何命题

质点法不是利用尺规作要证定理的几何图形, 而是使用一种叫做“构图语句”作图步骤按题中的已知条件一步一步地向图中引入新点, 直到作出几何图形中全部的点为止.

构造型几何命题的前提能用有限的构图语句序列C0, C1, …, Cn描述, 这里的构图语句C0必须是初始构图语句, 其他构图语句即后继构图语句中出现的质点, 除了新引进的质点外, 其余的都必须是前面的构图语句所引进过的质点.

质点法使用引入点的“构图语句”来描述要证定理的前提, 本文主要构图语句有以下几条:

C0:Free Points (X, Y, Z) :在平面上任作不共线三点X, Y, Z

C1:Free Point (X) :在平面上任作一点X

C2:Point On Line (X, A, B) :在直线AB上任作一点X

C3:Midpoint (X, A, B) :作线段AB的中点X

C5:Translation (X, A, B, C) :作过点A且平行线段BC的直线上一点X

C6:Intersection (X, A, B, C, D) :作AB, CD两直线的交点X

2 证明器的设计

2.1 证明器的架构

MMP证明器主要由模块Mmprove、Loadgs和Cinter组成.

当要利用该证明器证明几何定理时, 首先将要证明的几何命题转化成相应的构图语句存储在文本文件中, Matlab通过调用模块Mmprove中的Loadgs读取该文本文件, 并利用模块Loadgs将构图语句转化成相应的消点公式, 来实现消点过程, 其中求两直线交点的消点公式还需要交点模块Cinter的辅助, 依据质点几何的基本原理和法则完成证明器的实现.

2.2 Loadgs模块

2.2.1 几何命题的输入

证明器MMP的模块Mmprove顺次阅读构图语句, 调用相应的消点公式生成, 显示质点关系式, 几何定理结论以结论等式的形式输出

Loadgs模块将文本文件中的含有待定系数x的结论质点等式 (EQ标识所在的行) 读入到符号变量eq中, 将要验证的待定系数的值 (XV标识所在的行) 读入到符号变量xv中.xv的取值为“exit”, 表示xv的值只要存在就可以.若xv的值是数或符号表达式, 则表示结论质点等式中的待定系数取此值才成立, 否则不成立.

Loadgs模块将初始构图语句Free Points (A, B, C) 引入的3个点A、B和C存储到基点列表base.构图语句序列中的其它后续语句所引入的点都可直接或间接地用前面已引入的点线性表示出来.将这些质点关系式称为构图语句所引入点的消点公式.Loadgs模块根据质点几何中的有相关的基本命题, 可以直接求出下列构图语句所引入点的消点公式:

Free Point (X) 所引入点X的消点公式:

Point On Line (X, A, B) 所引入点X的消点公式:

Midpoint (X, A, B) 所引入点X的消点公式:

DPDP (X, A, B, λ) 所引入点X的消点公式:

Translation (X, A, B, C) 所引入点X的消点公式:

上述消点公式中的a和b都是表示实数的符号变量, λ是实数或为表示实数的符号变量, X1, X2和X3是质点平面的一组基点.

2.2.2 消点公式

在质点平面上任作三个线性无关的单位质点X, Y和Z.将这三个单位质点选定为其所在的质点平面的一组基后, 那么构图语句序列中的其它语句所作的点都可直接或间接地用这组基线性表示出来,

这些质点公式分别叫做构图语句所作点X的消点公式.具体情况如下:

这里, a和b都是取值为实数的符号变量, λ、u0和v0是取值为实数的符号常量, 这些值决定了点X在平面上的确切位置.

2.3 Cinter模块

在上述消点公式中只有消点公式 (epf6) 需要复杂计算得到.下面给出求消点公式 (epf6) 的Cinter模块, 该模块使用前面构图语句所作点的消点公式列表epfs和3个基点, 求两直线AB和CD交点X的消点公式 (epf6) 中的u0和v0.

将消点公式列表epfs中新引进的质点Xi (i=1, …, n) 依次存储到初始值为空的元胞数组points中, 建立方程eq=u A+ (1-u) B-v C- (1-v) D.依次检验元胞数组points中质点Xi (i=1, …, n) 是否为eq中的符号常量, 若Xj是的话, 则用对应的消点公式epfsj替换掉Xj, 继续循环, 直至eq没有质点Xi (i=1, …, n) 出现, 此时eq只由基点的关系式表示.设基点对应系数分别用E1, E2和E3表示, 令Ei=0 (i=1, 2, 3) , 解此方程组得u0和v0的值.

3 Matlab实验

我们用Matlab编写程序实现了MMP证明器, 下面是利用该证明器解题的例子.

(高斯线定理) 设A、B、C、D是平面上的四点, E是AB、CD的交点, F是AC、BD的交点, P、Q、R分别是AD、BC、EF的中点, 则P、Q、R三点共线.

在文本文件中输入:

Free Point D

XV exist

下面是Matlab程序给出的实现过程:

消点过程:

消点结束后, 令EQ=0, 写成f1 (x) A+f2 (x) B+f3 (x) C=0形式.

这里, 系数fi (a, b) 都是a和b的线性表达式, 其中i=1, 2, 3.因A, B和C线性无关, 可得

这是一个含有3个一元一次方程的超定线性方程组, 由所作几何图形的合理性可知该方程组的解是存在的.解一元一次方程f1 (x) =0, 求出其解, 分别带入方程f2 (x) =0和f3 (x) =0中, 经验算f2 (x0) =0和f3 (x0) =0成立, 则原方程组有且仅有唯一解.

待定系数x值存在, P, Q, R三点共线.

4 结论

本文在质点几何基本定理和法则的基础上, 总结归纳质点法解题的特点, 建立了能处理仿射几何定理机器证明的消点过程, 并利用待定系数的方法而非数组计算法来判定定理结论是否成立, 使得每一个质点关系式的几何意义都非常明确.本文基于质点法处理几何点本身, 易于扩展和融合, 形成了具有完全性的消点过程.由于可以对点直接进行运算, 质点法的消点过程比面积法或向量法简明, 并通过Matlab程序实现.

本文的质点法是继面积法之后又一个能对构造性几何命题生成可读证明的完全的消点过程.运行结果显示, 本文的方法不仅效率高, 程序自动生成的证明条理简明清晰、语义简洁易懂、几何意义明确、储存信息丰富, 可读性强.此外, 由于可以对点直接进行运算, 质点法的算法和编程比面积法或向量法都要简明.本文基于点的可读机器证明的研究为扩展和融合其他已有的可读证明方法提供了基础, 也为几何的研究提供了一个新的工具.

随着计算机技术的发展和机器证明方法的不断改进, 几何定理可读证明的研究成果为研制的智能几何软件如几何专家、超级画板等提供了更广阔的平台.

摘要：本文针对质点法生成的目标关系式的过程不简明, 缺少明显几何意义的问题, 提出了一种具有较高可读性算法的几何定理证明器MMP.首先, 直接从消点公式推导目标关系式, 该方法不再使用质点坐标而直接对质点进行运算;其次, 利用三个模块架构证明器, 形成了具有完全性的消点过程;最后, 利用待定系数法判定结论语句.由于可以对点直接进行运算, 该证明器的消点过程比原有质点法具有明显的几何意义和较高运算效率.

关键词：质点几何,证明器,消点法,机器证明,自动推理

参考文献

[1]吴文俊.初等几何判定问题与机械化证明[J].中国科学 (A) , 1977, 6:507-516.

[2]Wu W T.On the decision problem and the mechanization of theorem-proving in elementary geometry[J].Scientia Sinica.1978, 21:159-172.

[3]Wu W T.Mechanical theorem proving in geometries:Basic principles[M].Springer, New York, 1994.

[4]Wu W T.Mathematics Mechanization[M].Science Press, Kluwer, 2000.

[5]莫绍揆.质点几何学[M].重庆:重庆出版社, 1992.

[6]邹宇.几何代数基础与质点几何的可读机器证明[D].广州:广州大学, 2010.

8.立体几何定理性质 篇八

【中图分类号】G　【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2012）09B-

0076-01

几何学知识有着严密的逻辑体系。几何定理反映着事物的一些基本规律。对于几何定理的教学，要注重探究分析，激发和培养学生的学习兴趣，这样才能通过教学培养学生的空间想象能力和分析推理论证能力。

一、揭示定理内涵，激发和培养学生的思考兴趣

在几何定理的教学中，要使学生对定理的证明判断得当、推理有据，教师必须引导学生探究定理的内涵。在讲授新定理之前，要向学生交代学习目标，激发其求知欲。每个几何定理的内容都可以划分成“题设”和“结论”两个部分，为了训练学生学会分析定理的文句，教师应精心设计问题，让学生指出定理中什么是条件，什么是结论，把这两部分划分开来。另外，通过扩写或缩写定理可以帮助学生理解定理。如把“对顶角相等”扩写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。训练学生利用“如果……，那么……”的句式，把定理划分为“题设”和“结论”两个部分，然后作出符合条件的图形，并证明之。通过探究，学生会发现和总结出一些规律，从而激发和培养他们的思考兴趣。

二、注重直观教学，激发和培养学生的发现兴趣

几何知识往往具有抽象性，要使学生理解几何定理的意义，我们要注重直观教学，通过实地调查、实物操作、模型演示、图表展览等，提高学生的学习兴趣，为学生进行抽象思维准备充足的感性知识。例如在教学三角形内角和定理时，让每一个学生都用量角器量角的方法求出任意一个三角形的三个内角的和，学生发现所得的结果会近似等于180°。也可以让学生把△ABC纸片的∠A、∠B剪下来，和∠C拼在一起，得出三个内角的和是180°的结论。在这种动脑、动手的教学活动中，学生学习兴趣浓厚、积极性高，对所学知识印象深刻、记忆牢固。

三、加强分析研究，激发和培养学生的推理兴趣

对一个几何定理，特别是比较复杂的定理，要求学生一下子就能对其全面深刻地掌握是做不到的。在教学时，教师要善于引导，从实际出发，按照认识事物的规律，引导学生思考，使他们逐步理解掌握定理。例如证明梯形中位线定理的教学。

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AM=MB，DN=NC，如图1。

求证：（1）MN∥BC；

（2）MN=（AD+BC）。

有些新教师由于教学经验不足，教学时往往是不加分析地照本宣科，以至学生对于为什么要作辅助线和证明△ADN≌△ECN，只是知其然而不知其所以然，完全没掌握证明的基本线索，不能消化证明的过程。

而有经验的教师往往用分析研究的方法来证明这个定理，取得事半功倍的效果。首先，从需要求证的结论来说明补充作图的目的。要证明MN∥BC，只要证明MN平行于梯形ABCD的任意一条底边就可以了。要做到这一点，我们可以利用已有的定理来证明吗？教师向学生提出这个富有挑战性的问题，往往能调动他们的学习积极性。学生会很容易地联想已学过的三角形中位线定理——三角形的两腰中点连线平行于第三边且等于第三边的一半。是否可以作出这样的三角形呢？为了作出这样的三角形，自然会想到取梯形两腰之一作为三角形的腰。若以AB为腰，A点作为三角形的顶点，则N点应该在三角形的另一腰上，于是就会进一步想到通过A引直线与BC的延长线相交于点E，这样就能了解画辅助线作图的目的了。然后，再证明MN是△ABE的中位线和AD=EC，就可以证明梯形中位线定理了。

因此，在教学中教师要善于揭示矛盾，使学生在矛盾中设疑、质疑、释疑，在迷惑中激起思维的波澜，开拓思路，在吃堑长智中“温故知新”。本例由于分析得深透，激发和培养了学生的推理兴趣，他们不仅很容易地掌握了梯形中位线定理的证明，而且还能不受课本图形的束缚，采用如图（2）、（3）、（4）的辅助作图方法，灵活地证明这个定理。

前苏联教育家乌申斯基指出：“没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。”所以，我们要根据学生的认识规律，通过多种途径激发和培养学生的学习兴趣。这样才能克服几何定理的抽象性带来的学习困难，有效地提高教学质量。

9.初中平面几何重要定理汇总 篇九

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)（直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边是c；则a*a+b*b=c*c）

2、射影定理(欧几里得定理)(直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明))

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点

8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上

12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)

圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD

18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD

20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。

22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1

24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)

25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线

27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M

29、塞瓦定理的逆定理：(略)

30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点

31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。

32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)

33、西摩松定理的逆定理：(略)

34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。

36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点

38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点

40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。

48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。

52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。

10.奥数平面几何几个重要定理 篇十

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其证明

定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有

D F P C A ADBE

DBECCF1． FAB E ADSADPSADC证明：运用面积比可得DBS． SBDPBDC根据等比定理有

SADPSADCSADCSADPSAPCSBDPSBDCSBDCSBDPSBPC，ADSAPCBESAPBCFSBPC所以DBS．同理可得，． ECSAPCFASAPBBPCADBECF1． 三式相乘得DBECFA注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，ADBECF1，那么直且D、E、F均不是ABC的顶点，若

DBECFA线CD、AE、BF三线共点．

证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有

AD/BECF1． /DBECFA A D/ D B F P C E ADBECFADAD/1，所以有/．由于点D、D/都

因为

DBECFADBDB在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．

二、梅涅劳斯定理

3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、B E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有

D E C G A F

ADBE

DBECCF1． FA证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．

CGCF因为CG // AB，所以 ————（1）ADFACGEC因为CG // AB，所以 ————（2）DBBEADBECFDBBECF1．由（1）÷（2）可得，即得 DBECFAADECFA注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．

4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明

定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边ACADBECF1，的延长线上有一点F，若

DBECFA

那么，D、E、F三点共线．

证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有

AD/BECF1． /DBECFA D/ D B E A C F ADBECFADAD/1，所以有/．由于点D、D/都因为

DBECFADBDB

在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．

三、托勒密定理

5．托勒密定理及其证明

定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有

AB·CD + BC·AD = AC·BD．

证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE =BAM．

因为ADB =ACB，即ADE =ACB，所以ADE∽ACB，即得

D E A M B C ADDE，即ADBCACDE ————（1）ACBC由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABE∽ACD．即得

ABBE

，即ABCDACCDAC ————（B2）

由（1）+（2）得

BC

ADABCDACDEACBE ．所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．

注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．构造有特点，不容易想到，要认真分析题目并不断尝试．

6．托勒密定理的逆定理及其证明

定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四点共圆．

证法1（同一法）：

在凸四边形ABCD内取一点E，使得EABDAC，EBADCA，则EAB∽DAC．

A B 可得AB×CD = BE×AC ———（1）

AEAB且 ADAC

———（2）

则由DAECAB及（2）可得DAE∽

E D C CAB．于是有

AD×BC = DE×AC ———（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)． 据条件可得 BD = BE + DE，则点E在线段BD上．则由EBADCA，得DBADCA，这说明A、B、C、D四点共圆．

证法2（构造转移法）

延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C共线，则命题获证）

那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆． A/B/

因此，ABA/DB/C/，BDBC/

A/ B/ A B C/D． BDD C C/ //ABADBCCD////

可得 ABBC.BDA/C/

另一方面，AC/A/DACAD//AC，即． CDCDABA/DBCC/DACA/D

欲证=，即证

CDBDABCDA/DBCCDC/DACBDA/D

//

即 BCCDCD(ACBDABCD)AD．

据条件有 ACBDABCDADBC，所以需证

BCCDC/DADBCA/D，//CDCDADAD，这是显然的．所以，即证A/B/B/C//ACA/、B/、C/共线．所以A/B/B与BB/C/，即

////互补．由于ABBDAB，BBCDCB，所以DAB与DCB互补，即A、B、C、D四点共圆．

7．托勒密定理的推广及其证明

定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有

AB×CD + BC×AD > AC×BD

A B E D C 证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得EABDAC，EBADCA，则EAB∽DAC．

可得AB×CD = BE×AC ————（1）

AEAB且

————（2）ADAC则由DAECAB及（2）可得DAE∽CAB．于是

AD×BC = DE×AC ————（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知

AB×CD + BC×ADAC×BD 所以BE + DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE + DE > BD．

所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．

四、西姆松定理

8．西姆松定理及其证明

定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其

延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．

证明：如图示，连接PC，连接 EF 交BC于点D/，连接PD/．

B F A D C E P 因为PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE =FEP．

因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC =BCP，即FAE =BCP．

所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆．

所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC．

由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得D、E、F三点共线．

注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．

（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法．

五、欧拉定理

9．欧拉定理及其证明

定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示．则有G、O、H三点共线（欧拉线），且满足OH3OG．

BOHADEC

证明（向量法）：连BO并延长交圆O于点D。连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC．则

OHOAAH ——— ①

因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD为平行四边形．

从而得AHDC．而DC2OE，所以AH2OE．

1因为OE2OBOC，所以AHOBOC ——— ②

由①②得：OHOAOBOC ———— ③ 另一方面，OGOAAGOA2GFOAGBGC．

GCGOOC，所以 而GBGOOB，

1OGOA2GOOCOBOGOAOBOC 3—— ④

由③④得：OH3OG．结论得证．

注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法；

（2）此题也可用纯几何法给予证明． 又证（几何法）：连接OH，AE，两线段相交于点G/；连BO并延长交圆O于点D；连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC，如图．

因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD为平行四边形．

可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE．

因为AH // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得AHG/∽

BEOG ADHCEOG/．所以

AHAG/HG/2//． OEGEGO1AG/2由/，及重心性质可知点G/就是ABC的重心，即GE1G/与点G重合．

所以，G、O、H三点共线，且满足OH3OG．

六、蝴蝶定理

10．蝴蝶定理及其证明

定理：如图，过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF，连接CF和ED，分别交AB于P、Q，则PM = MQ．

证明：过点M作直线AB的垂线l，D / FF C/E C / A QQ M P B 作直线CF关于直线l的对称直线交圆于点C/、F/，交线段AB于点Q/．连接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．据圆的性质和图形的对称性可知：

MFQ =MFP，FQM =FPM； //

//且FF/ // AB，PM = MQ/． 因为C、D、F/、F四点共圆，所以

CDF +CFF = 180/

/

0，而由FF/ // AB可得Q/PF +CFF/ = 1800，所以

CDF =QPF，即MDF =QPF． /

/

/

/又因为Q/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/．所以有

MDF =MQF． /

//这说明Q/、D、F/、M四点共圆，即得MF/Q/ =Q/DM． 因为MF/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM．而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM．这说明点Q与点Q/重合，即

得PM = MQ．

此定理还可用解析法来证明： 想法：设法证明直线DE和CFx轴上的截距互为相反数．

证：以AB所在直线为x轴，段AB的垂直平分线为y轴建立直坐标系，M点是坐标原点．

设直线DE、CF的方程分别为

x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；

直线CD、EF的方程分别为

y = k1 x，y = k2 x ．

则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为

(y –k1 x)(y –k2 x)+(x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0．

整理得

(+k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2–[(k1+k2)+(m1+m2)]xy

–(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0． 由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须

+ k1 k2 = 1 +m1 m2 ≠ 0，且

(k1+k2)+(m1+m2)=0．

DFAQEMyCPBx在线角

若=0，则k1k2=1，k1+k2=0，这是不可能的，故≠0； 又y轴是弦AB的垂直平分线，则圆心应落在y轴上，故有(n1 + n2)= 0，从而得n1 + n2 = 0．

这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数，即得PM = MQ．

注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题．如本题，四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙．运用它解题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题．