几何直观教学实例

几何直观教学实例（精选11篇）

1.几何直观教学实例 篇一

借助几何直观 凸显有效教学

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011版）》提出的数学课程十大核心概念之一，主要是指“利用图形描述和分析数学问题。”“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”从过程而言，它与文字、数字、符号、表格等相区别，主要体现在“利用图形”；从结果来说，“不同的学生具有不同的几何直观水平”，是一种静态能力与数学素养的反应。

小学生的思维水平正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。培养和发展学生的几何直观能力，成为小学数学教育中的一个备受关注的问题，以下是我在教育教学过程中关于几何直观的一些思考与探究。

一、几何直观有利于把抽象的数学概念直观化，帮助学生理解概念 学生在进入小学学习之前，他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知识、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识基础上添砖加瓦，新知识的学习就变得更简单。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也达到了所需的教学效果。

我们经常借助实物、点子图、计数器、未画完整的直尺、数轴让学生直观感知，例如在一年级上册中，学生刚开始学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。在以后的学习中，随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。从学生的思维活动过程来看，在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，经历了由一般到特殊的思维过程，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解和掌握数的基本概念。

二、几何直观使计算中的算式形象化，帮助学生理解算理 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。

在低年级时，有些较复杂的实际问题用“几何直观”的方法来帮助分析题意，学生才容易理解。比如有这样一个问题，“妈妈买来一些桃，上午吃了一半，下午又吃了剩下的一半，盘里还剩下3个，妈妈原来买了多少个桃?”。一些学生对逆向思考的数量关系难以理解，教学时教师可以用正方形画图来表示问题意思，帮助学生理解题意。（如图）

有了这个直观图形的支撑，学生很容易推想原来桃子的个数，3×2=6个，6×2=12个。

在低年级的教学中，教师要有意识引导学生学会看懂图示语言，体会到示意图的既简洁又形象，容易找到解决问题的思路的优点，让学生对图示语言产生好感和画图的愿望，培养“几何直观”的意识。

再如三年级教学“平均数”时，可以利用条形统计图，直观理解移多补少的方法，理解平均数的意义。又如“两位数除以一位数”的笔算除法算理，就是让学生通过摆小棒，理解线平均分整捆的小棒，所以要从被除数的最高位除起。这样学生就能明白为什么要这样计算，而不是被动的接受，死记硬背。

在利用直观图解决数学问题时，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。几何直观的培养应伴随推理能力的发展，贯穿在整个小学数学学习过程中。

三、应用几何直观，提高学生的能力

几何直观的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形象巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把这种思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数与数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓学生的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。

简单的排列和组合题，也可借助直观的图形，在很好的解决数学问题的同时也培养了学生的推理能力。此外在植树问题中，借助线段图向学生直观展示非封闭路线植树相关概念和类型（间隔、间隔数、两端要栽、只载一端、和两端不载）

倒推问题中借助“几何直观”来分析也很有效。五年级学习用倒推法解决的实际问题特点很明显，学生往往知道要用倒推的策略，但较复杂的倒推问题在分析时，学生却不容易理解其中的数量关系，容易导致思路的混淆。所以教会学生画倒推示意图来分析题意尤为重要。比如，“小明原来有一些邮票，今天有收集了24张，送给小军30张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？”

画出这种方框加箭头的图更加容易理解，思路一目了然。我们可以看出几何直观通过数形结合的思想在小学数学的很多知识领域的可以帮助学生启迪思路，理解数学。

几何直观，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，充分展现问题的本质，帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点发展学生的思维。实践证明，抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形使之形象化、直观化、简单化，有助于提升学生解决问题的能力，同时还有助于培养学生的符号意识、模型思想，提升学生的数学素养。

总之，教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透几何直观思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这是我们小学数学教学努力追求的目标。

2.几何直观教学实例 篇二

一、注重直观感知

数学中有很多推理过程需要学生自己凭借生活经验, 采用有效的数学手段去解决。这里, 几何直观扮演着至关重要的角色。学生要是能善于运用几何直观, 很多问题就能直观形象地展现出来, 理解的问题攻克了, 解决起来就不是问题。所以在教学中, 教师要在学生面对问题时, 让他们充分地思考, 探究解决问题的多种方法, 让学生体会到几何直观是解决问题的一种有效手段, 感知几何直观的重要性。如在教学二年级的“分一分与除法”时, 教师要给学生创造充分的活动空间, 让学生亲自动手分一分、圈一圈、画一画、摆一摆等, 体验平均分的过程, 加深学生的直观感知, 从而理解平均分的意义及与除法的关系, 辨析乘除法之间的不同, 为后面的解决问题打下坚实的基础。

二、注重数形结合

我国著名的数学家华罗庚说:“形缺数时难入微, 数缺形时少直观。”数形结合思想是重要的数学思想, 其实质是使数量关系和空间形式巧妙地结合起来, 将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 借助几何直观把数形结合思想更好地反映出来。例如:“小丽前面有9人, 后面有4人, 这一队有多少人?”对于一年级的学生, 他们有时很难想到题中还有个隐含的“小丽”, 往往列出来的算式是“9+4=13 (人) ”。要是借助直观图形展现出排队的情况, 学生就非常醒目地发现队伍由三部分构成:前面的人、小丽和小丽后面的人, 算式也自然会变成“9+1+4=14 (人) ”。在这个过程中, 教师要引导学生体会示意图对解决这个数学问题的重要作用, 感受画图策略的价值。学生也在不断学习中积累经验, 丰富解决问题的方法。遇到像“从前往后数, 小丽排第9, 从后往前数, 小丽排第4, 这一队一共有多少人”的问题, 学生就会联想到直观图的作用, 以直观图形作桥梁, 分析题中数量关系, 从而解决数学问题。

三、注重直观印象

针对不同的教学内容, 教师要创造性地使用教学, 适时地利用实物和模型为教学服务, 因为实物和模型承载着很多数学信息, 需要学生去观察、去探索。在几何教学中, 我们往往要准备很多实物和模型, 让学生在“玩一玩、看一看、摸一摸、剪一剪、拼一拼、画一画”的过程中观察感知, 了解几何图形的特征, 形成空间观念。如在教学“正方体、长方体的认识”时, 我让学生观察事先收集好的各种正方体、长方体盒子, 放手让他们活动, 学生通过看一看、摸一摸、数一数、比一比、量一量等活动, 总结出正方体和长方体的特点, 发现它们之间的异同。这种探究的形式, 学生兴趣很高。他们不但能积极参与其中, 让自己有切身的感知, 而且能集思广益, 展现集体的智慧, 学到真实的数学知识, 而不是机械的记忆。这样的教学模式也体现了新课标“数学知识, 思想方法, 必须由学生在实践中理解、感悟、发展, 而不是单纯依靠教师的讲解去获得”的理念。

四、注重多媒体应用

多媒体技术不但给学生展现了丰富多彩的图形世界, 提供了直观的演示和展示, 表现了图形的直观变化, 也给学生展示其不易想象的图形, 扩大其空间视野, 并多了一条解决问题的途径。多媒体的运用给教师的教学提供了有力的工具, 也为学生的学习建立了直观基础。如教学“钟表”一课时, 由于课堂时间有限, 要验证1时=60分时, 要是仅仅靠老师的讲, 学生只能是机械记忆, 很难真正理解。利用多媒体展现时针走一大格分针正好走一圈的过程, 给予学生视觉感知, 使他们从中发现时和分的关系, 学生的印象才深刻, 才能真正理解其中的缘由, 后面的解决问题才能有依据, 做到得心应手。

3.在教学当中发挥几何直观概念 篇三

关键词：数学教学；几何直观；有效性；学习兴趣；几何

数学能够无误地揭示宇宙的真谛，它是自然数据之宠儿，是科学之左膀右臂，是社会文明发展的主力军，是人类精神的自由之神，是揭示一切事物规律的宝贵财富。让学生提起对数學的兴趣，认识到数学的魅力，是教师的天职。

一、培养几何直观的概念的意义

数学是开启思维与智慧大门的神钥，是照亮智慧之城的明灯，那么，当我们在授课的时候，通常都要求学生认真地去思考、去解决问题。当我们面对数学这门奥秘学科的时候，我们如何化难为易地去解决其中的难题？我们如何在数学思维当中，培养出学生的“几何直观”的概念，让学生从情景逻辑思维方式转化到真正的图文并茂的方式，形成新的解决问题的思维方式？

面对数学当中的难点问题的时候，我们以往的做法是通过公式证明出来。我们现在不仅要把难题的思维培养出来，更要把握数学中难题的绘图来去证明。这是许多数学教学者在以前都很难想到的，比以往传统的教学更加科学和规范。面对教学当中的难题，我们可以通过画圆来证明。在一个图形中，我们可以通过垂直等分线去判断去证明。

二、激发学习的兴趣

当我们发现一个问题的时候，我们需要把问题先理清理顺。只有在解决难题当中，通过把问题进行分析，才能更好地去证明。那么，我们面对一个数学难题的时候，我们需要用绘图的方式表现出来。我们通过什么图去表现出来，这就是许多的学生所面临的难题。我们可以通过在几何图形当中去画垂直线，而把几何图形更好地直观地表现出来。当我们真正用图画的形式表现出来，那么学生的兴趣就会高涨。面对一个几何难题的时候，许多学生通过看图识画就能一眼去认明白。这样学生的兴趣来了，教师在课堂当中的教学也会更加生动有趣。

三、通过几何画图顺利解题

面对数学当中提出的新观念“几何直观”，我们可以通过几何的观点去看待，许多难题都可以通过它得到解决。当我们在做证明题的时候，我们以往的方式是通过文字的思维去做出分析，做出判断，现在我们有了几何直观的新观念，就可以通过圆规直尺更加能清晰地画出图形来去进行分析。这样我们在证明几何难题的时候，能更好地得到几何难题的答案。让我们通过几何画图的方式，对几何难题能做出更好的预判。几何图形可以让我们更好地直接地预算出结果来，让我们在图画当中去明白这道难题的最终的结果。这在以前，我们是想象不到的。以前面对一个几何难题的时候，我们都是运用公式去见证，通过函数的公式去进行分析，去解决问题。现在我们有了几何直观的画图的概念，就能更好地把几何当中的难题得到解决。在实际的运用当中，我们可以通过数学中的几何图形更好地去分析难题，更好地得到最终的预判的结果。面对几何直观的新概念，我们应该在实际数学解决难题当中去见证。有了数学几何直观来解决数学难题，教师可以通过最生动的图画就能把数学当中的几何难题得到解决，而学生也能在几何难题当中，更加直观地知道难题的解决方式。这样大家在数学中更加有兴趣，教师也能更好地在课堂中讲学。学生的积极性提高了，教师上的数学几何题也生动有趣了。

综上所述，数学教学方法多多，要讲方法，只要我们教师付出了，就一定有收获。在教学方面竭尽全力，贡献出自己的所有心血，这才是我们教师有效教学的终极追求。

4.几何直观教学实例 篇四

《数学课程标准》（2011年版）指出：“几何直观主要是指利用图形描绘和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的实力，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”由此可见，教师在教学过程中恰当地使用几何直观，能收到事半功倍的效果。在听了渝中区教研员罗继平老师的讲座 “图形与几何”后我对以往的教学进行反思，发现自己在这块下的功夫还不够。现在我就以往的教学结合这几天的反思谈谈在小学数学课堂教学中如何培养学生的几何直观能力。

一、识图中感知几何直观。

几何直观是借助图形对事物的认识，那么对图形的学习与认识以及运用图形的意识和能力就是几何直观的基础了。教学中要关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系。如在教学《线段、射线、直线》一课时，通过展示科学家用激光器发送到月球的一束激光图片，视觉上给学生直观的认识，引出射线是一条线段将它的一端无限地延长所形成的图形。让学生很容易发现射线的特点，尤其射线是一个理想化的概念，几何直观的感受凸显的更加重要。日常教学中要多采用学生喜爱的“看一看、摆一摆、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，更好地感知几何直观。

二、画图中培养几何直观。

几何直观在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，通过画图可以将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。因此，在小学数学教学中激发学生的画图兴趣，促进几何直观能力的发展，是十分重要的。数学兴趣是推动学生不懈追求的一种内在驱动力，而画图兴趣则是几何直观教学的载体。教学中要善于启发和创设情境，激发学生的画图兴趣，培养学生的几何直观能力。如在教学二年级《几倍》一课时，创设游玩动物园的情景：动物园里有6头小狮子，2头大狮子，小狮子的头数是大狮子的几倍？让学生尝试用自己喜欢的图形画一画，来表示6是2的几倍？通过画图，学生很直观地看出6里面有3个2，也就是说6是2的3倍，这样为抽象的倍的概念建立了具体形象的表象，理解起来轻松很多，以后在学习较复杂的“和倍、差倍”问题时，学生会很容易想到画直观图帮助解决问题。课上通过用自己喜欢的方式画图，激发了孩子画图的兴趣，并抓住教学契机让学生展示自己的作品，说出自己的想法，及时对学生进行表扬鼓励，激发学生作图的热情。

三、数形结合中发展几何直观。

华罗庚先生的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中，有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值。其实质是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与直观图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来，从而顺利、有效地解决问题。小学数学教学中，应特别注重数形结合思想的渗透，从而更好地发展学生的几何直观能力。

在低年级运算教学中，借助数射线将抽象的“数”直观形象化，有助于理解运算，将运算直观形象化。例如：“加法”就是在数射线上继续向右数；“减法”就是在数射线上先找到“被减数”，然后再向左数；“乘法”就是在数射线上几个几个地向右数；“除法”就是在数射线上先找到“被除数”，然后向左几个几个地数，如果恰好数到“0”，就是除尽，数了几次，商就是几，当不能恰好数到“0”，就产生了余数，数射线是理解“有余数除法”的形象化载体。

5.几何直观教学实例 篇五

摘 要： 教师要采取合理有效的措施，加强对学生几何直观能力的培养，这不仅有利于学生独立的发现问题，解决问题，而且能够使学生在这个过程中形成良好的图形感知，进而提高思维想象能力，在面对问题时能够全方位、多角度地思考问题、解答问题，将复杂的问题简单化。教师要全面贯彻落实新课改，增强学生的几何直观能力。

关键词： 初中数学教学 几何直观 能力培养

一、实施图景结合教学，培养学生想象力

教师在教学过程中，要采取科学、有效的教学策略，提高学生观察事物、分析事物的能力，在课堂教学中融入相应的图景教学，丰富学生的图景体验，注重学生对几何的直观感知能力的培养。当然这不是一蹴而就的，对几何的直观感知需要长期不断积累，更需要学生充分实践与探索，加强学生对几何直观的理解与认识。

比如，在学习矩形、菱形这一章节时，为了提高学生对图形特点的认识与区分，教师可以在课前让学生进行实践训练，手工制作出可灵活变动的平行四边形。平行四边形是之前就学过的章节，学生对平行四边形的特性已经有了基本的掌握，平行四边形与矩形又有着联系与区别，这对与矩形的学习有一定的帮助。教师要指导学生对平行四边形的边进行转动，使其成90度角，然后让学生观察得到的四边形与之前的平行四边形有什么异同。学生能够发现这个四边形四个角都是直角，且对边相等。接下来，对矩形进行对折，可以从中看出不管是上下对折还是左右对折，两边的图形都会完全重合在一起，这就是轴对称图形。这种真实的图景体验能够使学生直观认识到矩形的特点，即使不通过课本也能够总结出矩形的相关概念及性质。在这种课堂模式下，教师为学生提供了实践的平台，使学生充分参与到课堂自主探究活动中，亲自动手实验，尤其是在几何图形的学习过程中，学生将所要学习的图形进行裁剪、折叠，不仅提高了学生的学习兴趣，而且培养了学生的动手能力，进而提高了学生几何直观的能力，为学生对问题的有效解决奠定了基础。

二、实施多媒体教学，丰富学生课堂体验

新课标实施以来，要求教师要转变教学观念，丰富课堂教学形式，注重对学生综合素质的培养。体现在数学教学中，就是要不断提高学生的逻辑思维能力，激发学生自主探究问题的兴趣。多媒体教学集视频、图片、声音于一体，具有生动性与丰富性，打破了传统教学的单一模式，给学生丰富的课堂体验，这种多媒体形式下的“几何直观”教学，能够充分调动学生的感官，激发学生的想象力与创造力，进而提高学生的几何直观能力。

比如，在人教版的初中数学中，学习圆与圆的位置关系这一章节时，学生理解起来比较吃力，而且圆与圆的位置关系并不是单一的，而是随着不同的距离而变化的，形成了多种复杂的位置关系。教师在教学过程中，受条件与环境的限制，不能为学生生动地展示这些位置变化的情况，因此必须借助多媒体手段进行演示。教师可以在课前根据教材制作一些动画课件。在多媒体技术的支持下，始终保持一个圆的位置不变，然后对另一个圆进行不同的位置变换，分别向学生演示什么是外离，什么是外切，什么是相交，等等，让学生直观明了地对这些知识形成基本的认识，不同的位置关系用不同的颜色标记出来，加强对这些重点知识的理解与记忆。有关圆与圆位置关系的概念及性质有很多，既有一定的相似性，又有着明显的区别，学生在学习过程中容易混淆。因此，教师要通过多媒体形式将这些圆的位置关系充分展现出来，多媒体动画的演示方便快捷，而且更直观、明了，能够帮助学生正确理解知识，避免陷入误区。

三、实施数形结合，提高学生看图能力

在数学学习过程中，很多问题都是可以用图形的形式解决的。数形结合在函数、二元一次方程组等都得到了广泛应用，有利于学生对问题的准确把握。举个例子，在学习不等式的解法时，也同样可以将不等式转化为直观的图形，使学生的解题思路更清晰。例：求满足22，|x-1|<5，然后对这两个不等式分别解出，最终得到答案。本题相对容易一些，一旦遇到更复杂的问题，这种解题方法往往是行不通的。因此，教师有针对性地培养学生采用数形结合的方式解答问题。对于本题，可以用数轴向学生演示，将题目中间的一部分也就是|x-1|看做是一个整体，然后再结合数轴，可以知道这道题的意思就是x与1之间的距离大于2且小于5，那么从数轴上可以得出符合条件的整数，避免那种复杂的分情况讨论的方式，为学生的解题提供了方便，也降低了题目的难度与复杂性，这也是学生解题的一种有效途径，能够进一步提高学生的几何直观能力。

6.关于几何直观的思考 篇六

作者：秦德生，„ 文章来源：《中学数学教学参考》2005年第10期 [摘要] 随着数学课程标准提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。本文从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念的辨析，追溯几何直观的哲学基础，提倡“直观型”的课程设计，挖掘几何直观能力培养的教育价值。

[关键词] 几何直观；课程标准；哲学基础；教育价值

当前，数学教育界都在关注数学课程标准[1][2]的制订与实施，关注数学课程改革，而几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”这也与康德的“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”观念是相同的。随着《普通高中数学课程标准》[2]提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观成为数学教育中的一个关注问题；经过适当的发展，相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。

在此，笔者试图从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念辨析，追溯几何直观的哲学基础，挖掘几何直观能力培养的教育价值。现将自己的一些想法就正于各位同行专家．

1．我国对几何课程基本要求的演变

我国解放后首次制定(1952年)的中小学数学教学大纲中提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维”，中学数学应“发展学生生动的空间想像力,发展学生逻辑的思维力和判断力”[3]。以后的中小学数学教学在能力培养方面的要求一直是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”。1963年根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为“计算能力、逻辑推理能力和空间想像力”(传统的三大能力)。1978年的中小学数学教学大纲中，又增加了“培养学生分析问题和解决问题的能力”。1988年的九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”,这种要求一直持续至今。《义务教育阶段国家数学课程标准》

(征求意见稿，2000年)在发展性领域中，明确提出能力培养任务是思维能力的培养，“应使学生在定量思维、空间观念、合情推理的演绎论证等方面获得发展”。2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》中指出，要“培养初步的思维能力和空间观念”。

2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[1]提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”[1]．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》[2]指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”[2] 从我国几何课程基本要求的演变来看，从空间想象能力到空间观念，再到几何直观能力，对几何教学的要求不尽相同，那么，什么是几何直观，它与直觉、空间观念、空间想像能力等名词之间有联系或者区别么？我们来进一步探讨。

2．几何直观概念的内涵及典型观点辨析 2.1 什么是直观

数学家克莱因认为，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”[4]；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。

蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态[5]。

徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[6]。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。

他们从数学、哲学、心理学等角度给直观包括几何直观下了定义，但我们认为直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联，2

可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势。

2.2 直观与直觉

直观与知觉在英文中都是单词Intuition，但二者并不是完全相同，直觉不等于直观。

从研究对象来看直觉的对象不一定是可视的对象，直观的对象一定是可视的。从过程来看，直观与个人的经验、经历有关，直观有层次性，直观是从一个层次看到更深刻的层次或本质；在同一个层次不是直观而是直觉，直觉是有原因与结果的关联，是一个平面上的，属于同一个层次。从功能来看，直观是用来发现定理的，而直觉用来证明定理的。

2.3 直观与想象

传统的数学教学中,空间想像力“指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力。麦吉(Megee,1979)认为，空间想像力包括“在心理上操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力”，朱文芳认为“空间想像能力是完成空间认知任务的桥梁,空间思维能力起着决定性的核心作用”[7]。心理学家通常认为,想像(imagination)以表象为基本材料,但不是表象的简单再现，是指“在头脑中对已有表象进行加工、改造、重新组合形成新形象的心理过程”。

我们认为，空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。

所以，我们建议：普通高中数学课程标准中对几何目标的叙述修改为“培养和发展学生的几何直观能力和借助几何直观进行推理论证的能力，从而培养运用图形语言进行交流的能力以及空间想象能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”这样叙述应该更恰当和准确。

3．几何直观的哲学分析 3.1 直观主义

直观化，本来是数学基础中的直观主义流派，出于数学概念和方法的“可信性”考虑而提出的基本主张，其中心内容是“存在必须是被构造”。可见数学中的直观主义就是哲学中的康德主义，主张数学的概念由人类理性构造而成。数学对象的构造就是人们先验地在直观中画出与概念相应的图形，所以构造数学对象 3

需要非经验的直观。人们在这种纯粹直观中构造出一个具体的图形，这一图形能够代表所有与某概念相应的图形，这说明人们在纯直观中构造的图形具有与概念相同的普遍意义，因此在几何直观中构造出了具体的图形就是构造出了相应的概念与数学实体。

笛卡儿认为，直观是纯粹理性的，但作为理性的东西并不能完全摆脱或无视某些经验，可见这二者是矛盾的，直观的确定性与与非逻辑性相矛盾，直观不能保证普遍原理的确定性，直观具有发现真理功能，但不能兼备证明真理、确保真理可靠性的功能。

3.2 几何直观的历史性

毕达哥拉斯时代,人们的数学直观里浸透了整数是万物本质的哲理；非欧几何产生以前,人类的数学直观里有着欧氏公理是先验不变的真理的观念；非标准分析又使一度失去了对无穷小的直观在更抽象的层次上恢复；而今计算机造成的外移动的超立体的图象,又对我们关于高维空间的抽象直观充实了具体感性。所以数学直观是历史概念，数学直观在每个历史时期,其抽象性和直观性都具有不同的内涵。

数学中的抽象性带有理论和哲学色彩，几何直观带有经验、思想和感情因素。复数的引入，是因逻辑上的需要而直接引进的“理想元素”，被赋予某种实际意义后，以几何直观解释为中介，同现实世界建立了间接联系，从而提高了它的可信性。复数，在它被引入后的最初两个半世纪中一直“给人虚无缥缈的感觉”，直至维塞尔、高斯等人相继对它作出了几何解释与代数解释，把它与平面向量a+bi或数偶 对应，才“帮助人们直观地理解它的真实意义”，并取得了实际应用．所以，它不仅被数学理论所决定，并随着数学理论的发展而发展，而且它也避免不了当时人类整个文化情境对个人心理上的影响。直观是随着人类理性的进步而进步的。换言之,几何直观的建立和发展是一个历史过程。它并不是一个从古到今就一直存在着的永恒的人类用来认识数学现象的中性框架，几何直观是一种进化的产物，可以进行更高层次的创造性活动。因此一个人在不同年龄阶段所表现出的数学直观能力可以看作是整个人类在这方面历史发展过程的缩影。

3.3 直观与形式的统一

数学作为一门精确科学，其研究活动必须以量和质、形式和内容的分离为前 4

提，把前者从自然界的普遍联系中抽取出来，加以抽象，在不断形式化的过程中实现它的精确性，这个过程就是数学化，换言之，就是数学抽象发展与现实世界的紧密结合，它既可以描述具体问题的数学模型，也可以反映各种层次的数学概念或规律的更高层次抽象．数学抽象概念发展的“直观——形式——直观”模式，是一般科学概念发展的“具体——抽象——具体”模式的特殊表现形式，它深刻地反映了数学活动的基本矛盾，数学通过形式化而实现精确性，又因为形式化而减弱客观性，直观化具有原始的创造性，它的历史性决定不允许完全客观的有理化．

直观与形式之间矛盾的解决，只有在形式化和直观化的矛盾运动中才可能实现，正是二者之间的矛盾推动了数学的发展以及科学的发展。从创造力来看，直观能引出数学的发明,直观能决定理论的形式和研究方向；从在数学证明上看,直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。数学直观的世界与因果感觉的世界是对立的，数学思维不能完全形式化，数学思想是独立于语言的形式之外，但数学又必须通过形式来表达，使其严格化。因此，数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返朴归真，这正是数学发展的辩证过程。

4．几何直观的课程设计

课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识之间有机地融合、依赖几何直观的“直观型”课程成为数学课程设计的主流之一。我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一。从函数的图象教学、三角函数的单位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何直观。可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工具。因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。

当然，我们也要注意不能用几何直观来代替证明、注意几何直观带来的认识上的片面性。例如，对指数函数 与直线 的关系的认识，因为教材中通常都是以2或10为底来给出指数函数的图形，在这两种情况下，指数函数 的图形都在直线 的上方，于是，便认为指数函数 的图形都在直线 的上方。教学中应避免这 5

种因特殊赋值和特殊位置的几何直观得到的结果所带来的对有关概念和结论本质认识的片面性和错误判断。[2] 5．几何直观能力培养的教育价值

几何通常被喻为“心智的磨刀石”，几何在数学研究中起着其实、联络、理解、甚至提供方法的作用，而几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学家依赖直观来推动对数学的思考，数学教育家们依赖直观来加强对数学的理解。直观推动了数学和科学的发展。而数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。

首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。

其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础, 有助于学生对数学的理解。借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。

最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。

几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，那么如何培养学生的几何直观能力、如何更好地发挥几何直观性的教学价值，是每个数学教育工作者都应该深思的问题。

7.几何直观:小学数学教学的新视域 篇七

一、对“几何直观”及相关概念的解析

“几何直观”的提出并不是构建一个新的数学概念,而是化抽象为具体,帮助儿童加深对数学的理解,把抽象的数学意义转换成易于理解和运用的直观形式,引导儿童形成各种直观的概念意象,灵活地运用各种几何直观形式,帮助儿童理解数学。

(一)什么是“直观”

所谓直观,《辞海》(第六版)的解释是:“(1)即感性认识。其特点是生动性、具体性和直接性;(2)指旧唯物主义对认识的理解。”《中国大百科全书》的解释是:“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。”通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。这里的直观不仅仅是指直接看到的东西,更重要的是依托现在看到的东西和以前看到的东西进行思考和想象。

(二)什么是“几何直观”

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中发挥着重要作用。”正如数学家希尔伯特在其名著《直观几何》一书中所谈到的:“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题;可以帮助我们寻求解决问题的思路;可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”几何直观凭借图形的直观性特点,将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来,启迪学生的思维,促进学生的数学思考。

(三)“几何直观”是否等同于“数形结合”

通过理论学习,我们发现两者既相互交融又有不同。数形结合涉及图形中的“形”与数量中“数”两个对象,其中“形”主要是指几何图形和坐标系中的图象;而几何直观中的图形不仅包括数形结合中的“形”,也包括凭借相关经验在头脑中想象出的图形、图示甚至不规则的示意图。数形结合包括“以形助数”和“以数解形”两个方面。在解决问题时,借助“形”的直观来理解抽象的“数”,同时反过来用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征;几何直观含有数形结合中“以形助数”的方面,但还包括由“形”到其他领域的问题。如借助长(正)方体的展开图研究其表面积、用割补等方法探究平行四边形的面积等。研究“几何直观”的最终目的是发展儿童的几何直观能力,促进其数学思考方法的发展,从而提高解决实际问题的能力。

二、发展儿童“几何直观”的教学实践

在小学数学课堂教学中发展儿童的几何直观,能帮助儿童更好地理解数学本质和促进其思维的发展,提升儿童分析问题和解决问题的能力,而且有助于创新意识和实践能力的培养。几何直观既是一种方法,又表现为儿童运用这种方法的能力。几何直观能力包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力等。

(一)借助直观模型,发展儿童形象思维

所谓形象思维又称“直感思维”,是指以具体的形象或图像为思维内容的思维形态。它对于发展儿童的几何直观十分重要。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学问题与直观的图形表象相结合,抽象思维与形象思维相结合,直观表述出问题的本质,帮助儿童思考。借助“直观模型”可以促进儿童积极地思考、分析问题,从而发展思维能力。如教学人教版五年级下册“打电话”时,教师抛出研讨问题:李老师要通知7名同学到校,如果用打电话的方式,每分钟通知1人,怎样能够尽快通知到这些同学?至少需要几分钟?请你大胆猜测一下。教师话音刚落,“7分钟、6分钟、5分钟……”学生的答案此起彼伏。“到底谁的答案正确呢,你们能不能想办法说明一下?”教师引导学生把抽象的问题通过示意图,直观地表达出来,促进其思考。

在表达思考过程时,绝大部分学生利用画树状图的形式来描述。这样,把复杂的数量关系,简明、直观地呈现出来,并且学生借助示意图发现了其中的规律:从第2分钟开始,新增接到通知的人数是前1分钟人数的2倍。教学中,教师鼓励学生借助直观模型(示意图)把打电话通知的过程简洁地描述出来,用示意图辅助学生思考,学生通过画图、读图,找到了问题的答案,同时借助直观模型,发展了学生的形象思维。

(二)创设操作空间,发展儿童直观思维

所谓直观思维,就是人们不经过逐步分析,而迅速对问题的答案做出合理的猜测、设想或顿悟的一种跃进性思维。它与几何直观都具有思维的跳跃性。直观思维是在动手操作中发展起来的。因此,在教学中,教师应为儿童提供动手操作的机会,调动儿童的多种感官,使其参与到数学活动之中,充分感知大量直观形象的事物,获得感性认识,从而发展儿童的直观思维。如教学人教版三年级下册“两位数乘两位数”时,教师出示例题:每套书有14本,王老师买了12套。一共买了多少本?教师引导学生进行估算之后,提出问题:你能计算出一共有多少本吗?然后鼓励学生用手中的点子图,在上面画一画,找到解决问题的方法,并且写出自己的思考过程。随后展示学生的多样化算法,具体如下:

在操作过程中,教师引导学生借助点子图,通过圈一圈、画一画、写一写,建立起图、口算算式与笔算算式之间的联系,学生通过在点子图上表示出计算方法,将新知转化为旧知解决了新问题,其中图6学生呈现的解决方法与竖式计算的算理相对应,为后面学生理解竖式计算的算理和算法做好铺垫。学生在操作过程中,直观思维也得到了很好的发展。

(三)运用数形结合,发展儿童图形语言

著名数学家华罗庚说过:“形缺数时难入微,数缺形时少直观。”数形结合把抽象的数与具体的形有机结合起来,由图形带来的直觉,能增进儿童对数学的理解,激发他们的创造力,而对图形的探索和推导,则有助于培养儿童借助直观进行推理的能力,发展儿童的图形语言。如教学人教版五年级上册“植树问题”时,教师出示:六年级学生在全长1000米的小路一边植树,每隔10米栽一棵。一共需要准备多少棵树苗?请学生大胆猜测树苗的棵数。“100棵、99棵、101棵”学生中出现了不同的答案。“你们有没有办法来说明自己的思考?”在教师的启发下,学生一致认为,先研究数据小的情况。学生提出:先研究在全长20米的小路一边植树,每隔5米栽一棵。一共需要准备多少棵树苗?教师鼓励学生呈现自己的思考过程,绝大部分学生采用了画线段图的方法来表示出不同的栽法。

在解决问题时,学生通过数形结合把抽象的数学语言转化成直观的图形语言,建立了抽象与直观之间的联系,学生从直观图形中提取所反映的信息,发现其中蕴含的数量关系,帮助学生提高数学思考的能力,进而解决问题。因此,发展学生的图形语言是提高解决问题能力的重要途径。

(四)利用信息技术,发展儿童空间想象力

所谓空间想象力,就是人们对客观事物的空间形式(空间几何形体)进行观察、分析、认知的抽象思维能力。随着信息技术的不断发展与成熟,为数学研究提供了很多便利条件,尤其是在研究图形的旋转与平移等各种动态的数学问题中,借助信息技术手段,可以丰富研究和思考的形式,让一些需要想象的几何图形能直观地呈现出来。如教学人教版五年级下册“图形的旋转”时,教师设计了在方格纸上操作三角形旋转90°的活动(如图8)。首先,请学生想象三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后到方格的位置。其次,利用三角形学具,在有方格的纸上进行操作,对刚才的想象进行验证。最后,再次展开想象,如果依次绕点O顺时针旋转90°,连续旋转3次,最终会旋转成一个什么图案?(如图9)请学生大胆想象,之后教师通过多媒体课件的动态演示,验证学生的猜测。课上,教师将想象与操作有机结合,通过动态演示,有效地激发了学生的空间想象力。

三、发展儿童“几何直观”的教学建议

小学阶段儿童的思维是以具体形象思维为主要形式,逐步过渡到抽象逻辑思维,因此在小学阶段发展儿童的几何直观可谓是最佳时期。而发展几何直观需要遵循儿童的认知规律,循序渐进。教师在发展儿童“几何直观”时需注意以下几点。

(一)注重数学实验,积累丰富表象

几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式,它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”。因此,在观察、测量、画图等实验活动中,应运用多种感官参与,积累丰富表象。

(二)充分参与活动,经历探究过程

几何直观既是一种方法,又是一种运用方法的能力,因此,发展几何直观离不开有效的实践活动,只有儿童经历自主探索、发现和再创造,经历数学发现和体验的过程,才能获得能力的提升。

(三)运用几何语言,鼓励交流对话

发展儿童的几何直观,需要在教学中鼓励儿童大胆地把自己所看、所想用正确的几何语言描述出来,几何语言的运用是反映儿童几何直观水平的另一角度。

总之,发展几何直观对促进儿童学习数学具有十分重要的作用,同时它是儿童数学能力的重要组成部分。教学时,教师要依据儿童的年龄特点,以学习内容为依托,用直观架起具体与抽象的桥梁,逐步引导儿童借助“形”研究和思考问题,引导儿童穿梭于图形直观与抽象概念之间进行探索,从而提高儿童解决问题的能力。

参考文献

[1]孔凡哲,史宁中.关于几何直观的含义与表现形式---对《义务教育数学课程标准(2011年版)》的一点认识[J].课程·教材·教法,2012.

8.几何直观教学实例 篇八

数学活动经验是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的核心概念之一。重庆师范大学仲秀英教授认为，数学活动经验可以理解为学生从经历的数学活动过程中对活动的感受、体验、感悟以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等组成的有机组合性经验。其实，就经验本身而言，它就是一种“感受、体验、感悟”，具有较强的内隐性，所以在教学过程中，教师有时难以把握、调控与评价。为此，教师有必要借助几何直观教学，使内隐的数学活动经验得以外显，进而再根据这些外显的“证据”，对数学活动经验进行具化、调控与提升，从而实现数学活动经验的有效积累。

一、 借助几何直观“具化”数学活动经验

数学学习离不开直观形象思维，而对于积累数学活动经验的过程来说更是如此。借助几何直观教学，我们可以把复杂的数学问题变得简明、形象，与此同时，也可以将学生在学习过程中的感受、体验与感悟变得更具体、更直观。在数与形、图与形的沟通与联系中，那些看似虚无飘渺的数学活动经验慢慢地变得看得见、摸得着了。

教学片段：在教学《倍数和因数》时，教师开展了这样的教学活动：

师：你能找出12的因数吗？请在数轴上表示出来。

师生交流，在数轴上标出12的因数。

师：同学们，仔细观察数轴。看到这些因数，你想到了什么？

学生讨论后交流：

生1：我发现12最小的因数是1，最大的因数是12，也就是它本身。

生2：为了做到不重复不遗漏，我们可以成双成对地找出12的因数，比如说1、12；2、6；3、4。

生3：老师，我发现成双成对地找因数时，每组的两个因数越来越接近。

师：同学们，你们认为呢？

……

生4：老师，我有一个问题：是不是所有的数，它的因数个数都是双数个呢？

师：你的想法很有价值，那到底对不对呢？

生5：我们不妨再举些例子来试一试。

……

很难想象，一个数的因数能与几何直观图产生什么样的化学反应，然而，在上述教学环节中，教师却巧妙地借助数轴这个形象直观的载体，将学生的数学活动经验进行了定格与凝结。通过数轴上点与点之间的关系描述，教师简单而有效地捕获到了学生思维成长轨迹：因数中的最大数与最小数的特点、因数的分布特征、寻找因数的方法、因数个数的规律探究……更为重要的是，借助几何直观的“具化”作用，学生在思维的激烈碰撞过程中，从模糊到明晰、从简单到复杂、从模仿到内化，他们慢慢地积累了发现问题的经验、思考问题的经验以及解决问题的经验。

二、 借助几何直观调控数学活动经验

积累基本数学活动经验的过程也是数学活动经验的内涵之一。一般来说，积累基本数学经验的过程大致需要经过经历、内化、概括、迁移的过程。在这样的过程中，我们需要借助几何直观来发挥教师的主导作用，适时对积累数学活动经验的过程加以调控。

教学片段：在教学《解决问题的策略——转化》时，教师开展了这样的教学活动：

师：你会计算■+■+■+■吗？

生：■+■+■+■=■+■+■+■=■

师：很好，用的是通分的方法，这也是一种转化的策略。那么还有没有其他解决的方法呢？

（学生思考）

师：我们一起来观察下面这幅图（图1），它与算式之间有什么联系？

（学生讨论）

师：现在计算■+■+■+■，你有好的解决方法吗？

生：我认为可以这样计算：1-■=■，因为阴影面积=总面积-空白面积。

师：观察上面的几种解决问题的方法，你认为哪些转化策略的运用更为巧妙？为什么？

生：我认为是刚才的这幅图运用得很巧妙！有了它，我们可以把加法算式转化成了减法算式。

生：把算式用图形来表示出来，很直观，很好理解。

师：既然借助图形来解决问题有这么好，那它是不是灵丹妙药，什么时候都能运用呢？

（学生思考、讨论）

生：我认为将算式转化为图形时，也有一定的局限性。大家看，这里阴影部分的面积之间都有着2倍的关系，也就是说，■是 ■的2倍， ■是■的2倍……

（学生们点头表示赞同）

师：那是不是相邻的加数是2倍关系的时候，我们都可以借助这样的图去思考呢？

生：可以，比如说■+■+■+■+■（学生边说边画图），就可以转化为1-■=■。

生：我还可以举个例子：■+■+■+■+■+……■。

师：大家的想法很精彩。看到下面的图（图2），你又有什么想法呢？

（图2） （图3）

生：这里的加法虽然不是从■开始加起的，但这里的加数仍然有着两倍的关系，我认为可以这样来转化：1-■-■=■。

师：想得太好了！对于这样的图（图3），你又有什么新想法呢？

生：老师，我发现这样的转化方法还能用在整数的加法上，只要这里的加数存在着两倍的关系。

生：我想这里的转化策略不仅适用于整数、分数的计算，小数也可以！

在上面的教学片断中，教师借助几何直观开展了3次教学调控：在第一次调控中，教师引导学生将算式■+■+■+■与图1相联系，使学生认识到了这类分数算式中加数的特点，积累了数形结合的思考经验，感悟了“转化策略也有局限”的探究经验；在第二次调控中，教师借助图2，对■+■+■+■进行了变式与拓展，帮助学生积累了分析比较、灵活运用的经验；在第三次调控中，教师再次借助直观图（图3）引导学生将数学活动经验进行正向迁移，帮助他们积累猜想验证、归纳推理的经验。

从图1、图2到图3，在教师的适时调控之下，学生经历了不同层次的经验积累，从知识经验到技能经验、再到数学思想方法的经验，他们在质疑与反思中完成了自我内化与自我建构。endprint

三、 借助几何直观提升数学活动经验

学生需要掌握什么样的数学活动经验？是知识的经验、技能的经验，还是关于数学思想方法的经验？毫无疑问，这些数学活动经验我们都需要，数学教学离不开知识，在知识的学习过程中可以培养学生的能力，感悟数学的思想方法。然而，多年以后，知识可能会遗漏，技能可能会生疏，数学的思想方法也可能会淡忘，既然如此，那么什么样的数学活动经验才是学生受用一生的经验呢？

教学片段：在教学《乘法分配律》时，教师开展了这样的教学活动：

师：同学之间相互说说什么是乘法分配律。（学生互相交流）

师：大家已经知道了乘法分配律，那你还能用更简单的方法表示出来吗？（提示：可以用汉字、图形、字母或者你喜欢的方式来表示。）

学生尝试用不同的方法表示：

生1：（我+爱）×学=我×学+爱×学；

生2：（△+□）×○=△×○+□×○；

生3：（a+b）×c=a×c +b×c。

师：比较一下，哪种方法最好？为什么？

生4：第三种方法好，因为用字母来表示这个规律很简洁。

……

出示：

师：你能用两种不同的方法表示出这个图形的面积吗？

生1：（a+b）×c（教师板书）

生2：a×c +b×c（教师板书）

联系这个图和算式，你想到了什么？

生3：（a+b）×c =a×c +b×c

生4：这就是乘法分配律。

师：对！其实这幅图中就蕴涵了乘法分配律，而乘法分配律也可以用这幅图来表示。大家看，同样是乘法分配律，从不同的角度来审视，却有着不一样的精彩。其实，在生活中也是如此，我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！

在上面的教学中，为了阐述乘法分配律，教师设计了三个教学阶段：先用语言描述规律，然后用汉字、图形、字母符号来表示规律，最后用求长方形面积的图形来表示规律。其中，教师巧妙地借助几何直观将乘法分配律与图形进行了有机结合，实现了乘法分配律表达层次由低级到高级、表达形式由单一到多元的经验积累。与此同时，教师还引导学生从知识的文本中跳出来，引领他们用数学的眼光来观察世界、认识世界——“我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！”

数学是一种智慧。成尚荣认为：数学教育要“为智慧的生长而教”。因此，数学活动经验的提升不能禁锢于知识与技能的经验，也不能止步于思想与方法的经验，我们理应给予学生造就智慧人生的经验。在上述的三个教学阶段中，教师引导学生跳出了数学知识的文本经验，跨过了数学思想方法的经验，感悟了人生智慧的经验。从知识走进方法，从思想走近智慧，借助几何直观，数学活动经验的积累由此得到了质的提升与飞跃。

【责任编辑：陈国庆】endprint

三、 借助几何直观提升数学活动经验

学生需要掌握什么样的数学活动经验？是知识的经验、技能的经验，还是关于数学思想方法的经验？毫无疑问，这些数学活动经验我们都需要，数学教学离不开知识，在知识的学习过程中可以培养学生的能力，感悟数学的思想方法。然而，多年以后，知识可能会遗漏，技能可能会生疏，数学的思想方法也可能会淡忘，既然如此，那么什么样的数学活动经验才是学生受用一生的经验呢？

教学片段：在教学《乘法分配律》时，教师开展了这样的教学活动：

师：同学之间相互说说什么是乘法分配律。（学生互相交流）

师：大家已经知道了乘法分配律，那你还能用更简单的方法表示出来吗？（提示：可以用汉字、图形、字母或者你喜欢的方式来表示。）

学生尝试用不同的方法表示：

生1：（我+爱）×学=我×学+爱×学；

生2：（△+□）×○=△×○+□×○；

生3：（a+b）×c=a×c +b×c。

师：比较一下，哪种方法最好？为什么？

生4：第三种方法好，因为用字母来表示这个规律很简洁。

……

出示：

师：你能用两种不同的方法表示出这个图形的面积吗？

生1：（a+b）×c（教师板书）

生2：a×c +b×c（教师板书）

联系这个图和算式，你想到了什么？

生3：（a+b）×c =a×c +b×c

生4：这就是乘法分配律。

师：对！其实这幅图中就蕴涵了乘法分配律，而乘法分配律也可以用这幅图来表示。大家看，同样是乘法分配律，从不同的角度来审视，却有着不一样的精彩。其实，在生活中也是如此，我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！

在上面的教学中，为了阐述乘法分配律，教师设计了三个教学阶段：先用语言描述规律，然后用汉字、图形、字母符号来表示规律，最后用求长方形面积的图形来表示规律。其中，教师巧妙地借助几何直观将乘法分配律与图形进行了有机结合，实现了乘法分配律表达层次由低级到高级、表达形式由单一到多元的经验积累。与此同时，教师还引导学生从知识的文本中跳出来，引领他们用数学的眼光来观察世界、认识世界——“我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！”

数学是一种智慧。成尚荣认为：数学教育要“为智慧的生长而教”。因此，数学活动经验的提升不能禁锢于知识与技能的经验，也不能止步于思想与方法的经验，我们理应给予学生造就智慧人生的经验。在上述的三个教学阶段中，教师引导学生跳出了数学知识的文本经验，跨过了数学思想方法的经验，感悟了人生智慧的经验。从知识走进方法，从思想走近智慧，借助几何直观，数学活动经验的积累由此得到了质的提升与飞跃。

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三、 借助几何直观提升数学活动经验

学生需要掌握什么样的数学活动经验？是知识的经验、技能的经验，还是关于数学思想方法的经验？毫无疑问，这些数学活动经验我们都需要，数学教学离不开知识，在知识的学习过程中可以培养学生的能力，感悟数学的思想方法。然而，多年以后，知识可能会遗漏，技能可能会生疏，数学的思想方法也可能会淡忘，既然如此，那么什么样的数学活动经验才是学生受用一生的经验呢？

教学片段：在教学《乘法分配律》时，教师开展了这样的教学活动：

师：同学之间相互说说什么是乘法分配律。（学生互相交流）

师：大家已经知道了乘法分配律，那你还能用更简单的方法表示出来吗？（提示：可以用汉字、图形、字母或者你喜欢的方式来表示。）

学生尝试用不同的方法表示：

生1：（我+爱）×学=我×学+爱×学；

生2：（△+□）×○=△×○+□×○；

生3：（a+b）×c=a×c +b×c。

师：比较一下，哪种方法最好？为什么？

生4：第三种方法好，因为用字母来表示这个规律很简洁。

……

出示：

师：你能用两种不同的方法表示出这个图形的面积吗？

生1：（a+b）×c（教师板书）

生2：a×c +b×c（教师板书）

联系这个图和算式，你想到了什么？

生3：（a+b）×c =a×c +b×c

生4：这就是乘法分配律。

师：对！其实这幅图中就蕴涵了乘法分配律，而乘法分配律也可以用这幅图来表示。大家看，同样是乘法分配律，从不同的角度来审视，却有着不一样的精彩。其实，在生活中也是如此，我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！

在上面的教学中，为了阐述乘法分配律，教师设计了三个教学阶段：先用语言描述规律，然后用汉字、图形、字母符号来表示规律，最后用求长方形面积的图形来表示规律。其中，教师巧妙地借助几何直观将乘法分配律与图形进行了有机结合，实现了乘法分配律表达层次由低级到高级、表达形式由单一到多元的经验积累。与此同时，教师还引导学生从知识的文本中跳出来，引领他们用数学的眼光来观察世界、认识世界——“我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！”

数学是一种智慧。成尚荣认为：数学教育要“为智慧的生长而教”。因此，数学活动经验的提升不能禁锢于知识与技能的经验，也不能止步于思想与方法的经验，我们理应给予学生造就智慧人生的经验。在上述的三个教学阶段中，教师引导学生跳出了数学知识的文本经验，跨过了数学思想方法的经验，感悟了人生智慧的经验。从知识走进方法，从思想走近智慧，借助几何直观，数学活动经验的积累由此得到了质的提升与飞跃。

9.几何直观教学实例 篇九

几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。几何直观能力主要包括空间想像力、直观洞察能力、用图形语言来思考问题能力。用最通俗的话说几何直观，就是看图想事，看图说理，就是几何直观，说的挺形象。该如何从学习图形中获得最大的好处，这是作为数学工作者应该想的一件事情。如何帮助学生建立几何直观，下面结合我自己的教学实践，谈谈本人在教授这方面发展的策略。

一、加强空间观念的培养

我以为一个学生空间观念如何直接影响几何直观能力的高低，很简单地理由，空间观念不强（想象不出具体实物对应的图形）怎么用几何图形去解决实际问题呢？我相信，一个有着很强的空间观念的学生几何直观能力不会差到哪里的。

举个例子，我这样教学“正方体表面展开图”一课：

（一）操作一：正方体表面展开图可能是怎样的？

每人准备一个正方体的盒子，先想象把正方体六个面展开后，这六个面的位置可以怎样连？把图画下来；

动手剪一剪，看看剪下来的表面展开图和你画的是不是一样的？把展开图画下来。同时思考：你事先画下的（想象的）表面展开图和你剪出来的并不一样，那么是不是就说明围不成正方体呢？

引导学生接着操作，把图形剪下来，再折一折拼一拼，看看能不能围成正方体。（学生会发现，有的能，有的不能）

第一操作总结：看来正方体表面展开图有很多种情况啊。把你们一开始画的表面展开图贴到黑板上，根据学生所画所贴图情况，适当补充一些老师需要的情况。

（二）操作二：正方体的表面展开图有什么规律？ 引导学生猜测哪些是能拼成正方体的，哪些不能？在猜测的基础上再一一检验（通过折一折的方式）

最后引导学生把能折成正方体的表面展开图分一分类。总结出一般的规律.整个过程有操作、有想象、有找规律（实质是抽象），充分培养了学生的直观几何能力。

二、要充分的发挥图形给带来的好处。

我们都知道“兴趣是最好的老师”，“几何直观”作为一种能力，要想让学生认同它、进而学习它，首要一点就是要引起学生的注意、让学生对此感兴趣。怎样才能做到这一点呢？作为教师要不失时机地向学生展示利用“几何直观”解决实际问题的优势。

举个例子：计算1+3+5+7+9+11+……+2009+2011+2013=？

通常的做法是运用“等差数列求和公式”，既“和=(首项+末项)×项数÷2”，要求和首先求项数，求项数的公式是“项数=(末项-首项)÷公差+1”。就有，(2013-1)÷2+1=1007，(1+2013)×1007÷2=1014049。

运用“几何直观”我们可以这样思考：由下图可知，从1开始的连续奇数之和就等于奇数个数的平方。所以有1+3+5+7+9+11+……+2009+2011+2013=1007=1014049 这是典型的“数形结合”的例子，通过“点子图”能把复杂的很多个连续奇数连加的算式转化成一个数的平方。由此让学生感觉到“用几何思维”解决“代数问题”是多么的神奇。

展示“几何直观”在解决代数问题时的神奇，其最终目的是培养学生有“几何直观”的意识。

三、要让孩子养成一个画图的好习惯。

我认为：“几何直观”是指能自觉地、合理地运用“几何的直观性”来解决抽象的代数问题的一种能力。既然是一种能力，必然要经历“感知模仿――内化习得――熟练运用――自如创新”的过程。这个过程并不是一帆风顺的，不同的学生其经历的过程也不会相同，有

2的可能习得较快、有的也许较慢，所以教师要有耐心帮助每个学生经历“几何直观”能力形成的过程。

下面就以“画线段图解决问题”这一“几何直观”能力的培养为例说说如何培养学生养成画图的好习惯。

我们在平时的教学时常常会提醒学生：“当题目看不懂，条件与条件之间的关系理不清楚时，可以画画线段图”。但学生(大多数学生)不会根据题意画线段图，于是很多老师埋怨学生“怎么这么简单的线段图都不会画呢？”

其实对于学生来讲，画线段图并不是那么容易的事。因为画线段图实质上是一个半抽象的过程，画线段图的过程是把“语言描述”数学问题转化成“图形描述”的数学问题，如果图画准确了，题意就理解了，方法就出来了，有时候答案也显现了。

比如在中年级常出现这样的题目：

有甲乙两筐苹果，甲筐苹果的数量是乙筐的3倍，如果甲筐里拿出9千克给乙筐的话，两筐就一样多了。问甲乙两筐原来各有多少苹果？

解这道题的关键是从“甲筐里拿出9千克给乙筐的话，两筐就一样多了”这句话中能分析出“甲筐原来比乙筐多9千克”。那么怎样才能直观的理解呢，这时我们都会想到画图，怎样画呢？其实也是有技巧的，如果从正面开始画，先画乙筐是一段，因为甲是乙的3倍，乙就画3段，接着怎样画拿出9千克，又保证甲剩下的和乙加上9千克后是一样的呢，就比较难画了。此时我们从反面开始画则容易一些，即先画两段一样长的线段，表示现在的甲、乙，然后从乙中去掉一小段，同时甲加上同样长的一小段就可以了。可以说从图中就能看出甲和乙原来各有多少苹果了。

在教学的过程中，首先可以提出“画线段的要求”让学生独立思考、尝试画线段图；然后展示学生各种不同的线段图，一起比较分析哪一种画法(或哪几种，因为好的线段画法有时不止一种)看得最清楚、画起来最简单些(通过比较、择优让学生看懂线段图)；选出最优方案后，再让画这些线段图的学生上台讲讲“具体是怎样一步一步画出来的”(通过学生的讲解了解画的步骤)；接着让每一个学生试着独立地画一画(感知画图的过程，模仿画线段图)。这样通过看、听、画，学生实际上经历了“感知模仿――内化习得”的过程。当学生初步掌握后，教师应该再呈现一些生活中的问题让学生再画线段图解决，从而慢慢达到“熟练运用”的火候。相信长期如此练习，当画线段图的方法学生能运用“自如”时，面对新的问题时学生就可能会产生“创新”的火花。

四、要在学生的头脑中留住些图形。

10.几何直观教学实例 篇十

关键词：几何；概念；直观

几何学是数学的一门学科，它研究的是物体的形状、大小和相互位置关系。小学阶段主要学习几何初步知识，主要包括几何形体概念和几何形体计算。小学阶段主要学习的是直观几何，因此在几何教学时要注重直观手段的运用。17世纪捷克教育家夸美纽斯把“直观”理解为利用一切感觉器官，更好地、更鲜明地、更牢固地掌握事物。小学生的思维特点处于具体形象思维为主要形式向抽象逻辑思维为主要形式的过渡，小学生认识几何图形遵循由简到繁、由具体到抽象的顺序。几何知识的抽象性与学生思维的具体性之间的矛盾是小学生学习几何形体知识的主要困难。因此在几何概念教学时应根据小学数学几何形体学习的特点与新课程标准的要求，遵循小学生从感知到思维，从特殊到一般的学习规律来进行。因此，概念教学的各个环节都应注重直观的作用，下面就结合几何概念教学的各环节谈谈直观教学手段的运用。

一、提供感性材料，引入概念

根据几何要领抽象性和小学生思维发展、认知水平的特点，直观形象地引入对几何概念极为重要。因为在学习几何形体概念的过程中，学生要用各种感官去感知概念、借助教师直观形象的语言讲解去理解概念。通过感性材料的引入，使对几何概念的认识建立在实物或物化材料的基础上，作为掌握几何概念的出发点，并使学生能以几何的眼光来观察认识周围世界。因此，教学时要充分运用实物、模型、图形及学生熟悉的事物等感性材料引入概念，引导学生通过观察、操作、实验，从认识形体外部特征逐步抽象出本质，初步了解概念。

二、运用图像表征，形成概念

小学生建立几何初步概念的过程，是由事物直观到图形直观，再上升到抽象概念的逐步抽象过程。在教学过程中，教师要引导学生完成从具体到抽象的转化。因此，要精心地利用环境、选择教具，通过观察、操作等感知活动获得几何形体的表象。然后以这种表象为桥梁，通过分析比较，抽象出各种几何图形。建立几何图形的本质特征，并用语言表述出来，从而形成几何概念。最后，教师再抓住概念的关键进行讲解，抓住表达概念的词语，借助学生形成的表象从定义的结构上进行讲解，帮助学生加深对概念的理解和认识。

三、通过直观练习，巩固概念

学生初步形成概念之后，必须通过各种方式来巩固概念。在巩固中加深理解，使学生真正理解并掌握正确的几何概念，并使几何概念得到深化和发展。巩固几何概念的方法很多，而直观图形和动手操作是最常用和最行之有效的方法。比如，通过变换图形的位置、画图、测量、充分运用变式图形、直观图形和语言表述的结合等。这些都是充分利用直观手段使学生加深对概念内涵和外延的理解。例如，在学习完角的概念时，通过出示各种不同方向的角和一些不是角的图形，让学生先判断哪些是角，哪些不是角，然后再让学生说说为什么。这样就很好地利用了直观变式的图形丰富了学生的认识并加深概念的理解。又如，在学习完圆的概念后，老师让学生动手画一个圆。通过学生在自己画的过程中遇到的问题，比如圆画扁了或者画长了等问题，利用直观操作和语言，讲解这些问题产生的原因，更好地让学生理解圆的定义和本质。

四、利用图式，建立概念结构

图式是指一个有组织的、可重复和概括的东西，是个体对外部世界的知觉、理解和思考方式。瑞士心理学家皮亚杰认为，人在接受任何的刺激作用并作出相当稳定的反应时，在头脑中就形成了关于该刺激物的图式。我们在帮助学生学习概念时，要有目的地引导学生把相关的概念分类、整理、归纳并用图式表示出来，建立概念结构，促进概念内化。我们在教学概念时，不应该孤立地教概念。心理学认为，孤立的东西容易遗忘，系统化有利于理解和记忆，而且易于迁移和灵活地运用。在准备教学生一个新概念之前，要为学生提供一个可把这个概念置于其中的框架，如果孤立地学习概念，将会限制学习的水平。而利用直观的分类图表表述各概念间的关系，用逐步增加的概念内涵的方法表达各概念间关系的集合圈等，都是老师常用的方法。这样通过引入学生原有几何概念，不仅可以使学生找到新知识学习的起点，并且很快地找到新旧知识的联系和不同，有利于学生对知识的迁移和利用，这样学生以联系的观点学习新的概念，促进主动建构，形成概念的网络体系。

五、操作应用，完善概念

概念的应用是概念学习的最高层次，通过运用已有概念解决相关问题，可以帮助学生在解决一些情景复杂的问题时，能够把头脑中的某一个或几个概念依据问题情景所提供的信息进行重现、提炼、概括，并使它们相互作用，融会贯通，以达到完善概念的目的。例如，在学习了“长方形、正方形”概念以后，可以设计一组具有层次性的操作性材料：（1）让学生出示一张长方形的纸片，提出怎样检验这张纸的形状是长方形呢？（2）学生每人画出一个长方形和一个正方形，并分别检验。（3）用小棒摆出一个长方形和一个正方形（提供给学生的小棒根数长短不一，并有7～9根之多，有意识促使学生用多种方法摆出长方形和正方形）。（4）让学生在各种图形纸片中折出长方形。（5）在一个圆形纸片中折出一个最大的正方形。通过这样一组循序渐进的操作，有利促进学生在操作活动中形成鲜明、正确、清晰的表象，这样对于长方形和正方形的本质特征有了进一步的理解，并能够与其他图形互相联系，拓宽学生的思维，为学生以后的学习打下坚实的基础。

总之，促进学生发展是几何形体概念教学永恒不变的追求。教师只有根据概念的本质属性，从学生的认知特点和现实起点出发，运用各种直观有效地教学方法、策略，帮助学生在各种观察、探索、体验、实践等直观体验中深入剖析理解概念本质，才能收到良好的教学效果。

参考文献：

董红鸽.运用几何直观手段进行概念教学[J].小学数学设计，2013（08）.

11.几何直观教学实例 篇十一

在小学数学教学中, 教师要渗透“几何直观”, 就要做到三点。第一, 善于利用教材, 选择适合的教学策略, 在“做数学”中加强“几何直观”的操作教学, 提升“几何直观”的分析能力。第二, 在“画数学”中引导学生借助画图的策略, 利用“数形结合”思想直观地分析问题, 找到问题的答案。第三, 在“说数学”中, 把文字语言、数学语言和符号语言进行合理转换, 从而感悟“数”与“形”之间的转化, 充分体会“几何直观’在数学学习中的价值, 培养学生运用”几何直观”解决问题的能力。

一、“做数学”, 提升“几何直观”的分析能力

数学的价值是创新, 数学的本质是思想, 数学学习的过程是学生依据各自的知识经验, 主动构建并获取的过程。真正的数学教学是让学生经历“再发现、再创造”的过程, 因此在教学中要让学生变“学数学”为“做数学”, 以加强“几何直观”的操作, 让学生充分经历、感知和感悟, 从而培养学生“几何直观”的能力。

在教学“三角形的认识”这一内容时, 有一个教学难点, 即“三角形两边之和大于第三边”。这里涉及两种具体想法, 其一:较短的两根小棒的头和头相连比最长的那根小棒长, 这样才能围成一个三角形。既然较短的两根小棒的头和头相连比最长的小棒长, 那么最长的那根小棒与其中一条短的小棒的头和头相连一定比另一根小棒长, 这样任何两根小棒的头和头相连也就长于第三根小棒。但对小学四年级学生来说, 理解这个知识点较为困难。

关于“三角形两边之和大于第三边”这一难点, 一位教师进行了这样的教学设计。

在认识三角形基本特征的基础上, 给学生几根小棒去摆, 并在表格中写下用来摆三角形的小棒的长度以及能否摆成一个三角形。学生动手操作后, 相互交流表格填写情况。然后, 教师让学生观察表格中的数据, 猜测并验证怎样长度的三根小棒能摆成三角形, 怎样长度的三根小棒不能摆成三角形, 进而揭示三角形三边的关系。

这一设计看起来不错, 让学生经历了猜想、操作和验证等过程, 但学生只是在执行教师的预案, 亦步亦趋, 在学习过程中没有“几何直观”操作, 以致学生的想象能力、探究能力没有得到提升。那么, 如何才能行之有效地突破这个难点?

关于“三角形两边之和大于第三边”这一难点, 可设计这样的教学环节。

师:围一个三角形要用几根小棒?

(生动手操作。)

师:相邻两根小棒的头和头相连了, 就围成三角形。三根小棒分别长20厘米、6厘米和5厘米, 请围三角形。看看什么时候相邻两根小棒的头和头不能相连?

生1 (动手操作, 得出结论) :第二根、第三根小棒太短了。

师:第二根、第三根小棒多长就行了?

生2:第二根、第三根小棒的头和头相连与第一根小棒一样长。

师 (演示) :可以吗?

生3:第二根、第三根小棒的头和头相连比第一根小棒长。

师:三根小棒分别长20厘米、6厘米和30厘米, 请围一个三角形。

(生动手操作。)

师:现在, 第二根、第三根小棒的头和头相连比第一根小棒长, 请问能围成一个三角形吗?

生1:不能。

师:为什么?现在哪两根小棒的头和头不能相连了?

生2:第一根、第二根。

师:为什么?生2:第三根小棒太长了。

师:反过来说第一根、第二根小棒的头和头相连比第三根小棒怎样?

生3:第一根、第二根小棒的头和头相连比第三根小棒短。

师:三根小棒分别长20厘米、60厘米和30厘米, 请围三角形。

(生动手操作。)

师:现在第二根、第三根小棒的头和头相连比第一根长, 第一根、第二根小棒的头和头相连比第三根小棒长, 为什么还不能围成一个三角形?

生1:第一根、第三根小棒的头和头不能相连。

师:怎样才能使第一根、第三根小棒的头和头能相连?

生2:使第一根、第三根小棒的头和头相连比第2根小棒长。

师:那你觉得把第二根小棒变成多长就行了?

生2:40厘米。

师:这样, 三根小棒的长度就是20厘米、40厘米和30厘米, 能围成一个三角形吗?

生3:可以。

(生动手操作。)

师 (小结) :看来三根小棒能不能围成一个三角形, 条件较多, 既要第二根、第三根小棒的头和头相连比第一根小棒长, 又要第一根、第二根小棒的头和头相连比第三根小棒长, 还要第一根、第三小棒的头和头相连比第二根小棒长。

师:看图1, 有没有更好的表达方法?

生1 (对照图) :a+b>c, a+c>b, c+b>a。

师: (小结) 也就是任意两根小棒的头和头相连都长于第三根小棒, 就能围成一个三角形。

上述教学环节可有效落实关于“三角形两边之和大于第三边”这一难点的教学, 为运用概念解决几何问题打下坚实基础。教师精心设计, 组织学生通过探索、观察和分析, 促使学生积极思考、发现规律、得出结论, 提升学生“几何直观”的分析能力。

二、“画数学”, 提高“几何直观”的运用水平

“数”与“形”是数学教学研究对象的两个侧面, 把数量关系和空间形式结合起来分析问题、解决问题, 就是“数”与“形”结合的思想。“数”与“形”结合的思想一直贯穿于小学数学教学的始终。翻看小学数学教材, 页页都有图画和数字, 这就是“数”与“形”的结合。而小学生的思维正处于具体运算向形式运算过渡的阶段, 因此通过“几何直观”, 写一写、画一画, 便能帮助学生直观地理解数学, 从而寻求解决问题的方法, 提升学习数学的能力。

例如:在教学“认识负数”这一内容时, 教师可分两步走。首先, 通过正数、负数和零比较大小, 让学生感受负数的意义。其次, 画数轴, 让学生对负数有更加感性的认识。

师:通过刚才的学习, 同学们认识了负数, 知道了负数比0小, 正数比0大。你们还有什么疑问?

生1:-5和-3谁大?

师 (肯定地) :你的问题真有价值, 同学们已经认识了负数, 谁来帮助他解决这个问题?

生2:当然是-5大。3比5小嘛。 (很多学生点头, 回答问题的学生得意地坐下来。)

师 (表情丝毫不变) :这是这位同学的见解, 有不同意见吗?

生3:我觉得是-5小。

生4:不对, 乘电梯-5层和-3层, 哪层用的时间长呀?

生5:大小跟时间的长短有什么关系?

……

师:同学们各抒己见, 举例说明。你们想想, 我们是否能用已有知识解决这个问题?

生1:画数轴。

生2:用温度计说明问题。

师:那我们就来画一画, 画完后在小组里比一比到底哪个数大。

(生有兴致地画, 师巡视指导。)

生1:我们组通过画数轴发现:-5比-3小。因为-3在-5前面。

生2:我们组通过画数轴发现:-3到0的距离比-5到0的距离小, 因此-3大。

生3:我们假设用这两个数表示温度:-5摄氏度在-3摄氏度下面, 比较冷, 因此-3大。

师: (顺手) 把温度计横放, 你想到什么?

生3:跟数轴一样。

……

为了让学生利用已学知识探寻新知、解决问题, 教师可让学生通过“几何直观”, 借助画图的策略, 解决新问题。

例如在教学“小数的基本性质”这一内容后, 一位教师出了一道巩固练习题:“0.3与0.30完全一样。这句话对吗?”

生1:一样, 因为小数末尾的0可去掉。因此0.3=0.30。

生2:一样, 因为0.3是3个0.1, 1个0.1是10个0.01, 0.30是30个0.01, 也就是0.3。

师:有不一样的地方吗?是否可采用画图的方式说明问题?

[生画图 (图2) 。]

生1:我发现了, 我发现了!

师:请你说说。

生1:通过画图, 我知道了阴影部分的面积相等, 也就是数的大小相等, 但计数单位不一样。

生2 (惊讶状) :刚才我还用计数单位论证它们是否相等呢。

师:因此这个命题怎么修改就对了?

生2:0.3和0.30大小相等, 计数单位不一样。

师:随着以后的学习, 你们还会知道它们还有不一样的地方, 想不想知道?

生 (齐声) :想!

一方面, 借助图形描述事物可将抽象问题直观化, 从而找到解决问题的途径和方法。另一方面, 图形是检验对事物认识或对知识理解正确与否的一种方式。在小学数学教学中, 通过画图学习数学是培养学生“几何直观”的有效途径。长此以往, 必能提高学生“几何直观”的运用水平, 有效解决问题。

三、“说数学”, 凸显“几何直观”的实际价值

“说数学”就是让学生将自己“做数学”的思维过程用语言表达出来。在小学数学教学中, 教师指导学生进行有效交流, 实现数学语言与自然语言的有机融合、互译, 既可让学生加深对数学的理解, 又能在交流中逐渐完善想法, 从而培养学生数学语言 (符号语言和图形语言) 的表达能力, 凸显“几何直观”的实际价值。

“乘法分配律”是小学阶段在数的运算中较重要的定律。在“乘法分配律”这一内容的教学中, 对运算律的理解和表述是学生学习的难点, 因此教师既应在教学中给学生提供充分思考、探索和交流的机会, 提高学生的推理能力, 又要有意识地引导学生运用文字语言、符号语言和图形语言表述运算律, 使学生充分体会数学语言的简明性和直观性。

为此, 针对“乘法分配律”这一教学内容。笔者设计了这样的教学环节。

第一, 引入。

其一, 过渡语导入新课。

其二, 提问:长方形的面积怎样求?

师:这里有长分别是10厘米和6厘米, 宽都是4厘米的两个长方形纸片, 请同学们自己动手把它们组成一个新的长方形。

(生动手操作。)

(师指名回答。)

(课件出示两个长方形组合的动画。)

其三, 观察两组等式, 引发学生猜想。

(学生举例。)

第二, 验证。

其一, 引导谈话。

其二, 结合教师给的思考步骤, 让学生在小组中讨论交流, 并记录自己的结论。

其三, 指明学生汇报学习的成果。

第三, 归纳。

师:观察这些等式你发现了什么规律?你能用文字表述吗?对于这样的规律我们可用字母表示

(板书: (a+b) ×c=a×c+b×c) 。)

师:这就是我们今天所学的新的运算律——“乘法分配律”。

(板书课题:乘法分配律)

师:观察我们今天学习的“乘法分配律”, 从左往右看, 它是怎样展开的?再从右往左看, 它是怎样展开的?

第四, 总结。

师:运用“乘法分配律”可使一些计算简便。只有熟记定律, 充分理解定律, 才能在运用时不出错。让我们一起整理 (表1) 。

师:用三种语言表示“乘法分配律”, 你觉得哪种最容易记忆, 哪种最能帮助你回忆?

帮助学生整理归纳, 用直观方式建立符号意识, 使学生较好地记忆, 最终让学生充分感受符号与图形的使用是进行数学表达和展开数学思考的重要形式。